Файл: лекция № 18.doc

Доведення. Твердження теореми рівносильно тому, що якщо відомо інтеграл системи диференціальних рівнянь (2),, то вони не можуть бути незалежними. Розглянемо два випадки.

а) – залежні, то і,– теж залежні.

б) – не залежні. Тоді. Так як,– інтеграли системи диференціальних рівнянь (2), то

……….

Ця система однорідних рівнянь показує, що вона має не нульовий розвязок . Тому

З математичного аналізу відомо, що в цьому разі , тобто функції– залежні.

Теорема Якщо ,– незалежні інтеграли системи диференціальних рівнянь (2) в області, а– довільна функція, визначена в деякій області змінних, яка є областю значень функцій, коли, і яка має в цій області неперервні частинні похідні поне рівні нулю одночасно, то функція

(20)

також буде інтегралом системи диференціальних рівнянь (2).

Дійсно

в силу умови теореми, що ,.

Пониження порядку системи з допомогою перших інтегралів

Знаючи один перший інтеграл системи диференціальних рівнянь (2) можна понизити її порядок на одиницю.

Дійсно, нехай

(21)

– перший інтеграл.

Визначимо з (21)

. (22)

Підставивши(22) в рівняння будемо мати систему

(23)

порядку .

Якщо відомо перших інтегралів, то порядок системи диференціальних рівнянь (2) можна понизити наодиниць.

Системи диференціальних рівнянь в симетричній формі

Така система має вигляд

. (24)

Будь-яку систему нормальних рівнянь типу (2) можна записати в симетричній формі

. (25)

Якщо , тоді (24) можна записати в нормальній формі

, . (26)

При розвязанні систем в симетричній формі користуються властивістю: якщо

то.

Приклад 1.Розв'язати систему в симетричній формі

Розв'язування. Для знаходження загального інтегралу системи поступимо таким чином:

а) візьмемо і просумуємо чисельники та знаменники, отримаємо

;

б) якщо ж виберемо , то будемо мати.

Отже, загальний інтеграл системи запишемо у вигляді

Мето виключення основан на твердженні:

Теорема: Нехай вектор-функція раз неперервно диференційована на проміжку та нехай - решение системы (1) на.Тоді, необхідно, щоб кожна компонента розв’язку системи (1) задовольняла на лінійному диференціальному рівнянню порядка зі сталими коефіцієнтами, виду декожна функція .