Файл: Теория риска.doc

Предметом являются условные экстремальные задачи, в которых параметры условий и составляющие решений или обе эти характеристики одновременно являются случайными величинами ω.

Как указывается во многих исследованиях, в стохастическом программировании больше, чем в других разделах математического программирования, значительные трудности подстерегают исследователя не только (и не столько) при разработке методов решения задач, а и при формулировке постановки задачи, где следует отразить особые ситуации планирования и экономического управления в условиях риска и неопределенности.

Пусть неизвестные факторы ω представляют собой случайные величины с некоторыми, в принципе известными, вероятностными характеристиками – законами распределения, математическими ожиданиями, дисперсиями и т.д. Тогда показатель эффективности (обозначим его через f) зависимый от этих факторов f= f(ω), также будет случайное величиной. Максимизировать (минимизировать) случайную величину невозможно: при любом решении она остается случайной, неконтролируемой.

Постановка задач стохастического программирования существенно зависит от целевых позиций и информационной структуры задачи.

Одна из постановок задачи экономического управления (в частности, планирования в условиях неопределенности и риска) состоит в следующем.

Пусть вектор Х означает возможные решения (альтернативные) из некоторого априорно допустимого множества Х. Рациональный выбор решений осуществляют, исходя из последствий, к которым приводят эти решения. Но последствия решения зависят не только от избранного вектора х Х, а также от некоторых случайных факторов (параметров), которые формируют ω. Значения ω заранее неизвестны. Считают, что известно множество Ώ, которому принадлежит вектор ω. Что касается распределения величины ω в множестве Ώ, то здесь могут быть различные гипотезы. В наилучшем случае, как уже отмечалось, известен точный закон распределения ω, в наихудшем – лишь, что ω Ώ. Связь между решениями х и последствиями записывают в виде функциональной зависимости , которую называют моделью.

Модулями могут быть алгебраические соотношения со случайными параметрами, стохастические дифференциальные уравнения, марковские процессы и другие стохастические модели.

Поскольку параметры модели являются неопределенными или случайными, то каждому х соответствует вектор-функция . Обобщенно все последствия можно охарактеризовать убытками, выигрышем и т.п. Больше того, что в дальнейшем упростить задачу принятия экономических решений, считают, что последствия решения характеризуются единой функцией затрат-выигрыша. Обозначим ее f(x, ω) (эта функция характеризует эффективность плана). В общем случае эта функция может быть нелинейной и даже прерывной.

---

Сформулированная задача была рассмотрена в предыдущих разделах в игровом аспекте, где значения вектора х истолковывались как стратегии субъекта управления, а ω(Θ) – как состояние внешней экономической среды.

Кроме неопределенности входной информации (которую иногда называют неопределенностью первого рода) модели экономического управления и планирования содержат и такую неопределенность, которая связана с невозможностью учета всех экономических и неэкономических факторов, влияющих на выполнение экономических планов. Ее называют неопределенностью второго рода. Она порождает неточность в формировании самой модели, неадекватность ее действительному положению дел.

Пусть, например, в задаче объемного внутризаводского планирования все входные данные добыты с надлежащей точностью. Задача описывается моделью вида:

f(x)=cx → max, (10.1)

Ax <=b, (10.2)

x>=0. (10.3)

Решив задачу (10.1) – (10.3) одним из методов линейного программирования (симплекс-методом), получим оптимальный план. Но часто бывает так, что фактическое исполнение плана, как это показано в предыдущем разделе, отклоняется от расчетного с помощью модели (10.1) – (10.3).

В общем говоря, отклонение от оптимального плана будет иметь случайный характер.

И если это пытаются учесть заранее, то параметры, которые входят в оптимизационную модель, надо было бы рассматривать как случайные. Это легко приводит к неопределенности входной информации. Действительно, отклонения реальных значений плана от расчетных можно описать с помощью случайных сомножителей ω, рассматривая ω, х как действительные переменные. В результате подстановки получим модель с детерминированными переменными, но случайной матрицей ограничений А(ω) и коэффициентами целевой функции с(ω). То есть, неопределенность второго рода формально можно свести к неопределенности перового рода, после чего теми или иными методами учета неопределенности и риска разработать план, который (по нашему мнению) будет наилучшим. Но в этих условиях также необходимо учитывать хотя бы приближенные границы состояний экономической среды.

10.2. Элементы классификаии задач стохастического программирования

Как уже отмечалось, стохастическим программированием называют раздел математического программирования, изучающий теорию и методы решения условных экстремальных задач в условиях риска при неполной информации о параметрах условий задачи. Значение показателя качества принимаемого решения зависит не только от управляемых переменных х=(х₁, х₂, …х_м), а и от ряда неуправляемых (случайных) параметров ω=( ω₁, ω₂, … ω_п).

Пусть для данного состояния экономической среды (возможного последствия) ω и выбранного решения х Х определена функция f(x, ω) из явного произведения множества состояний среды и множества допустимых решений. Функция f(x, ω) для каждого х Х является случайной величиной (т.е. f(x, ω) – случайная функция). Следовательно, об оптимизации функции f(x, ω) говорят в вероятностном контексте, т.е. оценивают решение по одной или нескольким числовым характеристикам случайной функции f(x, ω).

---

Особый интерес представляет собой классификация задач стохастического программирования, возникающих в условиях риска и неопределенности по показателям качества (эффективности) решения задачи.

Естественно рассматривать следующие показатели качества решения стохастических задач (в частности, линейных):

1. математическое ожидание величины линейной формы;

2. линейная комбинация математического ожидания и дисперсии линейной формы;

3. вероятность превышения линейной формой определенного фиксированного порога;

4. математическое ожидание функции полезности линейной формы;

5. максиминимум линейной формы (причем, максимум берется из множества планов Х, а минимум – из допустимых значений ω набора случайных параметров, определяющих реализацию случайных элементов условий задачи).

Задачи стохастического программирования подразделяются на статические и динамические.

В статических задачах стохастический характер условий определяется случайными величинами, в динамических – случайными функциями или случайными последовательностями. Закономерности изменения статических характеристик случайных последовательностей должны учитываться как в постановке задачи, так и при построении методов анализа.

Допустим, что в задаче (10.1.) – (10.3) векторы в и с, а также матрица А не фиксированные и могут изменяться случайно (в зависимости от состояния среды).

Тогда для того, чтобы задача (10.1.) – (10.3) имела смысл, необходимо ответить на следующие три вопроса:

1. Как понимать вектор Х – должен ли он быть случайным (т.е. каждому значению ω будет соответствовать свое решение f(ω), которое определяется стандартными правилами линейного программирования по с(ω), в(ω), А(ω)), или детерминированным , который не изменяется при случайных вариациях с, в, А,

2. Как понимать максимизацию целевой функции? Как максимизацию абсолютную, для всех ω , или максимизацию ее математического ожидания, или максимизацию некоторой другой ее вероятностной характеристики?

3. Как понимать выполнение ограничений (10.2)? Абсолютно для всех ω , или в среднем, или с допустимыми их нарушениями с малой вероятностью.

При решении этих вопросов приходится исходить не только из математического, но и из экономического содержания и других соображений, которыми необходимо руководствоваться при исследовании и моделировании систем с риском.

Постановка задач стохастического программирования, вытекающих при моделировании экономического риска, существенно зависит от того, есть ли возможность при выборе (принятии) решений уточнять состояние экономической среды определенными наблюдениями или нет. Так, когда осуществляется перспективное планирование, решение принимается перед тем, как будут выполнены наблюдения состояния среды (скажем, станут известными потребности), а потому решение будет детерминированным. В задачах оперативного или текущего планирования решения принимаются после определенных наблюдений (экспериментов) за состоянием экономической среды.

---

10.3. Риск принятия решений в планировании.

Абсолютная и вероятностная концепции гарантии реализации плана.

Принимая решение о номенклатуре и объемах производства продукции, руководители предприятия (корпорации) должны считаться с тем, что неопределенность всегда существует как в характеристиках возможных технологических операций, так и во внешней экономической ситуации и вносит в планирование элемент риска. Как отмечалось в предыдущих разделах, для предприятий, которые функционируют в условиях риска, установление внутреннего плана (программы), как правило, сводится к заключению контрактов, причем нарушение таковых приводит не только к явно выраженным экономическим убыткам для фирмы в виде уплаты штрафов, неустоек, а и к другим негативным последствиям, например. «потеря интереса и приоритета у потребителя».

Одной из важнейших характеристик плана должен быть уровень гарантии его выполнения или обратная величина – риск невыполнения принятых обязательств.

Разрабатывая план производственно-экономической системы, необходимо учитывать не только неопределенность в характеристиках технологического комплекса (внутреннюю неопределенность), а и неопределенность внешней среды (сырье, полуфабрикаты, спрос на конечную продукцию и т.п.).

Задание неопределенности фиксированием возможной области изменений параметров дает возможность использовать такой вариант постановки задачи, при котором выполнение плана является абсолютно гарантированным при любых комбинациях неопределенных параметров ω . Такой подход к задаче оптимального планирования в условиях неопределенности называют принципом абсолютно гарантированного результата (безрисковым).

Пусть х – вектор управления, характеризующий план (компонентами его могут быть, например, объемы разных видов производимой продукции, интенсивности технологических способов и т.д.).

Пусть ω – вектор параметров, характеризующих неопределенность внутренней и внешней ситуаций, о которых в момент принятия плана известно лишь то, что они могут принимать любые значения ω из области Ώ (ω ).

Эффективность системы, естественно, зависит как от х, так и от ω. План х^*, который является наилучшим при наихудших соотношениях ω, должен быть решением этой задачи:

max x {min ω (f(x, ω) / ω ), x }, (10.4)

где: f(x, ω) – эффективность,

а х – допустимая область изменения параметров.

Задачи максиминного типа (10.4) ранее интерпретировались как задачи выбора наилучшей стратегии в игре против Природы.

Математическая сложность задачи (10.4) состоит в том, что необходимо решать “внутреннюю” параметрическую задачу, т.е. найти

min ω (f(x, ω) / ω ), (10.5)

при любых x .

Для проблем оптимального планирования характерна наиболее сложная ситуация, когда область возможных изменений управляющих параметров Х зависит от параметров ω:

---

Х=Х(ω)

При стремлении к гарантированному результату приходится строить план, ориентируясь на нижний уровень цен и ресурсов, а также на гранично высокие показатели ресурсов на единицу выпускаемой продукции.

Такой, целиком свободный от риска подход не может нас удовлетворить, поскольку реализация цен и ресурсов на нижайшем уровне, а также неудачная реализация технологических процессов могут быть маловероятными событиями, которые приводят к риску неиспользованных возможностей.

Потому более рациональными являются подходы, базирующиеся на вероятностной характеристике неопределенности и гарантии реализации плана (допускаемый риск) с достаточно высокой вероятностью.

---