Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

Через несколько недель я получил от министра образования России

план разработанных Министерством новых программ для школ по всем
предметам. В соответствии с мнением Аносова (избранного по моей же
более ранней инициативе представителем Отделения математики Россий-
ской академии наук при Министерстве образования),

курс геометрии был

полностью исключен из всех учебных планов

.

Некоторое время я боролся против этого мракобесного решения; со-

ответствующие письма против исключения геометрии отправили Мини-
стерству Ученый совет Математического института имени В. А. Стеклова
Российской академии наук

––

с одной стороны и представители ряда обо-

ронных предприятий (сообщившие мне об этом годом позже в Дубне)

––

с

другой. Через несколько месяцев министр прислал мне (с благодарностью)
переработанную версию учебных планов, где геометрия вернулась на свое
старинное место

2

.

Правда, перерабатываются программы требований к школьникам на

уроках и особенно на экзаменах (которые, впрочем, предполагается заме-
нить тестами).

Нелепость тестовых испытаний хорошо показывает опыт США, где де-

сятилетиями роль проверки геометрических знаний давалась задаче:

«

Най-

ти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов
и опущенной на нее высотой длиной в 6 дюймов

»

.

Окончившие российские школы испытуемые не могли дать искомое

«

решение

»

(

S

=

ah/

2

=

30 кв. дюймов), так как понимали, что

таких тре-

угольников нет

: вершина прямого угла лежит на окружности, диаметр ко-

торой

––

гипотенуза. Поэтому высота не может быть длиннее пяти дюймов.

Но это не останавливает любителей тестов: они

«

доказали

»

слабое

умственное развитие московских школьников их неспособностью ответить
на тестовый вопрос:

«

Что общего у ежа с молоком

?

»

(я тоже не решил,

и испытующие сообщили мне ответ:

«

они оба свертываются

»

).

Да минет наших школьников чаша сия! Пусть они по-прежнему решают

настоящие интересные задачи, как они и любят!

Вопрос о том, какие математические задачи заслуживают того, чтобы

их пытаться решить, и зачем они ставятся и решаются, весьма непрост

3

:

проблемы Ферма и Гильберта, Римана и Пуанкаре имеют длинную и по-
учительную историю. Я приведу ниже несколько примеров, показывающих,

2

Современный управитель суперкомпьютерной фирмы пишет:

«

Геометрию пора перенести

в курс истории, так как все ее задачи либо решены, либо решаются иными методами.

»

(J. Bailey. After Thought. Basic Books, 1996). Попытки обучить подобных людей мышлению,
логике и уважению к науке и культуре безнадежны.

3

Поучительные примеры задач, которыми

не следует

заниматься, привел М. Планк в

специально посвященной ненужным задачам лекции 1946 г. в Гёттингене. Простейший его

11

i

i

i

i

i

i

i

i

в частности, сколь многое неверно в распространяемых по этому вопросу
мнениях. Известный

«

эпонимический принцип

»

состоит в том, что если

какой-либо объект (например, Америка) носит чье-то имя, то это

––

не

имя первооткрывателя

.

Заведовавший Отделением математики Российской академии наук

(АН СССР) Николай Николаевич Боголюбов всегда убеждал меня, чтобы
я печатал свои статьи не в математических, а в физических журналах

4

. По

его словам, число читателей хорошей статьи будет таким же

––

скажем,

тысяча.

«

Разница,

––

продолжал он,

––

состоит в том, что при публикации

статьи в математическом журнале эта тысяча читателей образуется за
сотню лет, по десять читателей в год, и это

––

вечная слава. При публикации

же в физическом журнале вся тысяча читателей прочтет статью в первые
же недели, и автора немедленно выберут в академики, а через сто дней
никто уже не будет помнить имя автора, хотя и результаты, и методы статьи
будут всеми постоянно использоваться, как общеизвестные (и, разумеется,
без ссылки на автора и с последующим присуждением нобелевской премии
за это достижение другим)

»

.

Впрочем, Н. Н. Боголюбов показал мне на замечательном примере пре-

имущества своей прагматической точки зрения. В то время я хотел издать
в русском переводе избранные сочинения А. Пуанкаре, а издательство
отказывалось (ссылаясь на критику Пуанкаре, опубликованную в 1909 г. в

«

Материализме и эмпириокритицизме

»

). Когда я стал просить развивав-

шего идеи Пуанкаре Н. Н. помочь, он сказал:

«

Нужно использовать то, что

Пуанкаре, как и мы с Вами оба, был не только математиком, но также и
физиком, даже естествоиспытателем. А естествоиспытатель должен видеть
в каждом явлении природы, даже неприятном, вроде извержения вулка-
на, возможность использовать это явление в научных целях, например

––

узнать что-либо о внутреннем строении Земли.

В нашем случае речь идет о другом неприятном явлении природы, кото-

рое нам и нужно использовать: это антисемитизм и антиэйнштейнианство
отдельных лиц

»

. Сказав это, он написал в издательство письмо, объ-

ясняющее (совершенно справедливо), сколь велики заслуги Пуанкаре в
создании теории относительности. Он опубликовал принцип относитель-
ности в своей статье

«

Об измерении времени

»

лет за десять до Эйнштейна,

пример

––

дискуссия о том, какая стена в аудитории

правая

? Расхождение стоящего у доски

лектора и его слушателей по этому вопросу непримиримо, так как они обращены друг к другу
лицами.

Мне случалось, впрочем, наблюдать, как физики успешно справляются с подобными логи-

ческими противоречиями. Например, иногда помогает их прагматическая система измерений,
в которой

c

,

h

и 4

все равны единице.

4

Среди моих читателей все равно больше физиков, механиков, астрономов и т. п.

12

i

i

i

i

i

i

i

i

который лишь в сороковых годах указал, что он, по советам своего учителя
Минковского, разобрал эти работы Пуанкаре до начала своих.

И трехтомное

«

Избранное

»

Пуанкаре издали по-русски, включая ста-

тью об измерении времени, но без критики Эйнштейна.

§ 2. Математическое мракобесие

против Абеля и против Пуанкаре

Я надеюсь больше рассказать об Абеле и Пуанкаре, чем о мракобесах.
Вопрос о том, какие математические вопросы заслуживают внимания,

а какие нет, очень непрост. Один великий современный математик сформу-
лировал свой ответ так:

«

Узнать, хороша ли задача, можно только одним

способом: надо ее решить

»

.

На Европейском III математическом конгрессе (в Барселоне, в 2001 г.)

было объявлено о другом решении проблемы объяснения сущности ма-
тематической деятельности нематематикам. Один крупный современный
деятель сказал, что когда он был студентом математического факультета,
то ответил студентам других специальностей в баре, где они вместе пили:

«

Вот, под этой курткой на мне рубашка.

Математика позволяет мне

вывернуть рубашку наизнанку, не снимая куртки

!

»

Он утвержда-

ет, что, проделав это топологическое упражнение, он навсегда дал своим
коллегам

«

ясное представление о математике

»

. Я же могу добавить, что

именно такие представления о деятельности математиков приводят прави-
тельства и общество к прекращению финансирования этой науки и грозят
ей полным уничтожением.

Величайший французский математик А. Пуанкаре писал, что в ма-

тематике немало

«

да

––

нет

»

вопросов, вроде проблемы Ферма: есть ли

целочисленные положительные решения у уравнения

x

n

+

y

n

=

z

n

, где

n

больше двух?

По словам Пуанкаре, именно эти

«

бинарные

»

проблемы гибельны для

математики:

по-настоящему интересные проблемы

не допускают ни

столь точной формулировки, ни однозначного

«

да

––

нет

»

ответа. Интересно,

например, узнать, как и что можно

изменить

в условиях задачи (скажем,

в граничных условиях для дифференциального уравнения), не нарушая
его (однозначной) разрешимости. Много таких допустимых изменений или
мало? Именно при исследовании такого рода вопросов, а не

«

да

––

нет

»

задач, возникают, по мнению Пуанкаре, новые математические теории,
а следовательно

––

и фундаментальные открытия, и замечательные при-

ложения (как в самой математике, так и вне ее, например в медицине
томографии или в небесной механике космических полетов).

13

i

i

i

i

i

i

i

i

Сам Пуанкаре построил, исходя из этого, такие новые науки, как топо-

логию и теорию динамических систем, теорию бифуркаций и теорию авто-
морфных функций, принцип относительности и вариационное исчисление в
целом

5

. Как основные задачи математики будущего XX в. он назвал тогда

построение математического аппарата теории относительности и кванто-
вой физики. Опыт последовавшего столетия показал, что его открытия и
предсказания сыграли в развитии математики неизмеримо б

´

ольшую роль,

чем составленный Гильбертом (по тому же случаю конца XIX в.) список
из пары десятков

«

да

––

нет

»

задач. В

«

проблемах Гильберта

»

практически

отсутствовала, например, именно наиболее развивавшаяся в XX в. область
математики

––

топология, затронутая лишь отчасти в гильбертовых пробле-

мах 13 (о суперпозициях) и 16 (о вещественных алгебраических кривых и
о предельных циклах).

К концу XX в. Международный математический союз выпустил книгу

«

Математика, ее границы и перспективы

»

(под редакцией В. Арнольда,

М. Атьи, П. Лакса и Б. Мазура). В этой книге содиректор Боннского
математического института Ю. И. Манин дал свои новые определения
математики, математического образования и новую оценку стоящих перед
математикой задач. О них я теперь и расскажу.

Математика

, согласно Манину,

––

это отрасль лингвистики или

филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек сим-
волов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при
помощи конечного числа

«

грамматических

»

правил

. Отличие от есте-

ственных языков, вроде китайского, английского или русского, состоит
лишь в том, что в грамматике этого специального языка есть отсутствую-
щие в живых языках правила (например, набор символов

«

1

+

2

»

можно

заменить на символ

«

3

»

).

Гильберт, долго придерживавшийся аналогичного формального опре-

деления, оставил его, после того как Гёдель опроверг его оптимистическое
предположение возможности полной формализации всей математической
науки. Гёдель доказал наличие в каждой достаточно богатой формальной
теории таких утверждений, которые

нельзя ни доказать, ни опроверг-

нуть

в рамках этой теории. Сейчас доказано, что к этому классу принадле-

жит, например, гипотеза Кантора об отсутствии промежуточной мощности
между мощностями множеств всех целых и всех вещественных чисел.

Доказательства невозможности

являются замечательной и глубо-

ко неочевидной частью математики, и я приведу здесь такое доказатель-
ство для другого случая: докажу

невозможность построения центра

5

В словаре Ларусса (1926 г.) А. Пуанкаре определялся как

«

автор понятия функция

Фукса

»

: школа Пуанкаре существует скорее в России, чем во Франции.

14

i

i

i

i

i

i

i

i

заданной на плоскости окружности при помощи одной лишь линейки

(циркулем и линейкой построить центр можно).

Это доказательство начинается с рассмотрения

«

косого

»

конуса, опи-

рающегося на заданную окружность: прямая, соединяющая вершину ко-
нуса с центром окружности, должна не быть перпендикулярной плоскости
окружности. В этом его

«

косина

»

.

Косой конус не является вращательно симметричным, и его сечение

плоскостью, перпендикулярной его (естественно определяемой) оси, эл-
липтично

––

я не собираюсь ни использовать эту эллиптичность, ни ее

доказывать, ни даже точно определять

«

ось

»

.

Важным свойством косого конуса является то, что окружности полу-

чаются при его пересечении некоторыми двумя непараллельными плоско-
стями (одинаково наклоненными к оси, но в противоположные стороны).
Существование таких непараллельных друг другу круговых сечений до-
казать легко (хотя бы из соображений непрерывности отношений длин
осей получающегося в сечении эллипса в зависимости от наклона секущей
плоскости).

Предположим теперь, что какие-либо построения прямых на исходной

плоскости всегда доставляют центр исходной окружности. Спроектируем
всю эту конструкцию на плоскость непараллельного исходному кругового
сечения лучами, исходящими из вершины конуса. Тогда на этой плоскости
непараллельного сечения будут выполнены те же самые построения ли-
нейкой, что и на исходной плоскости. И если бы эти построения всегда
приводили к центру, то оказалось бы, что центр исходной окружности и
центр непараллельного ей кругового сечения проектируются друг в друга
лучом из вершины конуса, т. е. лежат с этой вершиной на одной прямой.

Но эти два центра на одной прямой с вершиной конуса не лежат (что

легко проверить даже просто экспериментально).

Значит, построения, всегда приводящего к центру окружности, не су-

ществует.

Другой классический пример древней неразрешимой задачи

––

теорема

Абеля о несуществовании формулы, состоящей из радикалов и из рацио-
нальных функций, доставляющей решение общего алгебраического урав-
нения пятой (или более высокой) степени, например уравнения

(1)

x

5

+

ax

4

+

bx

3

+

cx

2

+

dx

+

e

=

0

.

Доказательство этой теоремы Абеля

––

топологическое. Его проще объяс-

нить для случая уравнения покороче,

(2)

x

5

+

ax

+

1

=

0,

которое уже тоже неразрешимо в радикалах в указанном выше смысле.

15