Файл: лекция № 18.doc

1) функції неперервні зав областіі, і, отже, обмежені

, ;

2) функці задовольняють умові Ліпшиця за

,

де і– будь-які точки з,– будь-яка точка з,– постійне додатне число, незалежне відта. Тоді сиcтема (7) має єдиний розвязок

, (8)

який задовольняє початковим умовам .

Цей розвязок є визначеним і неперервно дифереційовним за на інтервалі

, (9)

визначений і неперервний по в областірівномірно заз (9), тобто для кожногоіснує, що одночасно для кожногоз (9) виконується нерівність

---

лише тільки

.

Теорема 3 (про неперервну залежність розвязків від початкових умов). Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (2) задовольняють в обом умовам тереми Пікара (теореми 1) , то розвязок

(10)

з початковими умовами

(11)

буде неперервним за і початковим умовам, коли

, (12)

а лежать в області

, (13)

де

.

При цьому розвязок (10) буде неперервним по , в області (13) рівномірно заз (12), тобто для любогоіснує, що нерівності

виконується одночасно для всіх з (12), коли

.

---

Загальний, частинний і особливий розв'язки

Нехай – область, в кожній точці якої виконуються умови теореми існування і єдиності.

Означення 5. Сукупність функцій

(14)

визначених в деякій області зміни змінних і які мають неперервні частинні похідні за, будемо називати загальним розвязком системи (2) в області , якщо систему (14) можна розвязати відносно

, (15)

а сукупність функцій (14) є розвязком диференціального рівняння (2) для всіх сталих, визначених співвідношеннями (15), коли .

Якщо в (14) роль сталих відіграють початкові умови

, (16)

то (16) називається загальним розвязком в формі Коші.

Означення  Розвязок системи диференціальних рівнянь (2) називається частинним якщо він складається з точок єдиності розвязку задачі Коші. Його можна отримати при конкретних сталих, включаючи .

Означення 7. Розвязок системи диференціальних рівнянь (2) називається особливим, якщо в кожній точці його порушується єдиність розвязку задачі Коші.

Інтеграл. Перший та загальний інтеграли. Число незалежних інтегралів

Розглянемо одну з рівностей (15)

. (17)

Функція на будь-якому частинному розвязку приймає постійні значення, тобто

.

---

Ця функція називається інтегралом.

Означення 8 (перше означення інтегралу). Функція , визначена наі яка не приводиться до сталої, називається інтегралом системи диференціальних рівнянь (2) в області, якщо при замінібудь-яким частинним розвязком цієї системи, вона приймає постійне значення.

На частинних розвязках системи (2) , тобто

.

Це записується таким чином

. (18)

Означення 9 (друге означення інтегралу). Функція неперервно диференційована в областіі така, щоне дорівнюють одночасно нулю в цій області, називається інтегралом системи диференціальних рівнянь (2) в області, якщо.

Співвідношення (18) еквівалентне наступному

.

Якщо функція є інтегралом в смислі другого означення, то вона буде інтегралом і в смислі першого. Обернене не вірно – може не мати частинних похідних.

Рівність називається першим інтегралом системи диференціальних рівнянь (2).

Означення 10. Сукупність перших інтегралів вигляду (15). яку можна розвязати відносно , в результаті чого в областіотримаємо загальний розвязок в формі (14) будемо називати загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь (2) в області .

---

Перші інтеграли (15), які утворюють загальний інтеграл системи диференціальних рівнянь (2), є незалежними, якщо між функціями не існує співвідношення видуні при якому виборі функції.

Теорема 4. Якщо інтеграли мають неперервні частинні похідні, то для незалежності їх необхідно і достатньо, щоб якобіан від функційзане перетворювався тотожно в нуль

. (19)

Доведення витікає з відповідного розділу математичного аналізу: необхідною і достатньою умовою незалежності функційвідзміннихзаключається в тому, щоб хоча б один з функціональних визначників який можна утворити з стовпців таблиці

не дорівнює тотожно нулю.

Якщо ми маємо інтегралів, то вони будуть незалежними тоді і тільки тоді, коли хоча б один з функціональних визначників–го порядку, складений з стовпців таблиці

не дорівнює тотожно нулю.

Припустимо, що інтеграли мають неперервні частинні похідні за.

Теорема 5. Нормальна система рівнянь не може мати більш ніжнезалежних інтегралів.

---