ВУЗ: Смоленский областной казачий институт промышленных технологий и бизнеса
Категория: Методичка
Дисциплина: Методы обработки экспериментальных данных
Добавлен: 29.10.2018
Просмотров: 381
Скачиваний: 10
Пример 1: Найти графически корни уравнения: , где
Решение:
Первый способ: так как всегда положительно, а тоже положительно при х>0, то данное уравнение не имеет положительных корней.
Вычислим значение функции для нескольких отрицательных значений х:
То есть при х<х4 разность остается отрицательной, следовательно, ось ОХ мы не пересекаем, и наш искомый корень принадлежит интервалу (0;-1,18), так как в этом интервале функция меняет знак.
Точка пересечения графика с осью абсцисс определяет приближенное значение корня
В торой способ: уравнение записываем в виде . Как и ранее, графики функций в левой и правой части строим по точкам. Построение следует вести более точно около точки пересечения:
Пример 2: Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения =x3-2x2-4x-7=0 на промежутке (3,4)
Решение:
1)Используем метод касательных:
Так как = -10 , = 9 (то есть знаки на концах промежутка различные), то на этом промежутке наша функция пересекает ось ОХ.
Вычислим первую и вторую производные функции:
=3x2-4x-4; =6x-4,
так как значение обеих производных на (3,4) положительно, то касательную проводим в точке b=4.
Так как >0, то .
=1,03; =21,9;
х2=
Очевидно, что дальнейшие вычисления не повлияют на цифру сотен:
Итак, с точностью большей заданной, х=3,63.
2) Используем метод хорд:
Так как = -10 , = 9 (то есть знаки на концах промежутка различные), то на этом промежутке наша функция пересекает ось ОХ.
>0 на (3,4), следовательно: ;
Следовательно, х2(3,53;4)
<0
х3(3,62;4)
.
Так как х4 отличается от х3 меньше чем на 0,01, значит х3 и есть искомое приближение.
Для проверки: =0,17>0 =-0,04<0.
Задачи
Пользуясь любым из известных методов, определить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Приложения теории рядов.
Понятие о целях представления сложных для вычислений функций, о точном вычислении «неберущихся» интегралов, о раскрытии неопределенностей, о вычислениях высокоточных значений сложных функций с помощью «карандаша, бумаги и головы», о составлении высокоточных таблиц логарифмов и тригонометрических функций.
Пример: Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение: Для нахождения ряда Маклорена вычисляем значения функции , где n-натуральное число) и ее производные при х=0:
,
,
,
,
Отсюда видно, что:
Подставляем эти значения в ряд Маклорена:
Получаем:
Найдем радиус сходимости этого ряда:
;
. Следовательно, ряд сходится в интервале (-1,1).
Пример 2: Вычислить с точностью до 0,01.
Решение: Данный интеграл не выражается в конечном виде через элементарные функции. Разложим его подинтегральную функцию в степенной ряд по формуле:
Заменим х на (–х)2:
Отсюда:
=
Вычисляя члены этого ряда с точностью до 0,001, замечаем, что уже шестой член по абсолютной величине <0,001, значит, надо взять сумму первых пяти членов, что обеспечивает требуемую точность:
Задачи
1. Разложить в ряд Маклорена
2. Почленным интегрированием ряда функции написать ряд Маклорена для
3. Вычислить с точностью до 0,001
4. Вычислить с точностью до 0,0001
5. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл:
6. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,001 интеграл:
7. Вычислить sin 10º с точностью до 0,0001
8. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,01 интеграл:
Найти разложения в ряд Маклорена следующих основных элементарных функций
9.
10.
Приближенное вычисление интегралов. 4 часа
Раздел «приближенное вычисление интегралов», а многие студенты, особенно заочного отделения, лишены возможности закрепить полученный ранее на занятиях материал, следует начинать с полуочевидных и легко запоминающихся формул прямоугольников, трапеции, формул Симпсона, затем перейти к интерполяционным полиномам. Заканчивать занятие желательно примерами вычисления центров тяжести или моментов инерции плоских конструкций усложненной геометрии.
Пример 1: по формулам Симпсона и трапеций вычислить и сравнить результаты с точным значением (0,785398).
Решение: Разбиваем сегмент [a,b] на 10 равных частей:
x0 = 0,0 y0=1,0000
x1 =0,1 y1=0,9901
x2 =0,2 y2=0,9615
x3 =0,3 y3=0,9174
x4 =0,4 y4=0,8621
x5 =0,5 y5=0,8000
x6 =0,6 y6=0,7353
x7 =0,7 y7=0,6711
x8 =0,8 y8=0,6098
x9 =0,9 y9=0,5525
x10 =1,0 y10=0,5000
По формуле трапеций:
По формуле Симпсона: берем 5 ординат: n=2,
, т.е. в 40 раз меньше, чем , полученное по формуле трапеций.
Задачи
Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников и трапеций и сравнить результаты, если:
1. , при n=6
2. , при n=8
3. , при n=8
4. , при n=4
5. Выписать формулы для интерполяционного многочлена первой степени.
С помощью формулы Симпсона вычислить следующие интегралы:
6. , при n=4
7. , при n=6
8. , при n=6
9. , при n=8
10. , при n=4
Численное дифференцирование.
В теме «численное интегрирование» желательно выделить приложения к «грубым» оценкам, которые необходимы при приближенных инженерных оценках или вычислениях на стадии эскизного проектирования.
Пример 1: Вычислить приближенно при помощи формул численного дифференцирования.
Решение: Воспользуемся формулой .
Получим: .
Пусть х0 = 27, тогда h = -1:
Пример 2: Вычислить ln1,05
Решение: возьмем х0 = 1, h=0,05, тогда:
Задачи
Вычислить при помощи формул численного дифференцирования приближенное значение:
1.
2.
3.
4.
5.
6. cos 606
7.
8.
9.
10. cos 596.