Файл: Контрольные работы. Теория автоматического управления.docx

9. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического управления. В 3-х т. Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Изд. МГТУ, Т1-2006, Т2-2008, Т3-2009.

10. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: пер. с англ.- М: Машиностроение, 1986. – 448 с.

11. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью: Учебник - М.: Изд-во «Лаборатория Базовых Знаний», 2001. – 616 с

Основы работы в MATLAB

1. Введение

MATLAB — это интерактивная среда для научных и инженерных вычислений. В состав MATLAB входят основная программа (ядро) и специализированные пакеты прикладных программ (tооlbохеs), состоящие из так называемых М-файлов, расширяющих функциона­льные возможности основной программы. Один из этих пакетов, Control System Toolbox, в сочетании с основной программой дает возможность использовать MATLAB для анализа и синтеза систем управления.

При работе в среде MATLAB пользователь взаимо­действует с компьютером с помощью четырех основных объектов:

• инструкции и переменные;

• матрицы;

• графические изображения;

• скрипты.

MATLAB интерп­ретирует и обрабатывает входные данные в виде одного или нескольких этих объектов.

Мы опишем только основные функции программы MATLAB, наиболее полный перечень можно посмотреть в приложении.

Для более качественного изучения программы мы рекомендуем проделать все приведенные примеры и описания самостоятельно.

2. Инструкции и переменные

Инструкции имеют следующий общий вид: >>переменная = выражение.

В MATLAB используется опера­ция присваивания, так что знак равенства «=» означает, что некоторой переменной присва­ивается выражение справа от этого знака. Командная строка обозначается двумя направ­ленными вправо стрелками «>>».

Приведем пример инструкции для ввода матрицы размерности 2 х 2 и присвоения ей имени переменной А: >>A=[1 2; 4 6] <ret> .

Инструкция выполняется после возврата каретки (нажатия клавиши <Enter>).

После ввода инструкции, завершающегося нажатием клавиши <Enter>, матрица А автоматически отображается на экране. Если после инструкции следует точка с запя­той (;), то вывод матрицы А на экран подавляется. Тем не менее, присвоение матрице имени А сохраняется, хотя ее вывод на экран подавлен точкой с запя­той.

В выражениях могут быть использованы обычные символы математических опера­ций, приведенные в таблице 5.1. Порядок выполнения арифметических действий можно из­менить с помощью скобок.

Таблица 5.1

MATLAB различает верхний и нижний регистры, поэтому переменные Nит и num бу­дут иметь разный смысл.

В MATLAB имеется несколько переменных с заранее закрепленными за ними имена­ми:

• NaN (сокращение от Not-a-Number) используется для обозначения неопределенного (нечислового) результата операции;

• Inf соответствует +∞;

• pi соответствует числу π ;

• i и j обозначают мнимую единицу и используются при арифметических операциях с комплексными числами.

Рассмотрим основные функции для работы с переменными:

who выводит на экран список всех переменных, хранящихся в рабочей области;

whos выводит на экран список переменных в рабочей области вместе с дополнительной информацией об их типе, размерности и занимаемой памяти;

clear удаляет из рабочей области все данные (переменные и функции);

cle­ar variables удаляет все переменные; clear name1 name2... удаляет переменные пате1 пате2 и т. д.;

format меняет формат вывода. Если задан какой-то определенный формат, то он сохраняет силу до тех пор, пока не будет изменен.

Приведем основные форматы вывода:

format long - 15-разрядное число с фиксированной точкой;

format long e - 15-разрядное число с плавающей точкой;

format long g - наилучший формат — 15 разрядов с фиксированной или плавающей точкой;

format short e - 5-разрядное число с плавающей точкой;

format short g - 5 разрядов с фиксированной или плавающей точкой;

format hex - шестнадцатиричный формат;

format bank -фиксированный формат для долларов и центов;

format - то же, что и format short.

3. Матрицы

Основной вычислительной единицей является матрица. Векторы и скаляры можно рассматривать как частные случаи матрицы. Матрица обычно заключается в квадратные скобки, [•]. Элементы столбца отделяются пробелами или запятыми, а строки разделяют­ся точками с запятой или возвратом каретки.

Способ записи матриц был рассмотрен в пункте 2. Матрицы можно вводить посредством записи нескольких строк, завершая их точкой с запятой и возвратом каретки или просто возвратом каретки. Это очень удобно при вводе больших матриц.

Элементы матриц могут быть комплексными числами либо содержать тригонометрические и элементарные математические функции.

К основным матричным операциям относятся сложение, вычитание, транспонирова­ние, возведение в степень и так называемые операции над массивами. Символы математи­ческих операций над матрицами остаются такими же, как были рассмотрены ранее.

В MATLAB имеется возможность левостороннего и правостороннего деления матриц.

При сложении и вычитании матриц они должны иметь одинаковую размерность. Если матри­ца А имеет размерность п х т, а матрица В — размерность p x r , то А ± В имеет смысл то­лько тогда, когда п = р, а т = r. Умножение матриц А* В возможно только в случае т = р. Особым случаем является умножение матрицы на вектор. Предположим, что b есть век­тор (столбец) из р элементов. Умножение матрицы А размерности n x m на вектор b воз­можно только в случае т = р. В результате будет получен вектор у = A* b размерности n х 1.

Транспонирование матрицы обозначается символом апострофа ('). С помощью опе­раций транспонирования и умножения можно получить так называемое внутреннее про­изведение векторов. Поясним это на примере. Предположим, что w и v есть векторы раз­мерности т х 1. Тогда их внутреннее произведение (известное также как произведение с точкой) находится как w' * v. Внутреннее произведение двух векторов дает скалярную ве­личину. Аналогично можно вычислить внешнее произведение двух векторов как w * v'. Внешнее произведение двух векторов размерности т х 1 дает матрицу размерности m x m, ранг которой равен 1.

Основные матричные операции можно заменить поэлементными действиями с испо­льзованием периодически действующего предшествующего оператора. Такие процедуры известны как операции над массивами. Самые простые операции над массивами приве­дены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Математические операторы, применяемые к массивам

Необходимо оста­новиться на представлении данных с использованием двоеточия: x=[xi:dx:xf]. Такое представле­ние позволяет сформировать вектор, компо­нентами которого являются числа, начинающиеся со значения x_i и заканчивающиеся зна­чением x_f, следующие друг за другом с заданным шагом dx.

4. Графика

Графика является мощным интерактивным средством анализа и синтеза систем управле­ния.

Для представления графических изображений MATLAB использует графический дисплей, автоматически активизируемый при задании любой функции, результатом ко­торой должен являться некоторый график (например, функции рlot).Функция plot откры­вает графический дисплей, который носит название окна FIGURE. Вы можете создать другое такое окно с помощью функции figure. В одном сеансе работы с MATLAB может быть создано несколько графических окон. Для этого используется функция figure (n), ко­торая создает n-е текущее окно. Графическое изображение можно удалить из окна с помощью функции clf в командной строке. Функция shg выводит на первый план текущее графическое окно.

Способы задания и оформления графиков приведены в таблицах 5.3, 5.4 и 5.5.

Таблица 5.3

Форматы графиков

Таблица 5.4

Функции для оформления графиков

Таблица 5.5

Типы линий для оформления графиков

Типы линий для оформления графиков задаются следующим образом:

>>plot(x,y1,’- -‘,x,y2,’-.‘) .

Графический дисплей можно разделить на несколько подокон меньшего размера. Функция subplot (m, n, р) делит графический дисплей на m x n подокон (т — число «строк», п — число «столбцов»), а целый параметр p определяет номер подокна. Нумера­ция идет слева направо и сверху вниз.

5. Скрипты

Действительная мощь MAT­LAB применительно к анализу и синтезу систем управления состоит в возможности выпол­нения длинной последовательности команд, записанных в виде файла. Такие файлы называются М-файлами, т. к. их имена имеют вид filename.m. Одним из видов М-файла являет­ся скрипт. Control System Toolbox представляет собой собрание М-файлов, разработанных специально для приложения к задачам управления. В дополнение к М-файлам, поставляе­мым вместе с MATLAB и пакетами прикладных программ, вы можете разработать собст­венные скрипты для решения конкретных задач. Скрипты — это обычные текстовые фай­лы в формате ASCII, которые создаются с помощью текстового редактора.

Скрипт представляет собой последовательность обыкновенных инструкций и функ­ций, используемых на уровне командной строки. Скрипт вызывается также на уровне командной строки путем ввода имени файла или с помощью ниспадающего меню. Каж­дый скрипт может вызывать также другие скрипты. В случае вызова скрипта MATLAB сразу начинает выполнение инструкций и вычисление функций, входящих в файл, не ожидая ввода командной строки. Скрипт работает с переменными, находящимися в рабо­чей области.

Предположим, что вы захотели построить график функции y(t)=sinαt, где α — варь­ируемый параметр. Тогда с помощью текстового редактора вы записываете скрипт и при­сваиваете ему, скажем, имя plotdata.m, затем вводите в коман­дной строке значение α, которое автоматически помещается в рабочую область. После этого вы печатаете в командной строке имя plotdata, что незамедлительно приводит к вы­полнению скрипта. При этом скрипт использует самое последнее значение α из рабочей области. После получения результата вы можете ввести другое значение α в командной строке и выполнить скрипт еще раз.

Cкрипт должен быть хорошо снабжен комментариями, начинающимися с сим­вола %. Снабдите скрипт заставкой, содержащей некоторые сведения относительно его назначения и затем используйте функцию help, чтобы вывести заставку на экран.

Используя скрипт plotdata.m, вы можете в интерактивном режиме исследовать влия­ние параметра α. В командной строке введите значение α = 10, за которым должно быть указано имя скрипта (в данном случае plotdata). MATLAB авто­матически построит график функции у = sinαt. Вы можете вернуться к командной строке, ввести значение α = 50 и выполнить скрипт еще раз, чтобы получить новый график.

Вы можете изменить начертание символов с помо­щью следующих модификаторов:

\bf - полужирный шрифт ;

\it – курсив ;

\rm - обычный шрифт ;

\fontname - определяет название семейства используемых шрифтов ;

\fontsize - определяет размер шрифта .

Для обозначения нижних и верхних индексов используются соответственно символы «_» и «^{^}».

6. Приложение

Таблица 5.6

Распространенные математические функции

Таблица 5.7

Функции MATLAB