Файл: Лавриненко О.Ю. - Алгоритми та програмні засоби фільтрації і стиснення сигналів в ТКС.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.04.2019
Просмотров: 2726
Скачиваний: 3
36
Умова (2.5) не накладає багато обмежень, так як може бути знайдено безліч
вейвлет-функцій, що задовольняють (2.5).
2.4. Основні ознаки вейвлет-функції
Ознаками, якими обов'язково повинна володіти функція, щоб бути вейвлетом, є
наступні.
1) Локалізація. Вейвлет-перетворення на відміну від перетворення Фур'є
використовує локалізовану базисну функцію. Вейвлет повинен бути локалізована і в
часі, і по частоті. Для цього достатньо, щоб виконувалися умови
1
)
1
(
)
(
t
C
t
і
1
)
1
(
)
(
C
, де
0.
2) Нульове середнє. Середнє значення вейвлета має бути рівним нулю (2.5),
тобто значення функції швидко сходяться до нуля при збільшенні абсолютного
значення аргументу. Ця умова є загальним для всіх вейвлетов. Воно називається
умовою осциляцій, або знакозмінними. Накладається на функцію
)
(t
умова (2.5)
означає, що
0
)
0
(
. У силу чого Фур'є-образ зміщений по осі часу і буде
розташований навколо деякої ненульовий частоти
0
, яку можна розглядати як
середню кругову або центральну частоту вейвлета, яка визначає положення піку
Фур'є-образу вейвлета на осі частот.
У частотній області спектри багатьох вейвлетов нагадують сплеск, пік якого
припадає на частоту
0
. Якщо наближено трактувати вейвлет як модульовану
синусоїду, то її частота і буде середньою частотою вейвлета.
Часто для практичних додатків виявляється необхідним, щоб не тільки
нульовий, а й всі перші p моментів були рівні нулю:
0
)
( dt
t
t
p
,
(2.6)
де p=0,1,…,M-1 (M - число нульових моментів). Ця умова ортогональності
вейвлета поліномах до ступеня M-1, що визначає його гладкість і знакоперемінність.
Такий вейвлет називається вейвлетом p -го порядку. Він дозволяє аналізувати більш
37
тонку структуру сигналу, пригнічуючи повільно змінюються (поліноміальні) його
складові сигналу виду
1
1
2
2
1
0
...
M
M
t
a
t
a
t
a
a
. Порядок застосовуваних
вейвлетов залежить від форми вихідного сигналу: в разі наявності сильних
флуктуацій краще брати низький порядок вейвлета, для більш гладких сигналів слід
застосовувати вейвлети високого порядку. Вибір порядку вейвлета визначається
гладкістю сигналу, необхідним рівнем стиснення і вартістю обчислень, яка зростає з
ростом порядку.
3) Обмеженість. Вейвлет повинен бути досить швидко спадною функцією
часової змінної:
dt
t
2
)
(
.
(2.7)
4)
Автомодельність базису. Характерною ознакою базису вейвлет-
перетворення є його самоподібність. Всі вейвлети даного сімейства
)
(
,
t
b
a
мають те
ж число осциляцій, що і базисний вейвлет
(t), оскільки отримані з нього за
допомогою масштабних перетворень і зрушень.
Основний при роботі з вейвлет-перетворенням є проблема вибору найбільш
відповідного вейвлета. Вибір конкретного сімейства вейвлетів диктується
прикладними завданнями та типом інформації про сигнал, який потрібно
максимально проявити (розпізнати). Не існує якихось жорстких правил, але краще
всього вибирати вейвлет таким чином, щоб він належав такому ж класу функцій, що
й аналізований сигнал. Якщо вихідну функцію можна апроксимувати поліномом, то
кількість нульових моментів вейвлета повинно приблизно дорівнювати ступеня
полінома. В якості можливих критеріїв для вибору конкретного вейвлета можна
використовувати число нульових моментів вейвлета і число вейвлет-коефіцієнтів,
що перевищують деяке порогове значення. Число нульових моментів більш важливо
для досягнення більш високого коефіцієнта стиснення сигналу, який при великому
числі нульових моментів збільшується. Гладкість вейвлета стає важливіше при
зворотному перетворенні, коли необхідно згладити помилки, викликані стисненням
(відкиданням малих вейвлет-коефіцієнтів).
38
Маючи в своєму розпорядженні вейвлет-спектром, можна розрахувати повну
енергію сигналу:
2
2
2
)
,
(
)
(
a
dadb
b
a
S
dt
t
s
E
s
,
(2.8)
і глобальний спектр енергії - розподіл повної енергії за масштабами
(скейлограмму вейвлет-перетворення):
db
b
a
S
a
E
S
)
,
(
)
(
2
.
(2.9)
Скейлограмма відповідає спектру потужності Фур'є-перетворення сигналу,
згладженому на кожному масштабі спектром Фур'є аналізує вейвлета:
d
s
a
E
S
2
)
(
)
(
)
(
, де знак ^ позначає Фур'є-образ функції.
Інтегральне вейвлет -перетворення володіє наступними недоліками.
По-перше, воно дає надмірну інформацію при аналізі сигналів через перекриття
носіїв вейвлета.
По-друге, воно може бути проведене аналітично лише для найпростіших
функцій, а його комп'ютерне обчислення вимагає великих часових і
обчислювальних ресурсів. Тому в додатках зазвичай використовується дискретний
варіант, який при спеціальному виборі базисних функцій може бути виконаний
досить ефективно і без додаткових витрат пам'яті.
Приклади часто використовуваних вейвлетів.
1. HAAR-вейвлет:
1
,
0
,
0
,
1
2
/
1
,
1
,
2
/
1
0
,
1
)
(
t
t
t
t
t
39
2. FHAT-вейвлет (French hat):
,
1
,
0
1
3
/
1
,
2
/
1
,
3
/
1
,
1
)
(
t
t
t
t
3. Wave-вейвлет:
2
exp
)
(
2
t
t
t
4. MHAT-вейвлет (Mexican hat):
2
exp
)
1
(
)
(
2
2
t
t
t
5. Вейвлет Морле (комплексний базис):
2
exp
)
(
2
0
r
r
ik
t
40
2.5. Дискретне вейвлет-перетворення
Для кращої частотно-часової локалізації
(t) повинен бути відмінний від нуля
тільки в кінцевому інтервалі, званому компактним носієм. Параметри масштабу а і
зсуву b змінюються безперервно, і тому безліч базисних функцій надмірно. Для
усунення цього недоліку необхідна дискретизація значень а і b при збереженні
можливості відновлення сигналу з його перетворення. У зв'язку з цим для a беруться
цілі (негативні і позитивні) ступеня фіксованого параметра a
0
>1, тобто
m
a
a
0
,
Причому різні значення m відповідають різній ширині вейвлетов. У цьому випадку
дискретизація параметра зсуву b повинна залежати від m: вузькі (високі частоти)
вейвлети зсуваються малими кроками, щоб покрити весь часовий спектр, в той час
як більш широкі (низькі частоти) вейвлети зсуваються великими кроками. Отже,
m
a
nb
b
0
0
де b
0
>0; m, n - цілі. Можливий довільний вибір параметра b
0
, наприклад,
b
0
=1. Із збільшенням масштабу збільшується розмір кроку зсуву, оскільки при
аналізі з великим масштабом деталі не так важливі.
Для дискретних значень а і b вейвлет-функції представляються у вигляді:
)
(
)
(
0
2
/
0
,
n
t
a
a
t
m
m
n
m
,
(2.10)
і утворюють ортонормованій базис для квадратично інтегровних функцій на
дійсній осі. Властивість ортогональності дозволяє отримувати незалежну
інформацію на різних масштабах. Нормованих забезпечує збереження величини
інформації на різних етапах перетворення.
Пряме дискретизоване вейвлет-перетворення зводиться до обчислення
коефіцієнтів
n
m
S
,
на основі дискретизації безперервного вейвлет-перетворення
(2.3):
dt
t
s
n
t
a
a
d
S
m
m
n
m
n
m
)
(
)
(
2
/
0
2
/
0
,
,
.
(2.11)