Файл: Лавриненко О.Ю. - Алгоритми та програмні засоби фільтрації і стиснення сигналів в ТКС.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.04.2019
Просмотров: 2722
Скачиваний: 3
31
сигналів, в яких у різні моменти часу присутні різні частотні компоненти. У
стаціонарних ж сигналах всі частотні компоненти присутні протягом усього часу,
тобто різні частоти маються на всьому часовому інтервалі. Перетворення Фур'є
може використовуватися для аналізу нестаціонарних сигналів, коли важлива лише
частотна інформація, а час існування спектральних складових неважливо.
2.2. Віконне перетворення Фур’є
Для
частотно-часової
локалізації
структурних
елементів
сигналу
використовується короткочасне, або віконне, перетворення Фур'є:
dt
b
t
w
e
t
s
b
S
t
i
)
(
)
(
)
,
(
,
(2.2)
де S(
,b) - перетворення Фур'є сигналу s(t), помноженого на віконну (локальну)
функцію w(t-b). Таким чином, S(
,b) - розкладання сигналу по сімейства функцій
t
i
e
b
t
w
)
(
, створеному з єдиною функції за допомогою переносів b за часом і
переносів
по частоті. Перетворення стає залежним від часу, і в результаті
виходить частотно-часове представлення сигналу. Даний підхід дозволяє визначити
факт присутності в сигналі будь-якої частоти і інтервал її присутності. Це значно
розширює можливості методу в порівнянні з класичним перетворенням Фур'є, але
існують і певні недоліки. Згідно з принципом невизначеності Гейзенберга, при
використанні даного перетворення не можна стверджувати факт наявності частоти
0
в сигналі в момент часу t
0
- можна лише визначити, що певний спектр частот (
1
,
2
) присутня в інтервалі (t
1
, t
2
). Таким чином, в результаті спектрального аналізу
можна визначити тільки тимчасові інтервали, протягом яких у сигналі існують
смуги частот. Ця проблема називається проблемою розрішення. Дана проблема
пов'язана з шириною що використовується віконної функції. Ця ширина називається
ще носієм функції. Якщо вікно досить вузьке, то говорять про компактний носії.
Вузьке вікно забезпечує краще тимчасовий дозвіл, а широке - краще частотне.
Проблема полягає в тому, що доводиться вибирати вікно з фіксованою шириною для
32
аналізу всього сигналу, тоді як різні його ділянки можуть вимагати застосування
різних вікон.
2.3. Інтегральне вейвлет-перетворення
Інтегральне вейвлет-перетворення дає подібне частотно-часовий опис з
деякими істотними відмінностями і являє собою скалярний твір сигналу s(t) і
двопараметричної вейвлет-функції
)
(
,
t
b
a
заданого виду. Причому будь вейвлет-
функція
)
(
,
t
b
a
даного сімейства виходить з єдиної материнської функції
шляхом розтягування / стиснення та зсуву
a
b
t
a
t
b
a
2
/
1
,
)
(
. Термін
«материнський» означає, що функції з різною шириною носія, використовувані в
перетворенні, породжуються однією базовою функцією - материнським вейвлетом.
Інтегральне вейвлет- перетворення функції s(t) має вигляд:
dt
t
t
s
b
a
S
b
a
)
(
)
(
)
,
(
,
,
(2.3)
де a - параметр часового масштабу, який визначається як (1/частота) і
відповідає за ширину вейвлета, b - параметр зсуву, який визначає положення
вейвлета на осі часу. Нормалізація
на множник
2
/
1
a
гарантує, що інтегральна
енергія кожного вейвлета
)
(
,
t
b
a
не залежить від а. Для вейвлет- перетворення
анализирующая функція
)
(
,
t
b
a
виходить з однієї материнської (або породжує)
функції
)
(t
, причому великі значення а відповідають низьким частотам, малі -
високим. Двопараметричного функція S
(a,b) дає інформацію про зміну відносного
внеску компонент різного масштабу в часі і називається спектром коефіцієнтів
вейвлет-перетворення. Масштаб є в певному сенсі аналогом частоти в Фур'є -
перетворенні. Однак на відміну від нього кожному значенню масштабу відповідає
нескінченна кількість зсунутих один щодо одного локалізованих в часі вейвлет-
функцій. Досить грубо можна представити вейвлети як деякі хвильові функції
(модульовані імпульсами синусоїди), здатні здійснювати перетворення Фур'є не по
всій часовій осі, а локально за місцем свого розташування. Для цього, крім зміни
33
середньої частоти, маленькі хвилі повинні переміщатися до того місця сигналу, в
якому повинно здійснюватися локальне перетворення Фур'є.
Сутність інтегрального вейвлет-перетворення полягає в розбиття сигналу s(t) на
масштабовані і зсунуті по осі часу версії материнського вейвлета і обчисленні
коефіцієнтів кореляції ділянок вихідного сигналу s(t) і версій вейвлета
)
(
,
t
b
a
на
заданому масштабі. У результаті виходить набір коефіцієнтів, що показують,
наскільки поведінка сигналу в даний момент часу схоже на поведінку вейвлета на
даному масштабі, тобто вейвлет-коефіцієнти відображають близькість сигналу до
вейвлета даного масштабу. Чим ближче вид аналізованого сигналу в околиці даного
моменту часу до виду вейвлета, тим більшу абсолютну величину має відповідний
коефіцієнт. Негативні коефіцієнти показують, що сигнал схожий на дзеркальне
відображення вейвлета. Таким чином, дане подання залежить від параметра
масштабу a і виду функції
)
(
,
t
b
a
, причому вейвлет-коефіцієнти містять інформацію
про аналізуючий вейвлет і аналізований сигнал.
На рис. 2.1, б представлено розбиття частотно-часовій площині для віконного
перетворення Фур'є, а на рис. 2.2, б - для інтегрального вейвлет-перетворення.
Рис. 2.1. Віконне перетворення Фур'є в площині час-частота: а - приклад
базисних функцій
)
(
0
0
t
w
e
t
jk
при зсуві
0
і k = 1,2,3 (дійсна частина); б - умовне
зображення базисних функцій при заданих k (заштриховані прямокутники)
34
Рис. 2.2. Вейвлет-перетворення в площині час-частота: а - приклад базисних
вейвлет-функцій при різних масштабах:
(а=2
k
, k=0,1,2)
; б - умовне зображення
вейвлет-функцій на заданому масштабі (заштриховані прямокутники)
Відповідно до принципу невизначеності, звуження вікна аналізу в часовій
області, викликає розширення його в частотній. Таким чином, площа вікна
(прямокутника) залишається постійною. При віконному перетворенні Фур'є вікно
аналізу суворо локалізовано за часом і частоті, а при безперервному вейвлет-
перетворенні локалізація змінюється залежно від масштабу. Ділення t і b на
масштабний коефіцієнт дозволяє зберегти відносну щільність розташування
базисних функцій по осі t при розширенні / стисненні самої функції і при b/a=const.
Кожен прямокутник (рис. 2.2) відповідає значенню вейвлет-перетворення на
частотно-часовій площині. Всі точки, що належать одному прямокутнику,
представляються одним значенням вейвлет-перетворення. Прямокутники різної
ширини і висоти мають однакову площу. На нижніх частотах висота прямокутників
менше (що відповідає кращому вирішенню за частотою), а ширина прямокутників
більше (що відповідає гіршого вирішенню за часом). На високих частотах дозвіл за
часом поліпшується, а за частотою - погіршується. Таким чином, вейвлет-
перетворення дозволяє отримати хорошу дозвіл за часом (погане за частотою) на
високих частотах і хороше дозвіл по частоті (погане за часом) на низьких частотах.
Цей підхід стає особливо ефективним, коли сигнал має високочастотні компоненти
короткою тривалістю і протяжні низькочастотні компоненти. У разі віконного
перетворення Фур'є частотно-часова площина складається з прямокутників
однакового розміру.
35
З (2.2) і (2.3) видно, що обидва перетворення представляють скалярну
проізводну s(t) і сімейства функцій, забезпечених двома індексами
t
i
e
b
t
w
)
(
, і
)
(
,
t
b
a
. Коли, а змінює свої значення, то
)
(
,
t
b
a
змінює свою частоту. Причому
великі значення параметра,
а
відповідають малим частотам або великому
масштабу, а малі параметри,
а
відповідають високим частотам або дрібному
масштабом. Різниця між вейвлет-перетворенням і віконним перетворенням Фур'є
складається у формі аналізують функцій
)
(
,
t
b
a
і
t
i
b
e
b
t
w
t
w
)
(
)
(
,
. Всі функції
)
(
,
t
w
b
, незалежно від значення
, мають одну і ту ж ширину в часі, а всі
)
(
,
t
b
a
мають ширину в часі, відповідну частоті
: високочастотні
)
(
,
t
b
a
є вузькими,
низькочастотні
)
(
,
t
b
a
- широкими.
Важливим відмінністю є те, що у разі вейвлет-перетворення в найбільш
загальній постановці конкретизується не тільки сам породжує вейвлет, але і те, які
його копії беруть участь у розкладі. Таким чином, термін вейвлет-перетворення є
позначенням цілого класу розкладань. Перетворення Фур'є є розкладанням по
фіксованій системі функцій.
При базисних параметрах (a, b) зворотне вейвлет -перетворення має вигляд:
2
,
1
)
(
)
,
(
)
(
a
dadb
t
b
a
S
C
t
s
b
a
,
(2.4)
де
d
dt
t
i
t
d
C
1
1
2
)
exp(
)
(
2
)
(
2
- нормалізує
коефіцієнт (аналогічний коефіцієнту (2
)
1/2
, нормалізуючому перетворення Фур'є),
що залежить від використовуваної вейвлет-функції.
Умова кінцівки константи C
обмежує клас функцій
(t), які можуть бути
використані в якості базисних вейвлетов. З визначення C
випливає, що Фур'є-образ
(
) має дорівнювати нулю на початку координат
=0 і отже, має дорівнювати
нулю, принаймні нульовий момент:
0
)
( dt
t
.
(2.5)