Файл: Лавриненко О.Ю. - Алгоритми та програмні засоби фільтрації і стиснення сигналів в ТКС.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.04.2019
Просмотров: 2727
Скачиваний: 3
41
Тут
n
m
d
S
n
m
,
,
- деталізуючі коефіцієнти для вейвлет-декомпозиції сигналу
рівня m. Відновлення s(t) з послідовності
n
m
S
,
можливо в тому випадку, якщо
існують числа A>0 і B<
такі, що
Z
m
Z
n
n
m
t
s
B
d
t
s
A
2
2
,
2
)
(
)
(
,
(2.12)
для всіх s(t)
L
2
(R), де L
2
(R) означає безліч функцій, інтегрованих з квадратом в
інтервалі R; R:=(-
, +
) - нескінченний інтервал визначення значень незалежної
змінної; Z – …-1,0,1,2,… - безліч цілих чисел. З (2.12) випливає, що хоча
реконструкція s(t) з її вейвлет-коефіцієнтів може не збігатися точно з s(t), вона буде
близька до неї в сенсі забезпечення мінімуму середньоквадратичної похибки
відновлення. З (2.4) і (2.11) слідує вираз для зворотного дискретизованого вейвлет-
перетворення:
Z
m
Z
n
m
m
n
m
n
t
a
a
d
C
t
s
)
(
)
(
2
/
0
2
/
0
,
1
.
(2.13а)
Якщо базисні функції нормалізовані таким чином, що C
=1, то остаточна
формула реконструкції сигналу записується у вигляді:
Z
m
Z
n
n
m
n
m
t
d
t
s
)
(
)
(
,
,
. (2.13б)
Дискретизоване вейвлет-перетворення найбільш ефективно в задачах стиснення
сигналів та зображень, задачі очищення сигналу від шумів. Безперервне вейвлет-
перетворення в основному використовується для аналізу перехідних процесів,
виявлення різких змін в сигналі і дослідження нестаціонарні.
Особливою різновидом безперервного вейвлет-перетворення є діадне (dyadic)
вейвлет-перетворення (a
0
=2), яке часто називають дискретним і за допомогою якого
згідно (13а) при j = -m/2; n = k будь квадратично-інтегрований сигнал s(t)
L
2
(R)
може бути представлений у вигляді суми:
)
2
(
2
)
(
k
t
d
t
s
j
j
k
j
jk
.
(2.14а)
42
Важливою особливістю подібної дискретизації є виключення перекриття носіїв
вейвлетів, тобто усунення надмірності в ході вейвлет-перетворення. Вибір знака +
або - при ступені a
0
залежить від вибору вихідного розміру вейвлета - розтягнутий
або стиснений. Якщо розтягуємо (стискаємо) материнський вейвлет
(t) щодо
сигналу в процесі перетворення, то вибирається
(
) при ступені a
0
. Індекс j є
параметром масштабу і називається рівнем дозволу, індекс k є параметром зсуву.
Зокрема, коефіцієнти
jk
d
несуть інформацію про s(t) в околиці частоти
j
2
1/
і
моменти часу
k
j
2
.
Часткову суму ряду (2.14а):
)
2
(
2
)
(
1
0
0
k
t
d
t
s
j
j
j
j
k
jk
j
, (2.14б)
називають наближенням сигналу s(t) c дозволом j
0
. Сигнал можна представити у
вигляді суми початкового наближення (тобто наближення з деяким початковим
дозволом j
0
) і решти членів ряду (2.14а):
)
2
(
2
)
(
)
(
0
0
k
t
d
t
s
t
s
j
j
j
j
k
jk
j
.
(2.15)
Таке розкладання забезпечує багатомасштабного аналіз s(t). Перший член ряду
є грубим поданням сигналу. При додаванні до нього членів ряду ступінь деталізації
збільшується, тобто збільшується дозвіл, з яким представлений сигнал.
Основним завданням теорії вейвлет-перетворення є доказ того, що пряме і
зворотне вейвлет-перетворення здатне забезпечувати реконструкцію сигналу,
причому точну або хоча б наближену, локальну або для сигналу в цілому на
заданому проміжку часу. У загальному випадку вейвлет-перетворення на основі
деталізуючої ортогональної вейвлет-функції
(t) здатне відновити, принаймні, тонкі
деталі тимчасової структури сигналу s(t). Для відновлення повної форми сигналу
необхідно вдаватися до застосування ще однієї часової функції
(t), званої
масштабується (апроксимуючої) або скейлинг-функцією (батьківським вейвлетом) з
одиничним значенням інтеграла
1
)
( dt
t
, визначальною грубе наближення
43
(апроксимацію) і породжує коефіцієнти апроксимації. Функції
(t) притаманні
далеко не всім вейвлетам, а тільки тим, які відносяться до ортогональних.
2.6. Кратномасштабне подання сигналів
Одна з основних ідей вейвлет-представлення сигналів полягає в розбивці
наближення до сигналу на дві складові: грубу (аппроксимуючу) і витончену
(деталізуєчу) з подальшим їх уточненням ітераційним методом. Кожен крок такого
уточнення відповідає певному рівню декомпозиції та реставрації сигналу. Процес
декомпозиції дискретної послідовності значень у середні значення і деталізують
значення при різних масштабах називається кратномасштабного аналізом. Вейвлет-
перетворення є засобом багатомасштабного аналізу, що дозволяє розглядати
досліджуваний сигнал з різними масштабами. Подібне уявлення сигналу дозволяє
аналізувати динаміку зміни сигналу залежно від масштабу та взаємодії подій на
дрібних масштабах, що переростають у великомасштабні. Кратномасштабне
представлення лежить в основі багатьох застосувань вейвлет-аналізу та вейвлет-
перетворень. Наприклад, стосовно до сигналів зображень воно означає
представлення зображень послідовністю образів з різним ступенем їх деталізації.
Відповідно до теорії багатомасштабного аналізу в якості ортонормированного
вейвлет-базису
k
j
k
j
,
,
,
використовуються
вейвлет-функція
)
2
(
2
)
(
2
/
,
k
t
t
j
j
k
j
і скейлинг-функція
)
2
(
2
)
(
2
/
,
k
t
t
j
j
k
j
. У цьому випадку
материнський
вейвлет
)
(t
і
скейлинг-функція
)
(t
задовольняють
співвідношенням
)
2
(
)
(
2
)
(
1
2
0
k
t
k
g
t
M
k
і
)
2
(
)
(
2
)
(
1
2
0
k
t
k
h
t
M
k
, де g(k) і
h(k) - коефіцієнти, відповідні імпульсним характеристикам низькочастотного і
високочастотного фільтрів, 2М - число, зване компактним носієм і характеризує
ширину часового інтервалу, на якому скейлинг і вейвлет-функції відмінні від нуля, і
мають наступні нормувальні умови:
0
)
( dt
t
і
1
)
( dt
t
.
44
У цьому випадку будь-яка функція
)
(
)
(
2
R
L
t
s
повністю характеризується її
коефіцієнтами апроксимації
dt
t
t
s
c
k
j
k
j
)
(
)
(
,
,
і деталізуючими коефіцієнтами
dt
t
t
s
d
k
j
k
j
)
(
)
(
,
,
і може бути представлена у вигляді суперпозиції вейвлетов і
скейлинг-функцій:
1
,
1
,
,
1
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
j
j
k
j
k
k
j
k
j
k
k
j
t
d
t
c
t
s
t
s
t
s
,
(2.16)
де
)
(
0
t
s
j
і
)
(t
s
k
- низькочастотна і високочастотні компоненти сигналу
відповідно;
0
j
=0,
1,
2,… - обраний початковий масштаб, який вибирається
виходячи з апріорної інформації про сигнал, а саме його тривалості;
j
N
k
2
/
-
значення зсуву для сигналу, що складається із значень
n
N
2
відліків.
З (2.16) випливає, що
k
k
j
k
j
j
t
c
t
s
)
(
)
(
,
,
0
0
0
,
(2.17а)
k
k
j
k
j
j
t
d
t
s
)
(
)
(
,
,
,
(2.17б)
де
)
(t
s
j
- високочастотна компонента сигналу для довільного дозволу j.
Коефіцієнти розкладання (вейвлет-коефіцієнти) (17, а, б) визначаються з умови
ортогональності базисних функцій за допомогою таких висловлювань:
dt
t
t
s
c
k
j
k
j
)
(
)
(
,
,
0
0
,
(2.18а)
dt
t
t
s
d
k
j
k
j
)
(
)
(
,
,
.
(2.18б)
Ці коефіцієнти часто називають сумами (с) і різницями (d), пов'язуючи їх з
середніми значеннями і флуктуаціями відповідно. Перетворення сигналу за
формулами (2.18а, б) називається аналізом, а відновлення за формулами (2.17а, б) -
синтезом, який призводить до обчислення спектральних компонент в (2.16).
45
Сума по k в (2.16) обмежена інтервалом завдання функції s(t). Перша сума в
(2.16) зі скейлинг-функцією
k
j ,
містить середні значення s(t) за діадним інтервалах
j
j
k
k
2
)
1
(
,
2
. Другий член містить всі флуктуації s(t) на даному інтервалі. Ці
флуктуації виникають з усіх менших інтервалів, укладених усередині даного і
відповідають великим значенням параметра масштабування j. На нижчому рівні
дозволу j
0
з широкими інтервалами перша сума містить всього один член, що дає
загальне усереднене зважене значення сигналу
0
0
,
)
(
k
j
c
t
s
, де k
0
позначає центр
інтервалу. Друга сума в (2.16) показує флуктуації на всіх без винятку рівнях. На
наступному рівні з більш дрібним розбиттям
0
1
j
j
в першу сумі містяться два
члени, що відповідають за середні значення s в напівінтервалів з центрами,
розташованими в k
1
і k
2
. Число членів у другій сумі зменшується на одиницю -
зникає член, який раніше показував величину флуктуацій на половинному масштабі.
Таким чином, число членів у кожній сумі залежить від обраного рівня дозволу. На
будь-якому рівні деталізації загальне число членів в розкладанні залишається
незмінним і рівним
J
2
, де J - стартове значення початку ітераційного процесу
наближення, що задає напрям зростання дозволу. Якщо J задає рівень деталізації з
найменшими інтервалами, тоді за найвищий рівень точної реконструкції сигналу
прийнятий сам сигнал. Чим більше номера коефіцієнтів, тим ближче
реконструйований сигнал до оригіналу. Внизу на площині масштаб - час
розташовані коефіцієнти з малими номерами, що дають огрублену картину сигналу,
а вгорі - з великими номерами, що дають детальну картину сигналу. На j -му рівні є
(
j
J
2
) коефіцієнтів апроксимації c і (
j
J
J
2
2
) деталізують коефіцієнтів d.
Наприклад, якщо s(t)=1, то всі коефіцієнти
k
j
d
,
дорівнюють нулю, і залишається
тільки перша сума. Таким чином, форма функції задається її флуктуаціями навколо
середнього на всіляких рівнях дозволу.
Підставляючи вирази (2.18а, б) в (2.17а, б), одержимо такі вирази:
d
t
s
t
s
j
j
)
(
)
(
)
(
0
0
,
(2.19а)