ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 18846
Скачиваний: 11
Це диференціальне рівняння, розв'язком якого є вираз 5 = ^8Іп(са
0
/4-ф
0
).
( истема, яка описується рівнянням (18.9), називається
гармонічним осци-
лятором.
Коливання гармонічного осцилятора - важливий приклад періодичного
руху; вони є точною або наближеною моделлю в багатьох задачах фізики.
І Ірикладом гармонічного осцилятора є
пружинний, фізичний і матема-
тичний маятники, коливальний контур.
§ 160. Вільні електромагнітні коливання.
Перетворення енергії
в коливальному контурі
Вільні електромагнітні коливання
Електромагнітними коливаннями називають періодичні вза-
ємозв'язані зміни зарядів, струмів, напруженостей електричного і маг-
нітного полів.
Вільними електромагнітними коливаннями
називають такі, які здійснюються без зовніш-
ньої дії завдяки раніше нагромадженої енергії.
Розглянемо закритий коливальний контур, що
складається з індуктивності Ь і ємності С
(рис, 18.4). Щоб збудити коливання в цьому
контурі, треба конденсатору надати деякий
Рис
-
18
-
4
заряд від джерела & (ключ у положенні і).
Коли ключ буде в положенні 2, конденсатор почне розряджатися на ко-
тушці індуктивності. При цьому в контурі виникає ЕРС самоіндукції
ю
с і
= - І — я к а дорівнюватиме напрузі на оокладках конденсатора
йі
и = о/с.
Отже, - і — = Д
Ь
сії С
Врахувавши, що І = , дістанемо
сіі
сІГ С (ІГ ЬС
Введемо позначення:
(
1 8 Л 1
>
405
Тоді вираз (18.10) набуде вигляду
Л
2
+ о)оЄ = 0. (18.12)
Рівняння (18.12) аналогічне рівнянню (18.9) і є диференціальним рів-
нянням вільних гармонічних коливань. Його розв'язок має вигляд
Є = &8ш(ю
0
/ + <р
0
), (18.13)
де <2
0
- максимальний заряд на обкладках конденсатора; со
0
- циклічна
або кругова частота власних коливань контуру; ср
0
- початкова фаза.
З виразу (18.11) випливає, що
Період цих коливань визначається формулою Томсона
Г = —- = 2тг>/ЇС. (18.14)
со
0
За гармонічним законом змінюється не тільки заряд на обкладках кон-
денсатора, а й напруга і сила струму в контурі І
^ = = --5ІП + Фо) =
У о
Зіп (со
0
/ +
Фо
), (18.15)
І = ~ = Й > ® 0 С О § К /
+
ф
0
) = /
0
С 0 5 ( о . у + Ф о ) ,
де
£/
0
=0*- -
амплітуда напруги; /
0
=£
0
ю
2
- амплітуда струму.
О
(18.13), (18.15), (18.16) випливає, що
' (напруги) 1 струму в контурі зсунуті за
71/2.
Отже,
Перетворення енергії в коливальному контурі
(18.16)
У процесі зарядження конденсатора між його обкладками
СУ
2
О
1
електричне поле, енергія якого
1¥
с
= — у
а
^ о
1¥
с
• Під час
розряджання конденсатора на котушку індуктивності в ши виникає маг»
І /
2
літне поле, енергія якого ї
¥
и
= —;—. В ідеальному контурі максимальна
енергія електричного поля дорівнює максимальній енергії магнітного поля:
(1-8.17)
сиі _иІ
2 2
Енергія зарядженого конденсатора періодично змінюється з часом за
законом
г2
СІ/
^ = - ^ з і п
2
( а у + ф
0
), (18.18)
або
Врахувавши, що ш
2
= ——, дістанемо
І/С
Г
е
= М
5 І
„ 2 (
¥ +
ф 0
) . (18.19)
А енергія магнітного поля соленоїда змінюється з часом за законом
^ м = ^ с о 5
2
( С О
0
/ + Ф
0
). (18.20)
Врахувавши, що /
0
= 0
ош
о> дістанемо
ЩА ~ (щі
+ Фо)- (18
.21)
Повна енергія електромагнітного поля коливального контуру дорівнює
№ = К + (18.22)
Отже,
в Ідеальному контурі сумарна енергія зберігається, електромагиі-
і ні коливання -незгасаючі.
§161, Згасаючі еяектром.агнітні коливання
Реальний коливальний контур (рис, 18.5) має омічний опір,
тому енергія, запасена раніше в контурі, безперервно витрачається на ви-
ділення тепла. Внаслідок цього амплітуда коливань поступово зменшу»
407
ється і коливання в контурі згасають. Для реаль-
ного коливального контуру закон Ома можна
і
записати у вигляді
-Ь—
= або І —
+ ІК + О- = 0.
(18.23)
Л С сії С
Рис. 18
.5 Зробивши перетворення з урахуванням
того, що
,
№ ->
1 .
Я
(іґ
0
ЬС 21
дістанемо
£
Я _
+ 2 д
т .
+ 03
2д
= 0
(18.24)
(Іг сїї
Розв'язок цього рівняння має вигляд *
(3 = Є
0
е-
б/
5Іп(со/ + (р
0
), (18.25)
де коефіцієнт згасання
8 = ~, (18.26)
а частота
со
ов.27)
Отже,
амплітуда згасаючих коливань зменшується з часом за експонен-
ціальним законом:
(18.28)
де <2
Г
~ амплітуда коливань у момент часу
і; -
початкова амплітуда
коливань у момент часу / = 0.
Залежність (18,25) зображено на рис, 18,6 суцільною лінією, а залеж-
ність (18.28) - штриховою,
З (18.25) випливає, що коливання можливі лише доти, поки со - дійс-
на величина, тобто о < со
0
.
Якщо коливання згасають повільно, то можна користуватися поняття-
ми, введеними для незгасаючих коливань, Період згасання коливань ви-
значають за формулою
* У цьому можна впевнитись, двічі здиференціювавши рівняння (18.25) і підставивши в рів-
няння (18.24). Врахуйте, що со = ^ос>о - б
2
.
408
2 к
і
Шп - 5
2
(18.29) ^
ІС (О
п
власна частота вільних незгасаючих ко-
Г\
1 \
1
Г\
1 \
1
\
\
- - -
Л
і
У
/
/
и
()
— _ _ _ _ — о
11 т а н ь .
Порівнявши формули (18.14) і (18.29), побачи-
мо, що період згасаючих коливань більший, ніж
пилених незгасаючих.
Р и с
-
1 8 6
Швидкість згасання коливань у контурі характеризується
логарифміч-
ним декрементом затухання
0 - логарифмом відношення амплітуд
коливань у моменти часу, які відрізняються на період
а
0 = 1п-
6(г+Г)
:8 Т.
(18.30)
Проміжок часу, протягом якого амплітуда згасаючих коливань змен-
шується в е разів, називають часом релаксації
1
х - -
(18.31)
§ 162. Автоколивання.
Генератор незгасаючих коливань
Автоколивання
Для техніки важливе значення має можливість підтримувати
незгасаючі коливання. Якщо поповнювати втрати енергії реальної коли-
вальної системи, то коливання будуть незгасаючими. Особливо важливі і
широко застосовуються
автоколивання — незгасаючі
коливання, які підтримуються у коливальній системі
іавдяки постійному зовнішньому джерелу енергії,
причому властивості цих коливань визначаються са-
мою системою.
Розглянемо систему, яка складається з джерела
енергії, тіла, здатного здійснювати коливання, і при-
строю, який передає енергію джерела до тіла. Ця сис-
тема здатна регулювати надходження енергії до колив-
ного тіла для компенсації втрат на тертя, джоулеву
теплоту, випромінювання тощо. Прикладом такої сис-
теми є годинник з маятником (рис. 18.7). Тут чітко
ВИДІЛЯЮТЬСЯ
три
ОСНОВНИХ
елементи. Джерелом енергії
РЯС. 18,7
409