Те плоскости, которые оказываются параллельными осям координат, будут условно «отсекать» отрезки равные ∞, например, в отрезках боковая плоскость на рис.1.5, отмеченная штриховой, будет иметь индексы (∞1∞), а в индексах Миллера: ( ), то есть (010). Таким образом, три плоскости, ограничивающие элементарную ячейку на рис.1.6, будут иметь индексы: (100), (010) и (001).

Зададимся вопросом: как обозначить индексами плоскости, расположенной в плоскости системы координат? Например, плоскость параллельная (100) и расположенная в плоскости YZ.

Рисунок 1.6 – Главные передние плоскости элементарной ячейки.

Для определения индексов этой плоскости сместим систему координат таким образом, чтобы интересующая нас плоскость пересекла ось координат (рис.1.7). Всю систему XYZ сдвинем в направлении оси X на один период решетки, и в новом положении системы интересующая нас плоскость будет отсекать единичный отрезок в отрицательном направлении оси X. Соответственно индексы плоскости в данном случае должны содержать знак минус, и он ставиться над индексом, например для вышеназванной плоскости индексы Миллера будут -

Таким приемом можно дать обозначение любой плоскости в элементарной ячейке. Примеры плоскостей и их индексов представлены на рис.1.7.

Обобщая вышеизложенное, укажем этапную последовательность в определении индексов плоскости:

1. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях системы координат, приняв за единицу измерения период решетки;

2. Взять обратные значения этих чисел;

3. Привести, если возможно, отношение полученных величин к отношению трех наименьших целых чисел;

4. Заключить полученные три числа в круглые скобки.

Рисунок 1.7 – Примеры основных атомных плоскостей элементарной ячейки.

В гексагональной решетке обозначение атомных плоскостей отличается от ранее рассмотренных правил. Спецификой данной решетки будет наличие четырех осей координат, три из которых повернуты по отношению друг к другу на угол 120° (Рис.I.8). Поэтому атомная плоскость гексагональной решетке обозначается индексами Миллера – Браве, содержащими четыре цифры в круглых скобках.

Кроме трех индексов hkl ставится и четвертый индекс i численно равный сумме индексов h и k со знаком минус (hkil).

отсекает единичный отрезок по оси Х, параллельно оси Y и Z, отсекает единичный отрезок по отрицательному направлению оси U . В индексах Миллера - Браве эта плоскость будет обозначаться как . Аналогичным образом можно определить любую плоскость данной решетки.

Символы кристаллографического направления в атомной решетке также могут быть определены по следующей последовательности операций:

Рисунок 1.8 – Система координат в гексогональной решетке.

Так передняя плоскость гексагональной ячейки на рис.1.9

Рисунок 1.9 – Примеры кристалографических плоскостей в гексогональной ячейке.

---

1. Перенести систему координат, чтобы вектор направления выходил из её начала;

2. Определить координаты точки пересечения вектора направления с гранями ячейки, приняв за единицу измерения период решетки;

3. Привести отношение полученных величин к отношению трех наименьших целых чисел;

4. Заключить полученные три числа в квадратные скобки.

Примеры кристаллографических направлений приведены на рис.1.10.

Рисунок 1.10 – Примеры кристаллографических направлений.

Полезно запомнить, что в кубической решетке (и только в кубической!) индексы направления одинаковы с плоскостью ему перпендикулярной. Например, плоскость (100) перпендикулярна направлению [100].

Если направление [h₁k₁l₁] находится в плоскости (hkl), то должно выполняться следующее соотношение:

(1.2)

Это дает основание утверждать, что направление может находиться в плоскости (III), а направление не должно принадлежать этой плоскости.

В гексагональной решетке кристаллографические направления обозначаются (четырехзначными) индексами Миллера - Браве.

3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ОСНОВНЫХ СИНГОНИЙ

Для рентгенографии особую важность представляет соотношение между индексами атомных плоскостей, параметрами кристаллической решетки и межплоскостными расстояниями. Найдем эту зависимость для наиболее симметричных типов решеток: кубической, ромбической и тетрагональной. Эти решетки объединяет один важный геометрический фактор: они относятся к прямоугольной системе координат.

Возьмем систему плоскостей (hkl) (Рис. 1.11) и восстановим к ним перпендикуляр из начала координат (точка 0). Длина перпендикуляра ON будет соответствовать межплоскостному расстоянию d .

Рисунок 1.11 – К выводу квадратичной формулы для плоскости hkl.

Тогда направляющие косинусы нормали, определенные через индексы плоскости, будут выражаться следующими формулами:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Из аналитической геометрии известно, что в прямоугольной системе координат справедливо следующее выражение:

(1.6)

Если в формулу (1.6) подставить значения направляющих косинусов из соотношений 1.3 – 1.5, то получим:

(1.7)

Это выражение называется квадратичной формой для ромбической системы, так как из табл.1.1 видно, что условию соответствует ромбическая решетка.

Если в формуле 1.7 принять , то есть для случая кубической решетки, формула квадратичной формы существенно упростится:

(1.8)

Для тетрагональной решетки, имеющей соотношение параметров: , квадратичная форма будет иметь следующее выражение:

(1.9)

Формальный математический анализ выражений 1.7 – 1.9 показывает, что с ростом величины индексов плоскостей (hkl) межплоскостные расстояния уменьшаются.

3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ПЛОСКОСТЯМИ

---

Если две пересекающиеся плоскости находятся в одной системе координат, то угол между ними можно вычислить по известным индексам этих плоскостей. Как видно из рис.1.12 угол между плоскостями h₁k₁l₁ и h₂k₂l₂ может быть высчитан как угол  между нормалями Nh₁k₁l₁ и Nh₂k₂l₂. Не прибегая к математическому доказательству, сразу запишем формулу для расчета угла :

(1.10)

Эта формула справедлива только для кубической системы.

Рисунок 1.12 – Геометрическое представление угла между пересекающимися плоскостями (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂).

2 ФИЗИКА РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

2.1 ИСТОЧНИКИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Для получения рентгеновских лучей используются разнообразные источники, - это могут быть рентгеновские трубки, кольцевые ускорители электронов (бетатроны) и радиоактивные изотопы.

Рассмотрим принцип работы рентгеновских трубок - устройств обладающих рядом ценных свойств и получивших самое широкое применение в рентгенографии.

Как известно из курса общей физики, рентгеновские лучи возникают только тогда, когда поток быстролетящих электронов тормозится в материале мишени. Этой мишенью является один из электродов электровакуумного прибора - рентгеновской трубки.

Рентгеновские трубки подразделяются на ионные и электронные.

Ионные трубки были созданы на базе катодных трубок, где В.К. Рентген и обнаружил изучение, носящее его имя. В ионных стеклянных трубках поддерживается вакуум порядка 10^-3 мм.рт.ст., а между двумя электродами происходит движение заряженных частиц. Ускорителем этого движения является разность потенциалов между электродами. Она составляет величину от нескольких киловольт, до десятков и даже сотен киловольт.

В разряженном газе трубки всегда есть небольшое количество ионов, которые ускоряются электростатическим полем и летят к катоду. По пути своего движения, ионы дополнительно ионизируют газ, увеличивая количеств ионов и электронов.

Ионы, ускоренные полем, бомбардируют пластину катода, разогревают её и выбивают электроны. Те, в свою очередь, ускоряются полем и на большой скорости сталкиваются с материалом анода, от которого и наблюдается рентгеновское излучение. Принципиальное устройство рентгеновской ионной трубки представлено на рис 2.1.

Рисунок 2.1 – Принципиальное устройство ионной рентгеновской трубки.

Современная ионная трубка всегда является разборной, то есть по необходимости у неё можно заменять как катодную, так и анодные пластины.

Участок поверхности анода, на котором происходит торможение электронов, называется фокусом трубки. Чаще всего это небольшой участок анода круглой или прямоугольной формы. Площадь фокусного пятна может быть от нескольких мм² до нескольких мкм². Рентгеновские трубки с микронным фокусным пятном называются острофокусными. Чем меньше размер фокусного пятна трубки, тем выше качество получаемых рентгенограмм.

---

Для выхода рентгеновских лучей из трубки, в её корпусе имеются тонкие окна из листового бериллия.

Вольтамперная характеристика ионной трубки представлена на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Вольтамперная характеристика ионной рентгеновской трубки.

Как видно из рис 2.2 анодный ток, то есть ток протекающий между электродами, сильно зависит от разности потенциалов между катодом и анодом. Такая крутая параболическая зависимость является крупным недостатком ионной трубки, так как обе характеристики взаимно связаны между собой и при увеличении, например, напряжения растет ионизация газа, увеличивается концентрация заряженных частиц и, как следствие, возрастает ток.

А если еще учесть нестабильность вакуума в трубке и зависимость анодного тока от его величины, неудивительно, что эти трубки не получили широкого применения в рентгенографии.

В электронных трубках свободные электроны получаются за счет разогрева специальной катодной спирали. Миниатюрная вольфрамовая спираль нагревается от внешнего источника тока до температуры 2200 – 2500°С и вследствие термоэлектронной эмиссии становится источником свободных электронов.

Электроны ускоряются полем, летят к аноду, где и тормозятся. Учитывая тот факт, что свободный пробег электронов зависит от степени разряжения в пространстве между электродами, в электронных отпаянных трубках создается высокий вакуум – 10^-6 – 10^-7мм.рт.ст.

Принципиальное устройство электронной рентгеновской трубки приведено на рис.2.3

Рисунок 2.3 – Принципиальное устройство электронной рентгеновской трубки.

Вольтамперная характеристика рентгеновской трубки (Рис.2.4) существенно отличается от одноименной характеристики для

Рисунок 2.4 – Вольтамперная характеристика электронной рентгеновской трубки.

ионной трубки (Рис. 2.2). Здесь прежде всего обращает на себя внимание эффект насыщения анодного тока при определенном уровне высокого напряжения.

Это насыщение анодного тока свидетельствует о том, что при напряжении U_Н1 , все электроны, создаваемые спиралью, переносятся на анод. Если увеличить ток накала нити катода (i_H2), то произойдет повышение её температуры, а, следовательно, возрастает концентрация термоэлектронов, и, это, увеличит анодный ток i_a. Однако и здесь при напряжении U_H2 на зависимость i_af (U) будет площадка насыщения ( рис.2.4).

Большие тепловые нагрузки на анод электронной трубки и оба электрода ионной трубок приводят к их сильному разогреву и, если не применить искусственного охлаждения электродов, они

могут расплавиться. Поэтому электроды трубок охлаждают водой, маслом или воздухом.

Рентгеновские трубки относятся к одним из наименее экономичных приборов, их коэффициент полезного действия часто не достигает и одного процента.

С устройством рентгеновских трубок и аппаратуры, обеспечивающей их работу, можно познакомиться на лабораторно-практическом занятии.

---

2.2 ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ РЕНТГЕНОВСКИХЛУЧЕЙ

Для использования рентгеновского излучения в практике, необходимо знать его спектральный состав и факторы, под влиянием которых он изменяется.

Спектральный состав всякого излучения, например, видимого света, изучается с помощью специальных приборов - спектрометров. Однако использовать оптический спектрометр для анализа рентгеновского излучения оказалось невозможным. Чрезвычайно малые отклонения рентгеновских лучей при переходе из одной среды в другую, не позволяют использовать для этих целей стеклянные призмы, так как коэффициент преломления для рентгеновских лучей близок к единице.

Задача измерения длины волны рентгеновского излучения была решена лишь после того, как М. Лауэ обнаружил дифракцию рентгеновских лучей на монокристаллах каменной соли. Именно монокристаллы стали в дальнейшем естественной дифракционной решеткой для рентгеновских лучей.

В 1915 году отец и сын Брэгги использовали монокристалл каменной соли для измерения длины волны рентгеновского излучения. Прежде всего они теоретически нашли условие отражения рентгеновских лучей от атомных плоскостей кристалла. Представив кристалл как пакет взаимно параллельных атомных плоскостей и направив на поверхность этого пакета параллельный пучок рентгеновских лучей, они установили условие отражения в виде зависимости:

, (2.1)

где d – межплоскостное расстояние;

- угол, под которым падает на плоскость рентгеновский луч;

- длина волны излучения;

n - целое число.

Одновременно с Брэггами аналогичную формулу получил и московский кристаллограф Вульф. Поэтому данная формула (2.1) носит название формулы Вульфа – Брэгга. Вывод этой формулы будет сделан позднее.

Как видно из соотношения 2.1, длина волны может быть определена для условия отражения излучения под углом (зеркальное отражение от кристалла, имеющего известное межплоскостное расстояние – d). Для измерения Брэгги взяли монокристалл каменной соли NaCl, у которого можно было рассчитать величину d для условия параллельности поверхности скола и пакета атомных плоскостей.

Как было известно из кристаллографии, кристаллографическая решетка каменной соли может быть представлена как гранецентрированная кубическая внешнего вида, представленного на рис 2.5.

Рисунок 2.5 – Строение атомной решетки NaCl.

В структуре решетки NaCl половину узлов занимают атомы натрия N_Na, а другую половину N_Cl – атомы хлора. Кристаллическая решетка состоит из 8 кубиков c параметром - d. Поэтому можно записать вес такого кубика в виде:

(2.2)

где - плотность каменной соли (2,18 г/см³);

и - атомные веса натрия и хлора (23 и 35,46 соответственно);

- атомный вес атома водорода ( г).

Подставив все вышеназванные величины, в формулу 2.2 и решив уравнение относительно d, Брэгги получили d2,814.10⁸см.

---

Смотрите также файлы

• Теория вероятностей в заданиях и решениях.doc

• Инновационный мкенеджмент.doc

• 2011ЭВарМУ Стратан ФН-07заоч.doc

• Микроэкономика 1часть.doc

• Документ Microsoft Word.doc