ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 18864
Скачиваний: 11
т
о 2
М*
Розглянемо як приклад абсолю-
цій непружного удару зіткнення
платформи з піском М, яка руха-
« гься зі швидкістю
у
}
,
та ядра
т
,
д
що летить зі швидкістю
У
2
.
Після Рис. 3.16
неп грального непружного удару (ядро застряло в піску) їх загальна
швидкість дорівнює І/ (рис. 3.16). Визначимо її.
І і>і система неконсервативна і незамкнена, проте для неї виконується
ілкон збереження проекції імпульсу на вісь X, оскільки в даному напрям-
ку на тіла не діють сили:
МУ
Хх
+ т
г
и
2х
= (М + т)і/
х
,
або з урахуванням напряму векторів У
2
та ОСІ X
МУ
х
+ ту
2
=
(М
+
т)і!\
ІІПДКИ
І/:
МУ
х
4
ту
2
(3.32)
М + т
Швидкість системи ( М + т ) після непружного зіткнення II співнап-
римлена зі швидкостями
V,
і
У
2
,
Під час
непружних
співударянь відбу-
иамься зміна механічної, в даному разі - кінетичної, енергії системи,
оскільки при ударі між тілами діють непотенціальні сили:
£
КІ '
(М + т)Ц
2
Му* ту]
-
•
£
„ - _
о.
к2
Му
х
+ ту,
Враховуючи, що и = — — ~ , дістанемо
М + т
АЕ. =
М + т
АЕ
г
Мг\ + тУ
2
М + т
Мт
Мгк таї
к2
2(М
+ т)
{
Г}
Ї
(3.33)
Знак "мінус" показує зменшення кінетичної енергії; оскільки
АЕ
К
<0,
ю
Е
К2
<Е
КХ
.
135
Абсолютно пружний удар
До абсолютно пружних ударів можна віднести зіткнення
більярдних куль, удар шайби об штангу воріт при грі в хокей, зіткнення
багатьох елементарних частинок. Розглянемо центральне співударяння
двох куль з масами
ш
х
і
т
2
, що рухаються поступально вздовж осі
X
зі
швидкостями і У
2
(рис. 3.17). Визначимо швидкість куль 1/
х
та 1/
2
після центрального пружного удару.
Для цієї системи тіл виконується закон збереження проекції імпульсу
на вісь X- 3 урахуванням напряму векторів V,, У
2
та осі X (див. рис. 3.17)
закон збереження імпульсу запишемо так:
т
х
У
х
+ т-р2 -
т
Р\ +
т
г&2 -
Система куль консервативна, тому до неї застосовний закон збережен-
ня механічної енергії у вигляді
2 2 _
тХІ,
і^і ,
ЩЩ
2 2 2 2
Розв'язуючи сумісно рівняння, котрі виражають закони збереження
імпульсу та енергії, дістаємо
ТТ _{щ-щ)Ух+2щУ
2 тг
_(т
2
-т
х
)у
2
+2т
х
у
х
СУ
1
- _ ' 2 - —
т
1
+ т
2
т
{
+ т
2
(3.34)
Розглянемо окремі розв'язання цієї системи рівнянь.
• Нехай одне з тіл до удару знаходиться в стані спокою. Наприклад, на
хокейному майданчику в штангу воріт масою
М
влучає шайба масою
т
,
яка летить зі швидкістю . Визначимо швидкість шайби ІІ
Х
та швид-
кість воріт після пружного удару шайби об штангу воріт.
У цьому разі система рівнянь, що виражають закон збереження імпуль-
су і закон збереження енергії, матиме вигляд
ту
х
+0 = т1/
х
+Ми
2
;
ПЮ7 тії: ми;
2
2
Члени рівняння, що характери-
зують шайбу, перенесемо вліво:
ШУ
х
-тІ]
х
- МУ
2
;
ШШШШШШШЯПГ
Рис. 3.17
ті).
ті]} МЩ
136
Мішссемо спільний множник
т
і друге рівняння помножимо на два:
\т(і)
х
-[/,) = М(У
2
;
\т(і>] -11 = М11
22
.
І Іерепишемо перше рівняння без змін, а друге рівняння иочленно роз-
іпнімо на перше; отримаємо
Підставивши знайдене значення
£/
2
в
перше рівняння, дістанемо
іи(г;
1
-
£/
1
) =
М(г;
1
+
£/,)•
Розкриємо дужки:
- т и\ = Мі^ + МЦ .
і Ісренесемо члени, які містять 17
]
, вліво:
- М17
1
= - тг\
?
ІНІДКИ
— ( т + м ) = ( М -
{ отриманої рівності визначаємо швидкість шайби після удару об штангу:
ТТ
М -т
М + т
Знак "мінус" показує, що швидкості шайби до і після удару протилеж-
но напрямлені Т4 II,) .
Підставивши формулу (3.35) в раніше отримане співвідношення
V | ь (У, = II
г
, визначимо швидкість воріт після удару шайби об штангу:
М + т
111видкість воріт і швидкість шайби до удару співнапрямлені ( У
1
ТТ І І
2
) .
V випадку, коли
М » т
, як, наприклад, при ударі тенісного м'яча
( т ) об стінку ( М ) , із формули (3.35) випливає, що
ТТ
М
М
137
тобто швидкість тенісного м'яча
після удару об стінку дорівнює за
модулем його швидкості до удару,
але протилежно їй напрямлена:
V , П і ; , .
2Д у >0 Якщо
М = т
(наприклад, дві
І більярдні кулі, одна з яких руха-
„ _ ється зі швидкістю V*, а інша пе-
Рис. 3.18
1
ребуває у стані спокою), з формул
(335) і (3.36) випливає, що при центральному пружному ударі (в більярді
називається "щиголь") швидкість першої кулі
Ь\
= 0, швидкість другої
кулі II
2
~У
Х
. У разі щигля перша куля зупиняється, а друга, що раніше зна-
ходилася в спокої, почне рухатися в напряму руху першої кулі зі швидкістю
Внаслідок удару кулі "обмінюються" швидкостями (рис. 3,18).
Друга космічна
ШВИДКІСТЬ
Друга космічна швидкість - це найменша швидкість, яку
треба надати тілу, щоб воно, подолавши гравітаційне тяжіння Землі
(Венерн, Марса, Місяця- або іншого космічного тіла), віддалилося від неї
на нескінченно велику відстань.
Визначимо другу космічну швидкість гл
п
ракети масою т, що старту-
вала з Землі (М
Ф
). Поблизу поверхні Землі механічна енергія ракети, що
стартувала зі швидкістю , дорівнює
В міру віддалення ракети від Землі її потенціальна енергія збільшува-
тиметься, а кінетична - зменшуватиметься. В точці, що знаходиться на
відстані г від центра Землі, механічна енергія ракети, котра рухається зі
швидкістю V < ,
_ _
2
г
'
На підставі закону збереження енергії
і*ю\
_
= ш
*
2
„
0
тМ
Ф
2 і?
ф
' 2 г
138
Ракета долає гравітаційне притягання Землі, якщо потенціальна енер-
і іч взаємодії з Землею
Е
п
->
0 , тобто
, тМ
а
--> 0 при г —> оо .
V цьому разі закон збереження енергії має вигляд
>1
0
*пМ
т
та
2
2
Швидкість з якою ракета під час запуску подолає гравітаційну
н іа< МОДІЮ 3 Землею,
V
П
[Ш>
ІЛ.
І
с т М
®
,
V > 4 ^
2
2Л
/ш'
Швидкість буде мінімальною, тобто космічною швидкістю
якщо підкореневий вираз матиме мінімальне значення, тобто
- = 0; тоді
Уп
= .
12 ОМ
а
(3.37)
2-6,67-10"
ІІ
Н - м
2
/ к г
2
- 6 - Ю
2 4
кг
і л 3
,
у = — —— « 11,2-10 м/с.
V 6,4-10 м
М
т
їа формулою (2.22)
£ = 0—~~,
а тому
• (3.38)
Враховуючи, що перша космічна швидкість [див. формулу (2.35)]
/'і , друга космічна швидкість більша за першу космічну в ^[2 раз,
або і 1 , 4 1 1 ^ , ^н = >/2ї
Уг.
11 ижче наведено значення другої космічної швидкості для планет зем~
мої групи.
іиачення другої космічної швидкості
Планета
Меркурій
Неї і ера
км/с
10,3
Планета
Земля
Марс
Уіь км/с
11,2
5,0
139