ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.05.2019
Просмотров: 1241
Скачиваний: 1
16
берется
или левый конец интервала [a,b], т.е. x0=a если
0
)
(
)
(
x
f
a
f
или правый конец интервала [a,b], т.е. x0=b если
0
)
(
)
(
x
f
b
f
т.е. итерации сходятся к корню с той стороны, с которой
0
)
(
)
(
x
f
x
f
Рисунок 1.5
Далее строится касательная к кривой
)
x
(
f
y
в точке
x
0
, т.е. кривая
заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается
точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения
касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до
тех пор, пока приращение аргумента не станет меньше заданной величины
17
Выведем расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой
ВС возьмем участок АВ – касательную, проведенную в точке (
x
0
,
)
(
0
x
f
). Для
этого отрезка справедливо конечное соотношение
tg
f
f
x
x
x
x
)
(
0
)
(
0
1
0
0
, (4.1)
Решая соотношение (4.1) относительно
x
1
, получим
)
(
)
(
0
0
0
1
x
x
x
x
f
f
. (4.2)
В общем виде выражение (4.2) будет иметь вид
)
(
)
(
1
x
x
x
x
k
k
k
k
f
f
. (4.3)
Достоинства метода – это один из самых быстро сходящихся методов.
Там, где при использовании метода бисекции выполняется 20 итерации,
методом Ньютона достаточно выполнить 2 – 3 итерации.
Недостатки метода – жесткие требования к функции, перечисленные
выше. Кроме того, необходимо вычисление не только функции, но и ее
производной, что увеличивает трудоемкость расчетов.
Пример
Методом Ньютона (касательных) уточнить корень уравнения лежащий на
отрезке
0,1
с точностью до 0,001.
???? ???? = ????
4
+ 2????
3
− ???? − 1 = 0
Решение:
1. Проверяем существование второй производной
)
(x
f
на интервале
0,1
????
//
= 12????
2
+ 12????
На всем интервале
0,1
????
//
> 0
следовательно график функции в этом
интервале выпуклый вверх.
2. На интервале
0,1
проверяем условие
0
)
(
x
f
????
/
= 4????
3
+ 6????
2
− 1;
Находим корни уравнения 4????
3
+ 6????
2
− 1 = 0 с помощью команды
Mathcad
18
где: d - корень уравнения 4????
3
+ 6????
2
− 1 = 0;
root - встроенная функция Matcad позволяющая определять корни
уравнений;
x - переменная функции;
0,1 - интервал на котором определяются корни.
Так как первая производная
0
)
(
x
f
при x=0.366, то уточнять
значение корня
)
(x
f
будем или на интервале [0.366;1], или [0;0.366].
3. Проверяем знакопостоянство
)
x
(
f
и
)
x
(
f
на интервале
0,1
.
0
)
(
x
f
, x ϵ [0; 0.366] ;
0
)
(
x
f
, x ϵ [0.366; 1] ;
0
)
(
x
f
, x ϵ [0; 1].
Следовательно уточнять корни будем на интервале [0.366; 1] с правого
конца интервала, так как
0
)
(
)
1
(
x
f
f
Воспользуемся формулой
???? 1 = 1
4
+ 2 ∗ 1
3
− 1 − 1 = 1
????
/
1 =4*1+6*1-1 =9
????
1
= 1 −
????(1)
????
/
(1)
= 0,8888
???? 0,8888 = 0,8888
4
+ 2 ∗ 0,8888
3
− 0,8888 − 1 = 0,14007
????
/
0,8888 = 4 ∗ 0,8888 + 6 ∗ 0,8888 − 1 = 0,65500
????
2
= 0,8888 −
????(0,8888)
????
/
(0,8888)
= 0,8675
???? = ????
2
− ????
1
= 0,8888 − 0,8675 = 0,02138
???? 0,8675 = 0,8675
4
+ 2 ∗ 0,8675
3
− 0,8675 − 1 = 0,0045
????
/
0,8675 = 4 ∗ 0,8675 + 6 ∗ 0,8675 − 1 = 6,1267
????
3
= 0,8675 −
????(0,8675)
????
/
(0,8675)
= 0,8667
???? = ????
3
− ????
2
= 0,8667 − 0,8675 = 0,00074 < 0,001
19
Интерполирование
Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью
более простых.
Интерполя́ция - способ нахождения промежуточных значений величины по
имеющемуся дискретному набору известных значений.
К интерполяционным методам можно отнести: кусочно-постоянную,
кусочно-линейную интерполяцию, кубический интерполяционный сплайн,
интерполяционный многочлен Лагранжа.
Кусочно-постоянная интерполяция
На каждом отрезке ????
????−1
, ????
????
интерполяционный многочлен равен константе,
а именно левому или правому значению функции.
Для левой кусочно-линейной интерполяции ???? ???? = ????
????−1
, если ????
????−1
≤ ???? < ????
????
,
т.е.
???? ???? =
????
0
, ????
0
≤ ???? < ????
1
????
1
, ????
1
≤ ???? < ????
2
… … … … … … … …
????
????−1
, ????
????−1
≤ ???? < ????
????
Рисунок 2.1 Левая кусочно-постоянная интерполяция
Для правой кусочно-линейной интерполяции , т.е.
???? ???? = ????
????
, если ????
????−1
≤ ???? < ????
????
20
???? ???? =
????
1
, ????
0
≤ ???? < ????
1
????
2
, ????
1
≤ ???? < ????
2
… … … … … … … …
????
????
, ????
????−1
≤ ???? < ????
????
Рисунок 2.2 Правая кусочно-постоянная интерполяция
Пример
Интерполировать функцию используя кусочно-постоянную интерполяцию
на интервале [0,5]
???? ???? = 0.1???? + ????
0.3????
Таблица 2.1 Для левой кусочно-линейной интерполяции
Узел
0
1
2
3
4
5
x
i
0
1
2
3
4
5
f(x
i
)
1
1.4499
2.0221
2.7596
3.7500
4.9817
Интервал [0,1]
[1,2]
[2,3]
[3,4]
[4,5]
Таблица 2.2 Для правой кусочно-линейной интерполяции
Узел
0
1
2
3
4
5
x
i
0
1
2
3
4
5
f(x
i
)
1
1.4499
2.0221
2.7596
3.7500
4.9817
Интервал
[0,1]
[1,2]
[2,3]
[3,4]
[4,5]
Кусочно-линейная интерполяция
На каждом интервале ????
????−1
, ????
????
функция является линейной ????(????
????
) = ????
????
???? + ????
????
.