Файл: Контрольные работы. Теория автоматического управления.docx

5. Настройка параметров регуляторов систем с апериодической реакцией.

Довольно часто от системы управления требуется, чтобы её переходная характеристика как можно быстрее стремилась к установившемуся значению с минимальным перерегулированием. Системы такого типа принято называть системами с апериодической реакцией. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению принимают зону, равную 2% от этого значения. Тогда временем установления считают время , за которое переходная характеристика входит в указанную зону, как показано на рис. 1. Апериодическая реакция характеризуется следующими показателями:

1. Установившаяся ошибка = 0.

2. Быстродействие минимальное время нарастания и время установления.

3. 0,1% относительное перерегулирование < 2%.

4. Относительный выброс ниже установившегося значения < 2%.

Показатели (3) и (4) требуют, чтобы после того как в момент переходная характеристика войдёт в зону 2% от установившегося значения, она всё время оставалась в пределах этой зоны.

Рис. 1. Апериодическая реакция системы (А – амплитуда входного ступенчатого

воздействия)

Чтобы определить коэффициенты передаточной функции замкнутой системы , при которых реакция будет иметь апериодический характер, приведём сначала эту передаточную функцию к нормированному виду. Покажем это на примере системы третьего порядка:

. (1)

Разделим числитель и знаменатель на :

. (2)

Введя обозначение , получим:

. (3)

Выражение (3) – это нормированная передаточная функция замкнутой системы третьего порядка. Тем же самым способом определяются и нормированные передаточные функции систем более высокого порядка. Коэффициентам и т.д. придаются значения, при которых система будет иметь апериодическую реакцию. Коэффициенты, приведенные в табл. 1, выбраны таким образом, чтобы получить апериодическую реакцию и минимизировать время установления и время нарастания до 100% от заданного значения. В выражении (3) фигурирует нормированная переменная . Поэтому частота определяется по заданному времени установления или времени нарастания. Так, если в системе третьего порядка необходимо иметь время установления, равное 1,2 с, то согласно табл. 1 мы имеем нормированное время установления

.

Отсюда находим частоту :

.

Таблица 1

Коэффициенты и параметры переходной характеристики системы с апериодической реакцией

После этого можно записать передаточную функцию замкнутой системы в виде (1).

При синтезе системы с апериодической реакцией выбирается тип корректирующего устройства и записывается выражение для передаточной функции замкнутой системы. Эта передаточная функция приводится к виду (1), после чего нетрудно определить параметры корректирующего устройства.

Пример 5

Рассмотрим систему с единичной обратной связью, корректирующим устройством и предшествующим фильтром.

Объект имеет передаточную функцию

,

а корректирующее устройство – передаточную функцию

.

Предшествующий фильтр должен иметь передаточную функцию

.

В этом случае передаточная функция замкнутой системы с предшествующим фильтром равна

.

С помощью табл.1 находим требуемые значения коэффициентов: и .

Если время установления (по критерию 2%) должно быть равно 2 с, то и, следовательно, . Тогда желаемый характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид:

.

Отсюда находим, что s = 2,84, z = 1,34 и k = 6,14. Переходная характеристика системы имеет значения с, с и с.

Приложение 5

Реализация цифровых регуляторов

Цифровые регуляторы могут быть реализованы в виде импульсных фильтров (на базе четырехполюсников в сочетании с квантователями и экстраполяторами), на основе микроЭВМ и цифровых устройств.

Передаточная функция цифрового регулятора в соответствии с рис.7.4б будет (7.13)

причем всегда должно быть n≥m.

Разделим числитель на знаменатель на zⁿ. Тогда для предельного случая n=m

(7.14)

Если a₀=1, то из (7.14) можно получить линейный алгоритм работы цифрового управляющего устройства:

u[k]=b₀e[k]+b₁e[k-1]+…+b_me[k-n]- (a₁u[k-1]+a₂u[k-2]+…+a_nu[k-n]). (7.15)

Из полученных соотношений можно установить, что цифровой регулятор оказывается физически реализуемым, если в (7.14) нет слагаемых с положительной степенью z. Наличие хотя бы одного члена в (7.14) с положительной степенью z означает «упреждение», т.е. показывает, что выходной сигнал опережает входной. В равной степени это относится и к слагаемым уравнения (7.15), т.е. значение u[k] будет определяться значениями опережающих его слагаемых u[k+1] и e[k+1].

Условием физической реализуемости цифрового регулятора, таким образом, является выполнение условия n≥m. Кроме того, при n=m знаменатель (7.14) не должен иметь сомножителя z^-1 при b₀ ≠0 , т.е. должно быть также a₀≠0.

К цифровым регуляторам предъявляются требования к точности реализации параметров при их вычислении с ограниченной разрядностью процессоров.

Для обеспечения устойчивости регуляторов должно выполняться условие расположения полюсов их передаточной функции внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Передаточная функция цифрового регулятора обычно реализуется в виде программы ЭВМ, реализуемых методами прямого, последовательного и параллельного программирования.

При прямом программировании из передаточной функции (7.14) запишем уравнение в форме обратного преобразования:

(7.16)

решением которого будет:

(7.17)

В общем виде уравнение (7.17) может быть представлено, как разность двух групп слагаемых входного и выходного сигналов:

(7.18)

Для последовательного программирования передаточную функцию регулятора представляют в виде произведения простейших передаточных функций, каждая из которых реализуется простейшими программами:

(7.19)

где p – наибольшее из чисел n и m. Для каждой простейшей программы используется метод прямого программирования.

При параллельном программировании передаточная функция (7.14) представляется в виде (7.20)

где p – наибольшее из чисел n и m. Здесь также каждая из передаточных функций может быть реализована методом прямого программирования.

Пример 1

Пусть передаточная функция цифрового регулятора имеет вид:

Регулятор является физически реализуемым (n=2, m=1 при и устойчивым (полюсы z₁=0.5, z₂=0.1).

1. Прямое программирование.

Из передаточной функции запишем линейное уравнение регулятора:

Выразим обратное z- преобразование к обеим частям уравнения:

Применяя метод прямой (непосредственной) декомпозиции к предыдущему уравнению

,

где или ,

получим систему:

Структура решения данной системы уравнений приведена на рис.1.

Рис.1. Прямое программирование передаточной функции

2. Последовательное программирование.

Передаточную функцию регулятора запишем в виде произведения двух функций, например, вида:

Программирование выполним, представив произведение передаточных функций системой уравнений:

X(z)=(1+0.25z^-1)E(z)+0.5z^-1X(z)

U(z)=5X(z)+0.1z^-1U(z).

Структурная схема решения системы приведена на рис.7.9.

Рис.7.9 Последовательное программирование передаточной функции

3. Параллельное программирование.

Разложим передаточную функцию регулятора на сумму простейших:

Составим систему уравнений, U(z)=U₁(z)-U₂(z)

U₁(z)=9.375E(z)+0.5z^-1U₁(z)

U₂(z)= 4.375E(z)+0.1z^-1U₂(z),

структурная схема решения системы приведена на рис.7.10.

Рис.2. Параллельное программирование передаточной функции

Для преобразования сложной дискретной передаточной функции к алгебраической сумме элементарных используйте две леммы высшей

алгебры:

Лемма 1. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными
коэффициентами и пусть S₁ есть вещественный корень полинома Q(s)

кратности r, тогда существует такое число А и такой полином P₁(s), что

справедливо равенство

,

где ; при этом - правильная рациональная дробь.

Лемма 2. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными
коэффициентами и Q(s)=(s²+ps+q)^m∙V(s), где , корни полинома не

являются корнями полинома V(s), V(s) не делится нацело на (s²+ps+q).

Тогда найдутся такие вещественные числа M и N и такой полином P₁(s),что

,

где второе слагаемое будет также правильная рациональная дробь.

Пример:

Здесь использован метод неопределённых коэффициентов:

Примечание:

1. .

2. Теорема о разложении многочлена на множители:

«Каждый (действительный или комплексный) многочлен степени относительно может быть единственным способом представлен в виде произведения постоянной и линейных множителей , именно

где - корни многочлена ; корню кратности соответствует множителей . Каждая пара множителей и , соответствующая паре комплексных сопряжённых корней и ,

может быть объединена в действительный квадратный множитель ».

Пример 2

Передаточная функция аналогового корректирующего устройства имеет вид

.

Определите дискретную передаточную функцию цифрового алгоритма управления объектом путём преобразования аналогового регулятора в цифровой при периоде квантования сигналов T=0,02с. Проверьте адекватность преобразования по амплитудно-фазовым частотным характеристикам непрерывного и цифрового корректирующих звеньев. Составьте программу работы ЦВМ на основании полученной дискретной передаточной функции и постройте структурную схему реализации алгоритма дискретного корректора.

Решение

Для получения дискретного аналога корректирующего алгоритма в форме обратных разностей используем аппроксимационную формулу Тастина

,

приведём первый коэффициент знаменателя к 1 и разделим числитель и знаменатель дискретной передаточной функции на :

.

Из последнего выражения

,

.

Обратное Z-преобразование этого выражения – рекуррентная форма дискретного управляющего алгоритма:

.

Структурная схема реализации полученного алгоритма в микроЭВМ представлена на рис.1.

Рис.1. Структурная схема дискретного управляющего алгоритма

Греческий алфавит

Список рекомендуемой литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления: Учебник – СПб: Изд-во «Профессия», 2003-2007.-752 с.

2. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы.- М.:Наука,1976.-576с.

3. Васильев Е.М., Коломыцев В.Г. Теория автоматического управления. Нелинейные системы: Учебное пособие – Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011.-115с.

4. Васильев Е.М., Коломыцев В.Г. Теория автоматического управления. Дискретные системы: Учебное пособие – Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2012.-152с.

5. Денисенко В.В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. — М.: Горячая линия-Телеком, 2009.-608с.

6. Диркс Г.Г., Коломыцев В.Г. Проектирование микропроцессорных систем автоматического управления. Ч.1. Синтез систем автоматического управления: Учебное пособие - Пермь: Изд-во ПГТУ, 1997.-175с.

7. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления:Учебник-М.:Изд-во «Лаборатория Базовых Знаний», 2002-2004.- 832 с.

8. Душин С.Е., Зотов Н.С., Имаев Д.Х. и др. Под ред. В.Б.Яковлева. Теория автоматического управления: Учебник - М.: Изд-во «Высшая школа», 2005.-567 с.