ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4959
Скачиваний: 5
До ве де мо фор му лу
При пус ти мо, що
α =
х
+
у
і
β =
х
–
у
. Тоді sin
α
+ sin
β =
=
sin (
х
+
у
) + sin (
х
–
у
)
=
sin
х
соs
у
+ соs
х
sіn
у
+ sіn
х
соs
у
–
– соs
х
sin
у
=
2sіn
х
соs
у
.
З рівнос тей
α =
х
+
у
і
β =
х
–
у
зна хо ди мо, що
То му
Цю то тожність на зи ва ють
фор му лою су ми си нусів двох ар гу -
ментів
.
Інші з на ве де них ви ще шес ти фор мул мож на до вес ти про сті -
ше, нап рик лад так:
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Сфор му люй те фор му ли до да ван ня.
2.
Як мож на от ри ма ти фор му ли подвійних ар гу ментів?
3.
До ведіть фор му ли по ни жен ня сте пе ня.
4.
Які фор му ли на зи ва ють фор му ла ми по ло вин них ар гу ментів?
5.
Сфор му люй те і до ведіть фор му лу су ми си нусів двох ар гу ментів.
1.
Спростіть ви раз:
Р о з в ’ я з а н н я.
Ðîçäië
2
132
2.
До ведіть то тожність
Р о з в ’ я з а н н я.
Пе рет во ри мо пра ву час ти ну то тожності за
фор му лою су ми ко си нусів:
От же, рівність пра виль на при будь?яких зна чен нях
α
і
β
.
3.
За пишіть у виг ляді до бут ку ви раз 1 – 2 соs
α
.
Р о з в ’ я з а н н я.
1 – 2 соs
α =
Відповідь.
4.
Знайдіть най мен ший невід’ємний корінь рівнян ня
cоs
4
х
– 1
=
sin
4
х
.
Р о з в ’ я з а н н я.
Да не рівнян ня рівно силь не рівнян ню
cоs
4
х
– sin
4
х
=
1, або (соs
2
х
+ sіn
2
х
)(соs
2
х
– sіn
2
х
)
=
1, звідси
соs 2
х
=
1, 2
х
=
0,
х
=
0.
Спростіть ви раз
(610–612)
.
610.
а) 2sin
α
соs
α
;
б) sin
х
соs
х
;
в) 4соs
β
sin
β
;
г) 4sin
α
соs
α
соs 2
α
.
611.
а) соs
2
α
– sіn
2
α
;
б) sin
2
х
– соs
2
х
;
в) соs
2
– sіn
2
;
г) соs
2
2
α
– sіn
2
2
α
.
612.
613.
Об числіть зна чен ня ви ра зу:
а) 2sіn 15
°
соs 15
°
; б) соs
2
– sіn
2
; в) sіn
соs
;
À
§ 17
НАСЛІДКИ І З ФОРМУЛ ДОДАВАННЯ
133
г) 1 – 2sіn
2
15
°
; ґ) 2соs
2
– 1; д)
Спростіть ви раз
(614–617)
.
614.
а) 2sіn
2
α
+ соs 2
α
;
б) 2соs
2
α
– соs 2
α
;
в) sіn 2
х
– (sіn
х
+ соs
х
)
2
;
г) соs
2
β
(1 – tg
2
β
).
615.
616.
617.
в) (1– tg
2
α
) tg 2
α
;
г) (1– tg
2
α
) : 2tg
α
.
До ведіть то тожність
(618–620)
.
618.
а) cos 2
х
+ sin
2
х
=
cos
2
х
;
б) соs
4
х
– sin
4
х
=
cos 2
х
;
в) (sin
α
+ соs
α
)
2
=
1 + sin 2
α
;
г)
619.
620.
а) 2sin
2
+ соs
α =
1;
б) 2соs
2
α
– соs 2
α =
1;
в) (1 + ctg
2
α
) sin 2
α =
2 ctg
α
;
г) (tg
α
+ ctg
α
) соs 2
α =
ctg
α
– tg
α
.
621.
Спростіть ви раз:
а) sіn 50
°
+ sіn 10
°
;
б) соs 50
°
+ соs 10
°
;
в) sіn 50
°
– sіn 10
°
;
г) соs 50
°
– соs 10
°
.
Ðîçäië
2
134
За пишіть у виг ляді до бут ку ви раз
(622–625)
.
622.
а) sіn 5
α
+ sіn
α
;
б) sіn 5
β
– sіn
β
;
в) соs
x
– соs 3
x
;
г) соs
γ
+ соs 7
γ
.
623.
а) sіn
+ sin
;
б) cos
+ cos
;
в) соs
α
+ соs
;
г) sin
– sin
α
.
624.
а) tg 2
β
+ tg
β
;
б) tg 3
x
– tg
x
;
в) tg (
α
+
β
) + tg (
α
–
β
);
г) tg
+ tg
α
.
625.
а) cos
α
+ sіn
α
;
б) sіn 3
α
– cos 2
α
;
в) sin
– sin ;
г) соs
2
α
– соs
2
β
.
Спростіть ви раз
(626, 627)
.
626.
а) cos (60
°
+
α
) + cos (60
°
–
α
);
б) sin (60
°
+
х
) + sin (60
°
–
х
).
627.
До ведіть то тожність
(628–631)
.
628.
629.
630.
631.
а) ctg
α
– tg
α =
2ctg 2
α
; б) sin 2
α
– tg
α =
соs 2
α
tg
α
.
За пишіть у виг ляді до бут ку ви раз
(632, 633)
.
632.
а) 0,5 + sin
α
; б) 0,5 – sin
x
; в)
г) ґ) д)
633.
а) cos
x
+ cos 2
x
+ cos 5
x
;
б) sin
α
+ sin 2
α
+ sin 3
α
;
в) sin
α
+ sin 2
α
+ sin 3
α
+ sin 4
α
;
г) cos 2
x
– cos 4
x
– cos 6
x
+ cos 8
x
.
634.
До ведіть то тожність:
а) sin
α
sin
β =
(cos (
α
–
β
) – cos (
α
+
β
));
Á
§ 17
НАСЛІДКИ І З ФОРМУЛ ДОДАВАННЯ
135
б) sin
α
cos
β =
(sin (
α
+
β
) + sin (
α
–
β
)).
635.
До ведіть, що:
а) sіn 35
°
sіn 55
° =
соs 20
°
; б) cos 65
°
cos 25
° =
соs 40
°
;
636.
Да но: sin
α =
0,8; 90
°
<
α
< 180
°
. Знайдіть sin2
α
і cos2
α
.
637.
Да но:
270
°
<
α
< 360
°
. Знайдіть sin2
α
і cos2
α
.
638.
Об числіть зна чен ня sin 2
α
, cos 2
α
, tg 2
α
, як що tg
α =
0,4.
До ведіть то тожність
(639–642)
.
639.
а) (cos 2
α
+ cos 6
α
) tg 4
α =
sin 2
α
+ sin 6
α
;
б) (cos
α
+ cos 5
α
) tg 3
α =
sin
α
+ sin 5
α
.
640.
641.
а) sin 2
α
– tg
α =
cos 2
α
tg
α
;
б) sin 2
α
– ctg
α =
–cos 2
α
ctg
α
;
в) ;
г) tg (
α
+ 45
°
) + tg (
α
– 45
°
)
=
2tg 2
α
.
642.
а) 2sin (45
°
+
α
) sin (45
°
–
α
)
=
cos 2
α
;
б)
643.
До ведіть то тож ності Л. Ей ле ра:
а) sin (30
°
+
z
)
=
cos
z
– sin (30
°
–
z
);
б) cos (30
°
+
z
)
=
cos (30
°
–
z
) – sin
z
.
644.
По кажіть, що всі три го но мет ричні функції ку та
α
мож ?
на представи ти раціональ ни ми ви ра за ми че рез tg
.
645.
Да но:
Знайдіть sin
α
, cos
α
, ctg
α
.
646.
Да но:
Знайдіть sin 2
α
, cos 2
α
, tg 2
α
.
647.
sin3
α
, cos3
α
і tg3
α
ви разіть відповідно че рез sin
α
, cos
α
і
tg
α
.
Ðîçäië
2
136