ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 18930
Скачиваний: 11
Одна с~
£
дорівнює частоті рівномірного обертання, з якою за час 1 с
і їло здійснює один повний оберт.
1 Іеріод обертання Землі навколо власної осі - одна доба, тобто 24 години;
Т
= 1 доба = 8,64 • і О
4
с
Внаслідок того, що Земля обертається навколо власної осі, відбуваєть-
ся зміна часу доби: ранок - день - вечір - ніч. Навколо власної осі обер-
і лються Місяць, Сонце і планети.
Періоди обертання планет навколо осі
Небесне
тіло
Період обертання
Т
планет навколо осі, діб
Небесне
тіло
Період обертання
Т
планет
навколо
осі діб
< оііце
25,4
Земля
1
Меркурій
58,6
Марс
1,03
Номера
243
Місяць
213
Період обертання Землі навколо Сонця - 1 рік:
Г = 1 рік = ЗД6-10
7
с.
Внаслідок того, що Земля обертається навколо Сонця, відбувається
шіна часу року: весна - літо - осінь - зима. Періоди обертання планет
< онячної системи навколо Сонця такі»
Періоди обертання планет навколо Сонця.
Планети
Період обертанім, рік
Планети
Період обертання, рік
Меркурій
Вснера
Ісмля
Марс
К)пі гер
0,24
0,615
!
1,88
11,86
Сатурн
Уран
Нептун
ПЛУТОН
29,46
84,02
164,79
247,70
Землю, що рухається навколо Сонця, можна розглядати як матеріальну
і очку, оскільки радіус Землі (К
ф
= 6,4*10
6
м) набагато менший за серед-
ню відстань від Землі до Сонця. Середня відстань від Землі до Сонця на-
пишеться однією астрономічною одиницею (1 а.о,).
1 а.о. = 1,5 • І О
11
м.
Траєкторія Землі навкруг Сонця ~ еліпс, але фокуси еліпса близько
розташовані один до одного, тому можна вважати, що Земля навколо Сон-
ця рухається колом радіуса Л = 1,5-10
п
м. За один оберт, тобто за час, що
дорівнює періоду Г = 1 рік = 3,16-10
7
с, Земля проходить шлях, який дорів-
нює довжині кола 5 =
2кЯ ,
рухаючись із середньою швидкістю <
V > :
5
2кК
2-3,14-1,5-Ю
11
„
л 1 л 4
,
< V > = — = — = — і — — — — ж 2,9-10 м/с.
Т Т
3,16-ІО
7
X
Рис. 1.38
Рис. 1.39
Швидкість руху тіла колом називають
лінійною швидкістю.
Радіус кола, яким рухається тіло, є величиною сталою:
г
= сопзі. Про-
ведемо координатну вісь Xчерез центр кола О (рис. 1.38). Центр кола О -
початок координат. Положення точки
А
на колі в будь-який момент часу
точно визначається кутом ер між додатним напрямом осі X і радіусом-
вектором
г,
проведеним з початку координат до рухомої точки. Кут ф від-
лічується від додатного напряму осі Хдо радіуса-вектора
г
проти годиннико-
вої стрілки. Кути виражають у радіанах. Кут 360° відповідає
2к
радіан.
У разі, коли радіус-вектор
г
повертає на кут ер = 2 тс рад, точка прохо-
дить шлях 5, що дорівнює довжині кола 5 =
2кг
; коли радіус-вектор г
повертає на кут Д<р, точка проходить шлях, що дорівнює довжині дуги
Д5. Із пропорції 2ті:
2кг
= Дер: визначимо Д5:
Лінійний шлях Д5 дорівнює добутку модуля радіуса-вектора | г і точки
на його кут повороту Дер. Кут ер змінюється в межах 0 < ер <
2к.
Елементарні повороти радіуса-вектора г можна розглядати як вектори;
вони позначаються Дер. Модуль вектора | Д(р | дорівнює куту повороту, а
його напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта,
головка якого обертається в напрямку руху точки колом, тобто визнача-
ється за правилом правого гвинта (рис. 1.39).
Вектор, напрям якого зв'язують з напрямом обертання, називається
псевдовектором.
У механіці це - кутова швидкість, кутове прискорення.
Рівномірний рух колом — це такий рух, коли точка рухається
із сталою за модулем лінійною швидкістю:
| V }= СОП8І .
(1.55)
Рівномірний рух
ТОЧКИ колом
56
V разі рівномірного руху колом за однакові проміжки часу:
• точка проходить однакові за довжиною дуги кола;
• радіус-вектор точки повертає на однакові кути.
Напрям і швидкість повороту радіуса-вектора рухомої колом точки
лрактеризує кутова швидкість.
Кутова швидкість ш - векторна величина, що дорівнює відношенню
/ г//кі повороту радіуса-вектора Аф до проміжку часу Аі, за який цей
поворот відбувся:
(1.56)
Аі
ІНІДКИ
Аф = <оАі. (1.57)
()диниця кутової швидкості - радіан на секунду (рад/с).
Радіан на секунду дорівнює кутовій швидкості рівномірно обертової
і очки, радіус-вектор якої за час 1 с повертається на кут 1 рад.
Модуль кутової швидкості можна виразити через період обертання
Т.
{.і час, що дорівнює періоду
(Аі = Т),
радіус-вектор точки повертається
мл кут 2 я (Аф = 2я).
Згідно з формулою (1.56)
со = у. (1.58)
Застосовуючи співвідношення (1.54) і (1.58), виразимо кутову швид-
кість через частоту обертання:
СО = 2ТГУ. (1.59)
Між модулем
ЛІНІЙНОЇ ШВИДКОСТІ
V
точки, що обертається колом, і мо-
дулем ЇЇ кутової швидкості о) існує зв'язок. За проміжок часу А
і
точка прохо-
дить шлях
АЗ -УАІ
, а радіус-вектор повертається на кут Аф = соА/. Під-
і гавляючи знайдені величини в рівняння (1.55), одержуємо
ї>Аі
= гсоА/,
або
V = СОГ. (1.60)
Модуль лінійної швидкості точки, що рухається колом, дорівнює до-
оутку модуля кутової швидкості на радіус кола. З формули (1.60) випли-
нає, що чим більшим є радіус кола, тим більша лінійна швидкість. Лінійна
швидкість обертання Землі навколо власної осі є максимальною в точках
екватора, а мінімальною (нульовою) - на полюсах.
57
Доцентрове прискорення
У разі рівномірного обертання модуль лінійної швидкості -
стала величина, отже, тангенціальне або дотичне прискорення а
т
дорів-
нює нулю: а
т
= 0 . Змінення вектора швидкості V за напрямом характери-
зує нормальне або доцентрове прискорення а
; /
.
Вектор швидкості V у будь-якій точці кола напрямлений вздовж дотич-
ної до неї, Розглянемо положення рухомої точки в двох точках на колі
(М
0
і
АІ)
у близькі моменти часу
і і і
+
Аі
(рис. 1.40), За проміжок часу
Аі
радіус-вектор повернеться на кут Дер, гочка переміститься на Аг, швид-
кість зміниться на Ат. Модуль зміни швидкості | V | дорівнює стороні А В
трикутника
М
0
АВ
, побудованого на векторах швидкостей як на сторонах.
Рівнобедрені трикушики
М
0
ОМ
і
АМ
0
В
подібні, оскільки
/.М
0
ОМ =
= /.АМ
0
В
= Да як куш із взаємно перпендикулярними сторонами. З по-
дібності трикутників випливає, що
Ах; _ V
звідки
X)
АУ
- — Аг.
0 г
А
У
За означенням, миттєве прискорення
а„ -
Ііт — - .
" АІ~+0 Аі
Враховуючи вираз, отриманий для
АУ
, дістанемо
у ... Аг
а
и
= — І і т •
Рис. 1.40
г
Аі-їО Аі
Оскільки
г
Аг
Ііт — -
У
,
д>->о А і
ТО
доцентрове прискорення
V
І
а
я = • (1.61)
г
Вектор напрямлений, як і
вектор Ау, за радіусом до центра
кола О, тому що при А/~~>0,
Аф ~> 0 і
/М
0
АВ = Ш
0
ВА =
я - Аф
я
~2
Отже, у разі
рівномірного руху матеріаль-
58
мої гочки колом її прискорення напрямлене перпендикулярно до швидко»
і і і, за радіусом до центра кола, і тому його називають
нормальним
або
доцентровим.
Враховуючи зв'язок між лінійною та кутовою швидкістю (1.60) і фор-
мулу (1.61), дістанемо
а
п
= оз
2
г . (1.62)
§ 10. Рівнозмінний рух
К О Л О М
Миттєва кутова швидкість
Рівномірний рух точки колом - пе окремий випадок. Частіше
спостерігається обертальний рух, коли кутова швидкість з плином часу змі-
нюється. Такий рух характеризується середньою куговою швидкістю < ш > .
Середня кутова швидкість руху точки колом навкруг заданого центра
о) > - це вектор, модуль якого дорівнює відношенню кута повороту Аф
радіуса-вектора г точки за проміжок часу
Аі
до тривалості цього проміжку:
= (1.63)
Аі
Напрям вектора < ш > визначається за правилом правого гвинта. Як-
що змінити напрям обертання тіла, то зміниться і напрям вектора кутової
швидкості.
Середня кутова швидкість є приблизною характеристикою оберталь-
ного руху.
Миттєва кутова швидкість
со -
фізична величина, модуль якої дорів-
нює границі, до якої прямує модуль середньої кутової швидкості при на-
шиженні проміжку часу до нуля (Аі —> 0 ):
ш = Ііт < со > = Ііт = - (1.64)
Миттєву кутову швидкість називають просто кутовою швидкістю.
Модуль кутової швидкості дорівнює похідній від кута повороту радіуса-
ш'ктора обертової точки за часом
. Вектор кутової швидкості ш збіга-
< і ься за напрямом з вектором середньої кутової швидкості < со >,
У разі рівномірного обертання точки миттєва кутова швидкість дорів-
нює середній кутовій швидкості: со =< со >= сопзі.
Миттєва лінійна швидкість обертової точки [див. формулу (1.21)] з ура-
хуванням (1.55)
А 5 ,. гАф ,. Аф
V
= іігп — = Ііт — ~
г
Ііт — =
г
со.
А?—>0
Аі
А/-»0 А
І
А/—>0
Аі
59