Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

системам (с приложением к небесной механике, полученным впоследствии
М. Эрманом).

Я думаю, что глубокие работы по гамильтоновым системам (включая

даже классическую теорему Нехорошева об экспоненциальной малости
скорости падения устойчивости, обобщающую более ранний результат
Литлвуда) были недооценены и математическим, и физическим сооб-
ществом, частично из-за технических трудностей этих работ, частично
из-за славы основателей KAM теории

––

и это, к сожалению, могло быть

причиной недооценки замечательных результатов Севрюка, описанных
выше.

§ 6. Теория усреднения и опасность аналитичности

Начала теории усреднения в динамических системах изложены в рабо-

тах Лагранжа и Лапласа об устойчивости солнечной системы и о вековых
возмущениях кеплеровских эллипсов.

Современные математически строгие доказательства (и даже глубоко

нетривиальные строгие формулировки) соответствующих теорем принадле-
жат А. И. Нейштадту (его предшественниками были Т. Касуга и Д. Аносов,
а продолжил его работу В. Бахтин).

Рассматривается расслоенное фазовое пространство с

«

быстрым

»

векторным полем

, направленным вдоль слоев (которые обычно являются

торами с инвариантными относительно вращений быстрыми полями), и
это поле

возмущается

(

произвольно

)

малым

«

медленным

»

полем

–

–

слагаемым

.

Теория усреднения является описанием проекции результирующего

возмущенного движения на базовое многообразие в терминах среднего
значения (вдоль слоя) медленного поля (спроектированного на много-
образие-базу вдоль слоев).

Основные утверждения теории усреднения Нейштадта описывают

ма-

лость меры опасной области фазового пространства, образованной
движениями, проекции которых серьезно отклоняются от движе-
ния вдоль усредненного спроектированного поля

.

Сложность состоит в наличии

резонансов

, отвечающих слоям, вдоль

которых

временное среднее отличается от пространственного

среднего

, так как орбита быстрого движения распределена вдоль слоя

неоднородно; она может, например, быть замкнутой кривой, или плотно
покрывать тор размерности меньшей, чем размерность слоя.

Результаты теории усреднения содержат описание типичных асимпто-

тик малости меры области плохих начальных условий в терминах асимпто-
тики расстояния между спроектированной орбитой и орбитой усредненно-

86

i

i

i

i

i

i

i

i

го спроектированного поля для большого временного интервала, обратно
пропорционального параметру малости возмущения. Это

––

временной ин-

тервал, для которого результатом медленного движения может быть пере-
ход спроектированной орбиты на расстояние порядка 1 от орбиты усред-
ненного поля вдоль базового пространства (переход, делающий возмож-
ным столкновение Земли с Марсом или Солнцем).

В этой теории так много сложных результатов, что я не пытаюсь опи-

сать здесь ее детали: это одно из основных достижений математики XX в.,
иногда напоминающее аналитическую теорию чисел, некоторые утвержде-
ния которой она использует, но гораздо более полезное для других наук,
среди которых исследование космоса, физика и т. д.

Более подробное описание теории усреднения можно найти в книге:

В. Арнольд, В. Козлов, А. Нейштадт. Математические аспекты классиче-
ской и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. (Итоги науки и техники.
Соврем. пробл. матем. Фунд. напр. 3: Динамические системы

––

3) (новое

издание: М.: УРСС, 2002. 416 с.; особенно гл. IV, с. 181

––

286).

Я отмечу только один частный результат теории Нейштадта, описы-

вающий очень странную

опасность, порожденную аналитичностью

динамической системы, переживающей потерю устойчивости при
переходе через мнимую ось пары собственных чисел системы, лине-
аризованной в состоянии равновесия

. Первый пример этой опасности

был давно опубликован М. А. Шишковой, ученицей Понтрягина, но общ-
ность соответствующих случаев была доказана Нейштадтом лишь недавно.

Феномен потери устойчивости (с рождением или смертью предельного

цикла) обычно называется

«

бифуркацией Хопфа

»

(возможно, из-за того,

что он изучался А. Пуанкаре и А. Андроновым на 70 и 20 лет раньше, чем
Э. Хопфом).

Обычно предсказываемое поведение системы при рождении цикла

(скорость

"

изменения системы мала) заключается в том, что через

время

t

после момента потери устойчивости система будет осциллиро-

вать с нарастающей амплитудой около (уже неустойчивого) положения
равновесия, причем растущая амплитуда осцилляции пропорциональна
квадратному корню из произведения

"

t

времени на параметр медленных

изменений. Контролер реагирует на эти растущие малые колебания,
возвращая параметр назад в безопасные пределы.

Теорема Нейштадта говорит, что

в то время как описанная мягкая

потеря устойчивости дает правильное описание того, что случит-
ся в гладкой системе, общая аналитическая система эволюциониру-
ет по совершенно другому сценарию. Именно, состояние системы
будет оставаться вблизи положения равновесия весьма длитель-
ное время после момента потери устойчивости, ожидая, пока ра-

87

i

i

i

i

i

i

i

i

стущий, но ненаблюдаемый предельный цикл достигнет единичного
размера. Затем, неожиданным скачком, система оставит окрест-
ность положения равновесия, начав колебания с амплитудой по-
рядка

1.

Все эти события будут неожиданными для контролера, поскольку на-

блюдаемое состояние системы будет оставаться нормальным длительное
время после потери устойчивости. А неожиданный скачок с амплитудой
порядка 1 может вызвать катастрофу вроде чернобыльской. Таким обра-
зом, безопаснее быть менее совершенным, чем аналитическая система.

§ 7. Инварианты узлов

Открытие В. Васильевым кольца инвариантов

«

конечного порядка

»

узлов стало одним из основных математических событий последней декады
XX в.

Положение этих инвариантов в теории узлов такое же, как

у многочленов среди гладких функций

. Запоздалость открытия этой

теории так же странна, как и позднее появление самой теории узлов (в
попытках физиков, таких как Кельвин, понять природу микроскопической
математической структуры, управляющей различием между ядрами атомов
и ответственной за таблицу химических элементов Менделеева, которую
эти физики пытались связать с классификацией узлов). Я все еще надеюсь,
что мы скоро узнаем, различают ли инварианты Васильева все узлы.

Инварианты Васильева могут быть определены в других классификаци-

онных теориях, а интегральная формула Концевича для этих инвариантов
выявила связь этого предмета с квантовой теорией поля, комбинаторикой
графов,

-функциями и теорией чисел и многими другими ветвями матема-

тики. Нельзя недооценивать достижения Д. Бар-Натана в развитии этой
теории. Но такая недооценка типична для сегодняшнего математического
сообщества, где Васильев не был допущен к участию в I Европейском
математическом конгрессе 1992 г. в Париже (на котором четыре доклада
были посвящены описанию его теории!).

Недавно парижская газета

«

Gazette des Math

´

ematiciens

»

(№ 91, ян-

варь 2002 г.) охарактеризовала И. Г. Петровского как

«

великого мате-

матика,

известного своим классом дифференциальных уравнений в

частных производных параболического типа

»

. Эта характеристика

––

как если бы Адамара охарактеризовали как автора

«

леммы Адамара

»

, или

Римана как автора римановых метрик, или Гильберта как

«

известного сво-

им пространством

» ––

напечатана на с. 44, где речь идет об исследованиях

О. А. Олейник, чьи с Петровским работы по вещественной алгебраической
геометрии обычно неверно приписываются западными последователями

88

i

i

i

i

i

i

i

i

Тому и Милнору (в то время как эти два автора честно ссылались на своих
русских предшественников).

Недооценка всей российской математики, будь это Петровский или

Васильев, Андронов или Колмогоров, Понтрягин или Рохлин, совершенно
типична для современных математических сообществ (как западного, так
и российского).

Теория параболических уравнений является малой толикой достиже-

ний Петровского, к которым, в числе прочего, относятся его важное про-
движение в 16-й и 19-й проблемах Гильберта и его великое исследова-
ние

«

проблемы лакун

»

гиперболических уравнений и проблемы распро-

странения волновых фронтов, содержащее глубокие топологические рассу-
ждения, связанные с алгебраической геометрией,

––

исследование, развитое

позднее Атьей, Боттом и Гордингом (и уже содержащее результаты о ре-
ализации когомологических классов рациональными дифференциальными
формами, часто приписываемые Гротендику).

§ 8. Подсчет особенностей

Первым результатом из этой области является формула Эйлера

––

Пу-

анкаре, описывающая эйлерову характеристику гладкого многообразия как
сумму индексов особых точек векторных полей на нем.

Важным новым открытием в этой области является большая теория,

содержащая много аналогичных формул, опубликованная М. Казаряном
несколько лет назад (M. Kazarian. The Chern

––

Euler number of circle bundle

via singularity theory // Math. Scand. 1998. Vol. 82, № 2. P. 207

––

236; М. Ка-

зарян. Относительная теория Морса расслоений на окружности и цикличе-
ские гомологии // Функциональный анализ и его приложения. 1997. Т. 31,
вып. 1. С. 20

––

31).

Результатами теории Казаряна служат

формулы для инвариантов

многообразий и отображений, выражающие их через суммы обоб-
щенных

«

индексов

»

некоторых аналитических объектов

(

нули век-

торных полей или критические точки функции

)

. Причудливое свой-

ство этих индексов заключается в том, что они являются не це-
лыми, а рациональными числами

(

среди которых встречаются числа

Бернулли и т. п.

).

Поскольку значения окончательных инвариантов целые, мы обнаружи-

ваем своеобразные теоретико-числовые свойства особенностей различных
аналитических объектов (по аналогии с тем, что эйлерова характеристика
ориентированной поверхности четна, или с присутствием знаменателя 3
в соотношении между сигнатурами и первыми числами Понтрягина четы-
рехмерных многообразий).

89

i

i

i

i

i

i

i

i

Теория Казаряна была бы высоко оценена, скажем, Эйлером, Пуан-

каре, Хопфом, Морсом, Уитни, но я сомневаюсь, способно ли сегодняш-
нее математическое сообщество оценить эти

действительно фундамен-

тальные

результаты.

Интересно, что даже классическая формула Плюккера для плоских

алгебраических кривых все еще далека от обобщения на случай высших
размерностей (где нужно считать различные локальные числа Ходжа вме-
сто плюккеровых точек перегиба): я знаком только со старыми попытками
Сальмона

––

Фидлера описать 47 обобщенных формул типа Плюккера для

48 чисел, связанных с данной проективной поверхностью и ее двойственной
поверхностью. Однако эти классические формулы Сальмона

––

Фидлера не

относятся ни ни к числу понятых, ни к числу обобщенных (в духе теории
характеристических классов) современными алгебраическими геометрами,
для которых числа 6 при счете вырожденных уплощений в двойных точках
и 8 в полукубических точках возврата, входящие в формулы Плюккера,
столь же сложны для понимания, как и новые открытия М. Казаряна.

По моему мнению, проблема подсчета особенностей (в которой тео-

рия Казаряна делает серьезный шаг) является одной из основных задач
математики, задачей большего интереса, чем загадки типа теоремы Ферма.

§ 9. Зеркальные многообразия

«

Миррор-теория

»

физиков состояла в загадочном экспериментальном

наблюдении странного совпадения различных чисел Ходжа пар трехмер-
ных комплексных многообразий, чисел, подсчитанных тысячами компью-
терами этих физиков.

Я был ошарашен, когда мои ученики объяснили мне, что на самом

деле я сам открыл такую зеркальность раньше, назвав ее

«

странной двой-

ственностью

»

(в работе 1974 г. по классификации унимодулярных осо-

бенностей).

«

Взаимно двойственными

»

объектами были в моем случае

некоторые особые алгебраические поверхности, построенные из некоторых
14 специальных замечательных треугольников на плоскости Лобачевского.
Парные поверхности ассоциированы со

странными парами треуголь-

ников

(преобразование, переводящее каждый треугольник в двойственный

ему, действует тождественно на шести треугольниках, переставляя члены
четырех оставшихся пар).

История закончилась тем, что

А. Гивенталь построил математиче-

скую теорию, объясняющую зеркальную симметрию, доказав гипо-
тезы физиков и получив много других результатов

(он использовал,

среди прочего, некоторые предложения М. Концевича).

90