Файл: лекция № 11.doc

, .

Звідки , отже,,

– загальний інтеграл рівняння.

Однорідні диференціальні рівняння відносно шуканої функції і її похідних

Так називаються диференціальні рівняння вигляду

(67)

в яких є однорідною функцією відносно, тобто для всіхмаємо

.

Шляхом заміни диференціальне рівняння (67) можна понизити на один порядок. Обчислюємо

.

Тому диференціальне рівняння (67) прийме вигляд

. (68)

Скорочуючи на (приможе бути розвязком диференціального рівняння (67)), перейдемо до диференціального рівняння порядку .

Якщо – загальний розвязок останнього диференціального рівняння , то

.

Звідки

(69)

– загальний розв'язок диференціального рівняння (67). Розвязок міститься в формулі (69) при.

---

Приклад 7. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Це диференціальне рівняння є однорідним відносно шуканої функції і її похідних, тому

.

Маємо – диференціальне рівняння Бернуллі .

Інтегруючи, отримаємо

, .

Звідки . Наше диференціальне рівняння Бернуллі має розвязок , який не міститься в знайденому загальному інтегралі.

Диференціальні рівняння, ліва частина яких є точна похідна

Припустимо, що диференціальне рівняння (67), його ліва частина, є точна похідна за від деякої функції, тобто

,

тоді диференціальне рівняння (67) має перший інтеграл

(70)

так, що його порядок можна понизити на одиницю.

Приклад 8. Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Маємо ,,,– загальний інтеграл.

Якщо ліва частина диференціальне рівняння (67) не є точною похідною, то в деяких випадках можна знайти функцію , після домноження на яку рівняння (67), його ліва частина, буде точною похідною за. Ця функція називається інтегрувальним множником. Якщо ми знаємо функцію, то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розв'язки, які знаходяться з рівняння.

---

Приклад 9. Знайти загальний розв'язок диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Візьмемо , тоді. При цьому,– розвязки нашого диференціального рівняння. Маємо

.

–перший інтеграл. Перепишемо його в такій формі . Звідки– загальний інтеграл. Особливих розвязків немає, так як диференціальне рівняння приводить до розвязків , які містяться в загальному.

Домашнє завдання: [2], стор. 87-93; [3], §10, стор. 44-45, №№ 427, 429, 470.

---