ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2025
Просмотров: 1480
Скачиваний: 1
h 2 n2
где ао- Боровский радиус, ао = 4н2mе2 = mе2
1
В атомных единицах Е1 = -'2 н
(Н- атомная единица энергии - «Хартрю); lн=27,2 еВ).
Е =13.6 еВ - это потенциал ионизации атома водорода (отрыв электрона от атома водорода). По мере роста n - расстояние между уравнениями энергии уменьшается и при n ~ 00, и·~ о . Это значит, что когда электрон
уходит из атома, условие квантования энергии снимается.
ИЗ радиальной части уравнения Шредингера вытекает и ограничение
целого числа / |
: n ~ / + 1 или 1::0; n -1. Само |
1 получается из уравнения |
||
/(8)=/(/+1) |
|
|
|
|
Его решение приводит к так называемому побочному или |
||||
орбитальному |
квантовому |
числу |
/ , |
которое может принимать |
целочисленные значения от О: |
1=0,1,2... |
до (n-1), всего n значений. Это |
||
квантовое число характеризует орбитальный момент количества движения (угловой) и определяет форму электронного облака. Величина момента количества движения связана с 1 следующим образом:
При 1=О, вектор момента количества движения тоже равен нулю и электронное облако обладает шаровой симметрией.
При 1=0 состояние электрона называется s- состоянием
1=1 состояние электрона называется р- состоянием 1=-2 состояние электрона называется d- состоянием
В уравнение f( 8) |
входит |
еще одно |
целое число т, - магнитное |
квантовое число, и |
из этого |
уравнения |
вытекает ограничение т" Т.е. |
вывод, что (т, ::о; 1)
Само же маГНИТlIое квантовое число вытекает из первого уравнения
или
Магнитное квантовое число определяет проекцию вектора момента количества движения на выбранную ось (обычно ось z) В магнитном поле
(отсюда название «мал!Итиое квантовое число»)). Проекция вектора
момента количества движения квантуется и величина ее
30
|
h |
М. ;: nl, -- =m,1i • |
|
. |
2н |
При данном / т, ПРОХОДJП все значения от +/ до -1, всего (21 + 1)
значениЙ.
Электрон, у которого есть угловой момент количества движения,
обладает магнитным моментом р, (т.к. его можно рассматривать как
замКНУТЫЙ электрический ток).
Р/ =е·v·1!Г2 ,
у- частота движения электрона вокруг ядра,
а механический момент М
IMI=Imvrl =m· у.21!Г·r =2mпи-2
|
|
р, |
е . у. 7rr 2 |
е |
|
|
|
|
IЙ,I = 2mп·y·y2 = 2т |
|
|||
11/ =IM,I~ |
или |
р, =.JЩ+iJ_l..!:.... = |
eh |
.JiV+lj =.!.....ft..Ji{i+lj |
||
2т' |
|
|
~ ~ |
4~ |
~ |
|
еЬ |
eh |
|
|
|
|
|
Величина 4;~ = i~ = f.lБ |
- единица |
магнJПНОГО момента в |
||||
|
|
|
|
eh |
е;' |
- в электромагнитных |
электростатических |
единицах, |
или |
-- = - |
|||
|
|
|
|
4~c |
2mс |
|
единицах
f.JБ = 0,92·10-27 ДжlГс= 0,92· Io-2О эргlГс
РН -магнетон Бора (магнетон Бора еще обозначают р.)
И обычно орбитальный магнитный момент элеъ."Трона выражают в
единицах
р, =JZ(l + I)f.JБ
если / = О, р, = О, Т.е. для S -состояния Р, '"О.
Итак, полное решение уравнения llIредингера для атома водорода
ПРиводит к 3 квантовым числам и их значениям, дает возможные
Энергетические уровни электрона и определяет вид волновых функций,
описывающих состояние электрона в общем виде
\f'= Фш, (<р)эm,,1(э)
\ |
I |
V
УГЛОВАЯ
ЧАС1Ъ
31
Pf(x) = ABf(x) =A[Bf(x)]
в общем случае порядок расположения двух операторов в
произведении не безразличен, т. е. линейные операторы не обязательно
коммутируют. Если же А· В = В . А , то операторы обладают свойствами
ком.,иуmаmив1l0сmи.
Важным свойством операторов является свойство
самосопряженности - поскольку операторы должны приводить к
вещественным значениям величин, то должно выполняться условие
JЧ'*f'lIdт= J'PF*'P*dT,
Т.е. если в операторе есть i, то перед ним меняется знак. Если в
результате применения оператора F к регулярной функции f получается
вновь та же функция, умноженная на некоторое число А., Т.е. F .f = J.f то
все члены указанного класса функций называются собственными
функциями оператора F, а различные возможные значения л
соответствующие собственным функциям, называются собственными
значениями этого оператора.
Как же определить какой оператор нужно сопоставить той или иной динамической переменной? Есть правило нахождения квантово
механических операторов, которое состоит в следующем:
Вклассической механике все динамические величины можно
выразить в переменных р и q , Т.е. через пространетвенную координату и
импульс. Если динамическая переменная является пространственной
координатой q, то соответствующий ей оператор будет оператор
умножения Q , Т.I<. операlЩЯ состоит в умножении функции па эту
координату
л
Q'P = q'P
Q-оператор, соответствующий q
Потенциальной энергии тоже сопоставляется оператор умножения
на эту величину, т.к. потенциальная энергия является функцией координат
V(q) - V(q) . Оператор, соответствующий количеству движения или
импульса обозначается
р== -i1i~= -i1iV aq
и является дифФеренциальным оператором первого порядка.
l6
Нl |
В |
'/i8'1' |
Он переводит функцию т |
- l -эq. Если взять компоненты |
импульса, то соответствующие им операторы будут:
" .д" .д" |
д |
||||
Р |
=-ln- |
р |
=-ln- |
Р |
;-i/i- |
х |
ах; |
у |
ау; |
% |
дZ |
Операторы lp..,p.j, lpx,p:l и lJ\,.p%l- коммутируют между собой (таюке
как и операторы координаты), а операторы импульса и координаты не
коммутируют. Разность А·в-в·А= lA,BJ называется коммутатором.
Операторы коммутируют если коммутатор равен нулю (или "исчезает") .
[Рх,х]= Рх;х - хРх = -i1i ИТ.д.
Важно, что две физические величины могут быть одновременно
измерены, если их операторы коммутируют. Принцип неопределеннщ:ти
применим к тем величинам (или "наблюдаемым"), операторы которых не
коммутируют. Кинетическая энергия
mv2 р2
Т=-=-
2 2т
Составляющие кинетической энергии по координатным осям
Т = _рХ2_ |
т = _ру_2 |
|
Т = Р•2 |
|
|||
х |
2т |
у |
2т |
|
z |
2т |
|
Операторы, соответствующие компонентам кинетических энергий в |
|||||||
направлении трех осей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
_82_ |
|
|
|
Т =(-nia~v)2 ._- __п |
|
|
||||
|
х |
л. |
2т - |
2т ах2 |
|
|
|
|
|
|
" |
1i 2 82 |
|
||
|
|
|
Т = ---- |
|
|||
|
|
|
z |
2т 8z |
2 |
|
|
Оператор кинетической энергии: |
|
|
|
|
|||
i:_~(~+~+~)=_~V2=_~б |
|
||||||
|
2т &:2 |
~2 |
дZ2 |
2т |
|
2т |
|
Полная энергия классической системы равна сумме кинетической |
и |
||||||
потенциальной энеРI'ИЙ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E=T+V |
|
|
|
|
|
Оператор |
полной |
энергии |
или |
оператор |
Гамильтона |
Н |
|
определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий:
" h2 |
( |
82 |
82 |
82) |
+v, |
п2 |
2 |
+v, |
Н :=--- |
|
- + - + - |
=---'\1 |
|
||||
2т |
|
8х2 |
ду2 |
8z 2 |
(x,y,z) |
2т |
|
(XoYoz) |
17
Забежим немного вперед и заметим, что для полного описания состояния электрона в атоме необходимо еще одно квантовое число -
сnиновое, его нет в уравнении Шредингера и, оно появляется лишь в
квантовой механике Дирака. Это квантовое число связывается со
свойством электрона - наличием у него собственного механического и
магнитного момента, и представить себе это можно, сели принять, что электрон вращается вокруг собственной оси. Спин - как СВОЙС1'ВО электрона, было введено Уленбеком и Гаудсмитом при объяснении
расщеnлений в атомных спектрах в маГНИ1110М поле и является очень
важной характеристикой состояния электрона. Спиновое квантовое число
s = 1'2' которое часто называется просто спином.
Величина собственного момента количества движения электрона
равна
где |
s - |
1 |
- |
2' Проекция вектора собственного момента количества |
движения на ось орбитального момента квантуется и может принимать
только два значения
А1z = тs -n ,
где тs == ± ~ - магнитноеспиновое квантовое число.
Электрон обладает и СIlИНОВЫМ магнитным моментом
Ils = g ,s{s +'1) -IlБ,
где g - ГИРОМЮ'нитное отношение или фактор Ланде для орбитального р, g =1, ДЛЯ спинового f.J s g ~ 2 ).
Итак, состояние электрона в атоме ПОJlНОСТЫО определяется
четырьмя квантовыми числами.
Если n =1, то 1 =О и 111, |
= О - JТO S - состояние электрона |
Если n = 2 , то 1= 0;1 |
|
Т.е. возможны 2 состояния |
S - состояние и р - состояние |
Для р - состояния 111, может принимать три значения 1; О; -1, Т.е.
р- облако может в пространстве иметь 3 различных ориентации. Вектор момента количества движения имеет 3 направления в магнитном поле
(рис.2.1).
Итак, для одного и того же n МЫ имеем различные состояния электрона, но энергия этих состояний одна и та же. Такое явление
называется вырождением. Вырожденным энергетическим уровнем
32