ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.05.2019
Просмотров: 1236
Скачиваний: 1
11
Таблица 1.2
Шаг х
f(x)
Ошибка ɛ
1
0.4
-1.246
2
0.733
-0.657
3
0,839
-0,16232
4
0,86148
-0,03201
5
0.86578
-0.00598
6
0.86658
-0.0011
7
0.86673
-0.00018
0,00018< 0,0001
Метод простых итераций
Представим исходное уравнение f x = 0 в виде ???? = ???? ???? .
Пусть нам известно начальное приближение к корню ????
0
????
0
∈ ????, ???? .
Подставив его в правую часть уравнения ???? = ???? ???? получим новое
приближение ????
1
= ???? ????
0
, затем аналогичным образом получим ????
2
=
???? ????
1
и так далее, ????
????+1
= ???? ????
????
.
Оказывается,
что
при
определенных
свойствах
функции???? ???? последовательность ????
1
, ????
2
, … . , ????
????
, … , определяемая по формуле
????
????+1
= ???? ????
????
, сходится к корню уравнения ???? ???? = 0.
Рассмотрим графически процесс получения приближений в методе
простых итераций (рис.5). Необходимо отыскать точку пересечения кривой
x
y
и прямой
x
y
.
На рисунке 1.3, (а) изображена некоторая кривая
x
y
, которая
может представлять собой любую функцию, но сейчас для нас важно то
обстоятельство, что производная этой функции в окрестности корня
0
1
y
. Пусть
*
x
x
- корень уравнения, который, естественно,
предполагается неизвестным. Выберем начальное приближение в точке
0
х
.
Следующее приближение
)
(
0
1
х
x
. Для того, чтобы отобразить
1
х
на
графике можно провести через точку
))
(
,
(
0
0
x
f
х
прямую, параллельную оси
OX
, до пересечения с прямой
x
y
, а затем в точке пересечения этих
прямых опустить перпендикуляр на ось
OX
, который и отметит положение
точки
1
x
. Аналогично получаются все последующие приближения. Из
рисунка видно, что они сходятся к корню. Напомним, что для рассмотрения
мы взяли функцию, производная которой
1
'
x
.
12
Рисунок 1.3. Метод простых итераций: а) односторонний сходящийся
процесс; б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний
сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
Рассмотрим теперь другую функцию
x
y
, производная которой
отрицательна,
1
'
x
по абсолютному значению. Этот случай изображен
на рисунке 1.3, в). Последовательные приближения также сходятся к корню,
но на этот раз каждое последующее приближение находится с
противоположной стороны от корня. В то время как в первом случае все
последовательные приближения находились с одной стороны от корня.
Наконец, рассмотрим случай, когда произвольная функции
1
'
x
(рис. 1.3, б) и
1
'
x
(рис. 1.3, г). В обоих случаях каждое последующее
приближение отстоит дальше от корня, т.е. итерационный процесс
расходится. Из сказанного выше можно предположить, что итерационный
13
процесс сходится при условии, что производная
1
'
x
.
Пример
Методом простых итераций уточнить корень уравнения лежащий на отрезке
0,1
с точностью до 0,001.
???? ???? = ????
????
− 5????
Преобразуем уравнение к виду:
???? =
????
????
5
, т.е
????(????) =
????
????
5
Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке [0,2, 0,3].
Вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим:
???? 0.2 = 0.221 > 0
???? 0.3 = −0.150 < 0
т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, поэтому внутри отрезка
есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.
Рисунок 6
14
Рисунок 7 Зависимости y=x, y=φ(x)
Определяем первую и вторую производные функции f(x)
????(????)
/
=
????
????
5
????(????)
//
=
????
????
5
Так как ????(????)
//
> 0 на отрезке [0,2, 0,3], то производная ????(????)
/
> 0 и
монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение
на правом конце отрезка ????(????)
/
= 0.2699 < 1 . Следовательно процесс
итерации сходится не зависимо от начального значения ????
0
.
????
1
=
e
x
0
5
=
e
0.2
5
= 0.244281
????
2
=
e
x
1
5
=
e
0.244281
5
= 0.255341
ɛ = ????
1
− ????
2
= 0.011
????
3
=
e
x
2
5
=
e
0.255341
5
= 0.255818
ɛ = ????
2
− ????
3
= 0.00284
15
????
4
=
e
x
3
5
=
e
0.258914
5
= 0.259104
ɛ = ????
3
− ????
4
= 0.00097 < 0.001
Метод Ньютона (касательных)
Метод Ньютона (касательных) является одним из наиболее популярных
численных методов. Он быстро сходится, так как имеет квадратичную
сходимость, и имеет различные модификации. Однако этот метод эффективен
при весьма жестких ограничениях на функцию
)
x
(
f
:
а) существование второй производной
)
(x
f
на интервале
]
,
[
b
a
.
Если ƒ"(х) во всех точках интервала [а;b] ƒ"(х)<0, то график функции в
этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0
xє(а;b) — график
выпуклый вниз. В противном случае график линейный;
б) удовлетворение первой производной условию
0
)
(
x
f
для всех
значений
x
на интервале
]
,
[
b
a
. Функция на рассматриваемом интервале не
имеет экстремумов;
в) знакопостоянство
)
x
(
f
и
)
x
(
f
для всех значений
x
на данном
интервале.
Геометрическая интерпретация метода Ньютона приведена на рис.1.4.
Рисунок 1.4 – Графическая интерпретация нахождения корней
функции
)
x
(
f
y
методом Ньютона
В качестве начального приближения в зависимости от свойств функции