Файл: лекция № 11.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 11

з теми: «Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.02 Диференціальні рівняння вищих порядків

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.

Мета:

• Дидактична: ознайомитися з основними видами диференціальних рівнянь другого та третього порядку, навчитись інтегрувати та знижувати порядок деяких рівнянь вищих(другого та третього) порядків.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: дати визначення рівняння ІІ та ІІІ порядку; визначити поняття загального розв’язку та загального інтегралу рівняння вищого (ІІ чи ІІІ) порядків; поставити задачу Коші для даних рівнянь; сформулювати умови існування та одиничності розв’язку задачі Коші.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 11.

Тема: «Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.»

План лекції № 11.

1. Загальний метод розв’язання рівнянь вищих порядків, їх основні види. Задача Коші.

2. Приклади.

---

Інтегрування і пониження порядку диференціальних рівнянь з вищими похідними Диференціальні рівняння, які містять n-у похідну від шуканої функції і незалежну змінну

а). Розглянемо диференціальне рівняння

. (38)

Так як , то

.

Аналогічно , …..,

. (39)

Остання формула дає загальний розв'язок в області

Формулу (39) легко використати для знаходження розв'язків задачі Коші з початковими умовами

. (40)

Цей розвязок представляється у вигляді

. (41)

Функція

є частинним розвязком диференціального рівняння (38) з початковими умовами

яким відповідають константи .

Для обчислення використовують формулу Коші

. (42)

Дійсно, інтеграл

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Мал. 1

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо

---

.

Аналогічно обчислюємо

.. і. т. д.

Приходимо до формули (42). Таким чином, розвязок (41) записується у вигляді

Загальний розвязок диференціального рівняння (38) можна також записати через невизначений інтеграл

. (43)

Приклад 4. Розвязати рівняння

.

Розв'язання. Послідовно знаходимо ,.

б). Розглянемо випадок

(43)

в якому співвідношення (43) не можна розв'язати відносно в елементарних функціях або вирази длябудуть досить складними.

Припустимо, що диференціальне рівняння (43) допускає параметризацію

, (44)

де татакі, що.

Проводимо обчислення

,

.

Аналогічно обчислюємо

.

Остаточно маємо

(45)

– загальний розвязок в параметричній формі.

---