Файл: лекция № 11.doc

Відмітимо два випадки, в яких диференціальне рівняння (43) легко параметризується

I. , (46)

(зокрема можна ввести таку параметризацію );

II. , (47)

де і-однорідні функції виміруівідповідно.

Покладемо

(48)

і розвяжемо рівняння (47) відносно через:.

Підставляючи в (48), отримаємо

. (49)

Далі вищеописаним способом знаходимо загальний розв'язок в параметричній формі.

Приклад 5. Розв'язати рівняння

.

Розв'язання. Зробимо заміну

,

,

,

.

Остаточно маємо

.

Інтегрування диференціальних рівнянь, які не містять шуканої функції і -ї похідної

Розглянемо диференціальне рівняння

, (50)

в якому є .

---

Введемо нову змінну

, (51)

отримаємо

, (52)

тобто ми понизили порядок диференціального рівняння (50) на одиниць. Припустимо, що ми розв'язали диференціальне рівняння (52) і визначили

. (53)

Тоді рівняння

(54)

інтегруємо і отримаємо загальний розв'язок

. (55)

Якщо замість загального розв'язку (53) можна знайти загальний інтеграл

,

то отримаємо диференціальне рівняння типу (43).

Розглянемо два частинних випадки відносно диференціального рівняння (50).

а). Диференціальне рівняння вигляду

. (56)

Якщо диференціальне рівняння (56) можна розвязати відносно

, (57)

то поклавши перейдемо до рівняння.

Якщо – загальний розвязок останнього рівняння, то остаточно маємо рівняння вигляду (38) .

Припустимо, що диференціальне рівняння (55) не можна записати в вигляді (57), але воно допускає параметризацію

. (58)

То з співвідношення знаходимо.

Звідки

---

. (59)

Диференціальне рівняння (59) вигляду (44) і його розв'язки можна отримати в параметричній формі.

б). Диференціальне рівняння вигляду

. (60)

Нехай диференціальне рівняння (60) можна розвязати відносно

. (61)

Позначимоі перейдемо до диференціального рівняння

. (62)

Помножимо (62) на

.

Звідки . Отже

,

з якого визначимо

.

Останнє диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Знайшовши з нього

ми остаточно переходимо до диференціального рівняння вигляду (38)

. (63)

Припустимо, що диференціальне рівняння (60) не можна розв'язати відносно але для нього можлива параметризація.

Запишемо співвідношення

.

Помножимо першу рівність на

,

після чого отримаємо

.

Звідки

.

---

Отже, маємо

.

Приєднавши до останньої рівності ми отримаємо а).

---

Пониження порядку диференціальних рівнянь, які не містять незалежної змінної

Ці диференціальні рівняння мають вигляд

(64)

і їх порядок можна понизити на одиницю заміною .

При цьому стає незалежною зміною, а– шуканою функцією. Обчислюємо

,

…..

і остаточно прийдемо до диференціального рівняння порядку

. (65)

Якщо – розвязок диференціального рівняння (65), то

. (66)

Інтегруємо диференціальне рівняння (66) і знайдемо загальний інтеграл.

Особливі розв'язки можуть появлятися при інтегруванні диференціального рівняння (66). При переході до диференціального рівняння (65) ми можемо загубити розвязки . Для їх знаходження необхідно розв’язати рівняння. Якщо– розвязок останнього рівняння, то – розвязок диференціального рівняння (64).

Приклад 6. Розвязати рівняння

.

Розв'язання. Вводимо змінну ,,тоді

---