ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.05.2025
Просмотров: 530
Скачиваний: 0
Л.Э.Эльсгольц |
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ |
|
ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
От редакторов серии |
8 |
ЧАСТЬ I |
8 |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
Введение |
9 |
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
15 |
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной |
15 |
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными |
19 |
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися |
24 |
переменными |
|
§ 4. Линейные уравнения первого порядка |
27 |
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах |
32 |
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения |
39 |
dy/dx=f(x,y) |
|
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка |
61 |
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно |
68 |
производной |
|
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных |
75 |
уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые |
|
решения |
|
Задачи к главе 1 |
82 |
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого |
85 |
§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального |
85 |
уравнения п-го порядка |
|
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка |
87 |
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка |
93 |
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и |
107 |
уравнения Эйлера |
|
§ 5. Линейные неоднородные уравнения |
113 |
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами |
124 |
и уравнения Эйлера |
|
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов |
137 |
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных |
147 |
колебаний |
|
§ 9. Понятие о краевых задачах |
159 |
Задачи к главе 2 |
165 |
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений |
168 |
§ 1. Общие понятия |
168 |
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем |
171 |
сведения к одному уравнению более высокого порядка |
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций |
178 |
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений |
181 |
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными |
192 |
коэффициентами |
|
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных |
199 |
уравнений и уравнений n-го порядка |
|
Задачи к главе 3 |
201 |
Глава 4. Теория устойчивости |
203 |
§ 1. Основные понятия |
203 |
§ 2. Простейшие типы точек покоя |
206 |
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова |
215 |
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению |
221 |
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней |
227 |
многочлена |
|
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка |
230 |
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях |
234 |
Задачи к главе 4 |
238 |
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка |
241 |
§ 1. Основные понятия |
241 |
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных |
243 |
первого порядка |
|
§ 3. Уравнения Пфаффа |
255 |
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка |
260 |
Задачи к главе 5 |
278 |
ЧАСТЬ II |
|
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
Введение |
280 |
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами |
284 |
§ 1. Вариация и ее свойства |
284 |
§ 2. Уравнение Эйлера |
292 |
x1 |
305 |
§ 3. Функционалы вида ∫F(x, y1, y2 ,..., yn , y'1 , y'2 ,..., y'n )dx |
|
x0 |
|
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка |
308 |
§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых |
312 |
переменных |
|
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме |
317 |
§ 7. Некоторые приложения |
320 |
Задачи к главе 6 |
324 |
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые |
327 |
другие задачи |
|
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами |
327 |
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида |
334 |
x∫1 F(x, y, z, y', z' )dx
x0
§ 3. Экстремали с угловыми точками |
338 |
|
§ 4. Односторонние вариации |
346 |
|
Задача к главе 7 |
349 |
|
Глава 8. Достаточные условия экстремума |
351 |
|
§ 1. Поле экстремалей |
351 |
|
§ 2. Функция E(x, y, p, y') |
357 |
|
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду |
368 |
|
Задачи к главе 8 |
373 |
|
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум |
375 |
|
§ 1. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn)=0 |
375 |
|
§ 2. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn, y'1ь y'2,..., y'n)=0 |
382 |
|
§ 3. Изопериметрические задачи |
385 |
|
Задачи к главе 9 |
393 |
|
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах |
394 |
|
§ 1. Прямые методы |
394 |
|
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера |
395 |
|
§ 3. Метод Ритца |
397 |
|
§ 4. Метод Канторовича |
406 |
|
Задачи к главе 10 |
412 |
|
Ответы и указания к задачам |
414 |
|
Рекомендуемая литература |
421 |
|
Предметный указатель |
422 |
|
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
||
Асимптотически устойчивое решение |
327—350 |
|
204 |
Вариационное исчисление 281 |
|
Бернулли уравнение 30 |
— —, основная лемма 295 |
|
Бесселя уравнение 139 |
Вариационный принцип 281, 320 |
|
— функции 141—143 |
Вариация 284, 288, 289, 309, 313 |
|
Бигармоническое уравнение 317 |
Вейерштрасса функция 359 |
|
Близость кривых 285, 286 |
Векторная линия 245 |
|
Брахистохрона 281, 304, 332, 364 |
— поверхность 244 |
|
Вариации постоянной метод 28 |
Взаимности принцип 388 |
|
Вариационная задача 281 |
Влияния функция 123, 161 — 165 |
|
— — в параметрической форме |
Вронского определитель 97, 185 |
|
317—320 |
Галеркина метод 410 |
|
— — на условный экстремум 375— |
Гамильтона — Якоби уравнение 370 |
|
393 |
Гамма-функция 140 |
|
— —, прямые методы решения 394— |
Геодезическая линия 282, 381 |
|
413 |
Голономные связи 382 |
|
— — с подвижными границами |
Граничная задача 13, 159 |
|
Грина функция 161 — 165 Гурвица теорема 227 Дикритический узел 211 Динамическая система 170 Дирихле задача 315 Дифференциальное уравнение 9
—— Бернулли 30
—— Бесселя 139
—— в полных дифференциалах 32 Дифференциальное уравнение в
частных производных 10
—— — — — первого порядка 241— 279
—— высшего порядка 85—167
——, интеграл 20
——интегрирование 10
——,— с помощью рядов 137—146
—— Клеро 73
—— Лагранжа 73
—— линейное высшего порядка
93—106, 113—124
—— — неоднородное с постоянными коэффициентами
124—136
—— — однородное с постоянными коэффициентами 107—110
—— — первого порядка 27
—— —, фундаментальная система решений 100
——, не решенное относительно производной 68
——, общее решение 15, 86
——, общий интеграл 20, 32
—— обыкновенное 10
—— однородное 25
——, операторный метод решения
129—136
——, особое решение 57, 78
——, периодические решения 143— 146
——, порядок 10
—— Пфаффа 255
——, решение 10, 169
—— Риккати 31
—— с разделенными переменными
19
—— с разделяющимися переменными 21
——, теорема существования и единственности решения 39— 61, 75— 82, 85—87
—— Эйлера 110—113, 136
Изоклины 17 Изопериметрическая задача 282, 317,
385
Изопериметрические условия 282,386 Интеграл дифференциального
уравнения 20
—первый 89, 179
—полный 261
Интегральная кривая 16, 169
— — особая 78 —- поверхность 261, 268
Интегрируемая комбинация 178 Интегрирующий множитель 35 Канторовича метод 406—412 Квазилинейное уравнение в частных производных 243 Клеро уравнение 73 Ковалевской теорема 242 Коши задача 13
—метод 121, 268
Краевая задача 13, 159 Лагранжа уравнение 73 Лагранжа — Шарли метод 264 Лагранжиан 324 Лапласа уравнение 315 Лежандра условие 362
Линейная зависимость 96, 185
—система дифференциальных уравнений 181—192
—— — — с постоянными коэффициентами 192—199
Линейное дифференциальное уравнение 27
— — — в частных производных
неоднородное 243
—— — — — — однородное 243
—— — высших порядков 93—106, 113—124
—— — с постоянными коэффициентами 107—110, 124—136
—— —, фундаментальная система
решений 100 Линейный дифференциальный
оператор 94—183
—функционал 287 Липшица условие 40 Ляпунова второй метод 215
—теорема 215, 217
—функция 215
Максимум функционала 289
—— сильный 290
—— слабый 290
—— строгий 289 Малкина теорема 235
Малого параметра метод 147—158 Метрическое пространство 48 Минимум функционала 289 Минимум функционала сильный 290
—— слабый 290
Наклон поля 351 Наложения принцип 114, 189 Начальная задача 13 Неголономные связи 382
Непрерывный функционал 285, 286 Неустойчивое решение 204 Неустойчивый предельный цикл 226
—узел 208, 211
—фокус 209
Общее решение дифференциального уравнения 15, 86
Общий интеграл дифференциального уравнения 20
Обыкновенное дифференциальное уравнение 10
Огибающая 74 Оператор линейный
дифференциальный 94, 183 Операторный метод решения
дифференциальных уравнений
129—136
—многочлен 129 Определитель Вронского 97, 185 Оптимальная функция 391 Оптимальное управление 391 Особая интегральная кривая 78
—точка 57
Особое решение дифференциального уравнения 57, 78
Остроградского уравнение 314 Остроградского — Гамильтона
принцип 320 Остроградского — Лиувилля
формула 106 Первого приближения система
уравнений 221 Первый интеграл 89, 179
Периодические решения дифференциального уравнения
143—146
Периодичности условия 157 Плотность функции Лагранжа 324 Покоя точка 171, 205 Поле собственное 351
—центральное 351
—экстремалей 352
Полная интегрируемость уравнения Пфаффа 256 Полное пространство 48 Полный интеграл 261
Полуустойчивый предельный цикл
226
Порядок дифференциального уравнения 10
Последовательных приближений метод 199
Предельный цикл 23, 226
—— неустойчивый 226
—— полуустойчивый 226
—— устойчивый 226