ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1557
Скачиваний: 21
Односторонние пределы
Если значения функции y = f (x) стремятся к b1 при x → a, причем х принимает только значения меньше а, то записывают
lim f (x)= b1 и b1 называют пределом слева в точке а. Если х
x→a−0
принимает только значения больше а, то записывают lim f (x)=b2
x→a+0
и b2 называют пределом справа в точке а.
b1 |
= lim |
ˆ |
ˆ |
||||
f (x) B(b1 ) B(a)(x B(a), x < a f (x) B(b1 )); |
|||||||
x→a−0 |
|||||||
b2 |
= lim |
ˆ |
ˆ |
||||
f (x) B(b2 ) B(a)(x B(a), x > a f (x) B(b2 )). |
|||||||
x→a+0 |
|||||||
Значения односторонних пределов обычно записывают сле- |
|||||||
дующим |
образом: предел слева |
– lim f (x)= f (a − 0), предел |
|||||
f (x)= f (a + 0). |
x→a−0 |
||||||
справа – lim |
|||||||
x→a+0 |
|||||||
Бесконечно малые и бесконечно большие функции |
|||||||
Функция |
y = α(x) называется бесконечно малой (бмф) при |
||||||
x → a, если |
lim α(x)= 0 (т. е. для любого сколь угодно малого |
||||||
x→a |
|||||||
ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки а, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство α(x) < ε).
Пример. |
Функция y = 4 − x |
является бмф при |
x → 4 , т. к. |
|||||||
lim |
(4 |
− x)= 0 |
, а функция |
y = |
1 |
является бмф при |
x → ∞, т. к. |
|||
x2 |
||||||||||
x→ 4 |
1 |
|||||||||
lim |
= 0 . |
|||||||||
x→∞ x2 |
||||||||||
Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых функций производится путем нахождения предела их отношения. Пусть α(x) и β(x) – бмф при
x → a, причем
β(x)
lim ( ) = A.
x→a α x
29
Тогда если:
1)А = 1, то α(x) и β(x) называются эквивалентными бмф
при x → a, что записывается в виде α(x) ~ β(x);
2)A ≠ 0 и A ≠ ∞, то α(x) и β(x) – бмф одного порядка ма-
лости при x → a;
3)A = 0 , то β(x) есть бмф более высокого порядка малости,
чем α(x), при x → a, что записывается в виде β(x) = o(α(x));
4)A =∞, то α(x) есть бмф более высокого порядка малости,
чем β(x), при x → a, что записывается в виде α(x) = o(β(x)).
Свойства бесконечно малых функций |
||||||||||||||||||||||
1. |
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых |
|||||||||||||||||||||
функций есть бмф. |
||||||||||||||||||||||
2. |
Произведение бесконечно малой функции на ограниченную |
|||||||||||||||||||||
функцию есть бмф. |
||||||||||||||||||||||
3. |
Если α(x) ~ β(x), то β(x) ~ α(x). |
|||||||||||||||||||||
4. |
Если α(x) ~ β(x) и β(x) ~ γ(x), то α(x) ~ γ(x). |
|||||||||||||||||||||
5. |
Если α(x) ~ β(x), то α(x)−β(x)= o(α(x))= o(β(x)). |
|||||||||||||||||||||
6. |
Если α(x) ~ α′(x) и β(x) ~ β′(x), то lim |
β(x) |
= lim |
β′(x) |
. |
|||||||||||||||||
x→ a |
α(x) |
x→a |
α′(x) |
|||||||||||||||||||
Следует отметить, что частное от деления бмф не обязательно |
||||||||||||||||||||||
бесконечно малая функция. |
||||||||||||||||||||||
Пример. Рассмотрим функции α(x)= 1 , β(x)= |
1 |
, γ(x)= |
1 |
+ |
1 |
. |
||||||||||||||||
x2 |
x |
|||||||||||||||||||||
x |
x2 |
|||||||||||||||||||||
Тогда α(x) – бмф при x → ∞, β(x) – бмф при x → ∞, γ(x) |
– бмф |
|||||||||||||||||||||
при x → ∞. |
α(x) |
= x есть функция бесконечно большая при x |
||||||||||||||||||||
Частное |
→∞; |
|||||||||||||||||||||
β(x) |
||||||||||||||||||||||
частное |
β(x) 1 |
есть бмф при x → ∞; частное |
γ(x) |
1 |
есть |
|||||||||||||||||
= x |
=1 + x |
|||||||||||||||||||||
α(x) |
α(x) |
|||||||||||||||||||||
функция, имеющая конечный предел при x → ∞. |
||||||||||||||||||||||
Функция y =β(x) называется бесконечно большой (ббф) при |
||||||||||||||||||||||
x → a, если limβ(x)= ∞ или lim |
β(x) |
= +∞. |
||||||||||||||||||||
x→a |
x→a |
|||||||||||||||||||||
30
Пример. Функция y = 4 − x |
является ббф при |
x → ∞, |
т. к. |
||||||||||||||||
lim |
(4 − x) = ∞, а функция y = |
1 |
является ббф при |
x →0 , |
т. к. |
||||||||||||||
x2 |
|||||||||||||||||||
x→∞ |
1 |
||||||||||||||||||
lim |
= +∞. |
||||||||||||||||||
x→0 |
x2 |
||||||||||||||||||
Свойства бесконечно больших функций |
|||||||||||||||||||
1. Если в некоторой проколотой окрестности точки a функция |
|||||||||||||||||||
α(x)≠ 0 и является бмф при x → a, то β(x)= |
1 |
есть ббф при |
|||||||||||||||||
α(x) |
|||||||||||||||||||
x → a и наоборот. |
|||||||||||||||||||
1 |
1 |
||||||||||||||||||
= 0. |
|||||||||||||||||||
Эти свойства символически записываются |
= ∞ |
и |
|||||||||||||||||
0 |
∞ |
||||||||||||||||||
f (x) |
|||||||||||||||||||
2. Произведение ббф на функцию |
> M ≠ 0 |
есть ббф. |
|||||||||||||||||
Вчастности, произведение бесконечно больших функций есть ббф.
3.Суммабесконечнобольшойиограниченнойфункцийестьббф.
4.Сумма двух ббф одинакового знака есть ббф.
Следует отметить, что разность двух ббф одинакового знака не обязательно бесконечно большая функция.
Пример. Рассмотрим ббф при x → ∞: α(x)= x2 , β(x)= x2 + x,
γ(x)= x2 + 3, μ(x)= x2 + 1x , ν(x)= x3.
Тогда при x → ∞ разность β(x)− α(x)= x есть ббф при x → ∞;
разностьμ(x)−α(x)= 1x естьбмфпри x →∞; разность γ(x)−α(x)=3
есть постоянная функция.
Частное αν((xx)) = x есть ббф при x → ∞; частное αν((xx)) = 1x есть
бмф при x → ∞; частное αγ((xx)) =1 + x32 есть функция, имеющая конечный предел при x → ∞.
Основные теоремы о пределах
Предположим, что существуют конечные пределы функций f (x) и g (x) при x → a. Тогда имеют место следующие основные
свойства конечных пределов:
31
1. Основная теорема о (конечном) пределе: для того чтобы при x → a существовал (конечный) предел функции y = f (x), не-
обходимо и достаточно, чтобы в некоторой (достаточно малой)
ˆ |
||||
проколотой окрестности B(a) предельной точки а выполнялось |
||||
равенство |
f (x)= b + α(x), где α(x) – бмф при x → a, |
ˆ |
||
x B(a), т. е. |
||||
lim f (x) = b f (x) = b + α(x). |
||||
x→a |
||||
2. Теорема о связи с односторонними пределами: для существования конечного предела b функции y = f (x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны оба односторонние пределы f (a −0) и f (a + 0):
lim f (x)= b f (a −0)= f (a + 0)= b.
x→a
3. Арифметические операции над пределами:
а) |
x→a |
( |
f |
( |
x |
) |
± g |
( |
x |
)) |
x→a |
( |
x |
) |
x→a |
( |
x |
) |
; |
||||||||||||||||||
lim |
= lim f |
± lim g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
x→a |
( |
f |
( |
x |
) |
g |
( |
x |
)) |
x→a |
( |
x |
) |
x→a |
( |
x |
) |
; |
||||||||||||||||||
lim |
= lim f |
lim g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
гдес= соnst – постояннаяфункция; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
lim |
( |
c f (x) |
) |
= c lim f (x), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
x→a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
lim f (x) |
если lim g (x)≠ 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
lim |
= |
x→a |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim g (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
g (x) |
x→a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Лемма о сжатой переменной (двух «милиционерах»): если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в некоторой |
окрестности |
ˆ |
для функций f (x), u (x), g (x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(a) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется неравенство |
f (x)≤ u (x)≤ g (x) и существуют (ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нечные) пределы |
lim f |
(x)= lim g |
(x)= b, |
то существует limu (x), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
x→a |
x→a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
также равный b: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (x) |
= lim g (x)= b, |
f (x)≤ u (x)≤ g (x), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
x→a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x B(a) limu (x)= b. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32