Файл: лекция № 18.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 18

з теми: «Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод виключення розв'язання системи.»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.05 Система звичайних диференціальних рівнянь

Дисципліна: «Диференціальні рівняння»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод виключення розв'язання системи.

Мета:

• Дидактична: розглянути загальний метод розв’язання систем лінійних однорідних та неоднорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, розглянути метод виключення змінних для розв’язання систем.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод виключення розв'язання системи.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 18.

Тема: Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод виключення розв'язання системи

План лекції № 18.

1. Основні поняття теорії систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

2. Метод виключення розв’язання системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Приклади.

---

Основні поняття та означення. Задача Коші

Означення 1. Сукупність рівнянь вигляду

, (1)

де – шукані функції від незалежної змінної, називається системою диференціальних рівнянь першого порядку.

Означення 2. Будемо говорити, що систему звичайних диференціальних рівнянь (1) записано в нормальній формі, якщо її можна розвязати відносно похідних і представити в такому вигляді

. (2)

Число рівнянь системи диференціальних рівнянь (2) називається її порядком.

Означення 3. Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (2) лінійні по

, (3)

то система називається лінійною.

Означення 4. Сукупність функцій

(4)

визначених і неперервно диференційовних на називається розвязком системи (2), якщо вона перетворює всі рівняння системи (2) в тотожності на .

Процес знаходження розвязків системи називається інтегруванням.

Задача Коші: для системи диференціальних рівнянь (2) серед всіх розвязків знайти такий

, (5)

який задовольняє умовам

. (6)

Тут – початкові значення шуканих функцій,– початкове значення незалежної змінної. Числаназиваються початковими даними розвязку (5), умови (6) – початковими умовами.

---

Геометричний зміст задачі Коші – серед всіх інтегральних кривих системи диференціальних рівнянь (2) знайти ту, яка проходить через точку (6).

Механічний зміст задачі Коші – знайти такий рух, визначений системою диференціальних рівнянь (2), який задовольняє початковим умовам (6).

Теореми про достатні умови існування та одиничності розвязку задачі Коші та неперервну залежність розвязку системи від початкових даних і параметрів (без доведення)

Теорема 1 (про існування і єдиність розв'язку задачі Коші). Розглянемо задачу (2), (6). Припустимо, що праві частини системи диференціальних рівнянь (2) визначені в області

(-задані числа) і задовольняють наR умовам:

1. функції ,є неперервними по всім аргументам і, отже, обмеженими

;

2) Функції мають обмеженні частинні похідні по, тобто

(задане число).

При цьому існує єдиний розвязок системи (2) при умові (6), визначений і неперервно диференційовний на інтервалі .

Зауваження 1. Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (2) – суто поліноми від своїх аргументів, то існує єдиний розвязок задачі Коші (2), (6) для будь-яких початкових умов.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь в нормальній формі залежну від параметрів

, , (7)

праві частини якої визначенні в областях

і

.

Теорема 2 (про неперервну залежність розвязку від параметрів). Припустимо, що праві частини системи диференціальних рівнянь (7) задовольняють умовам:

---