РОЗДІЛ 4

ВЗАЄМОДІЯ ВИПРОМІНЮВАННЯ З АТОМНИМИ СИСТЕМАИ

в цьому розділі описується взаємодія електромагнітного поля з атомними системами. Розглядаються енергетичні рівні атомів та молекул. Вводиться таке поняття як матриця густини, яка використовується для аналізу атомних систем. Розглядаються також такі питання: атомна сприйнятливість, вимушені та спонтанні переходи, підсилення в середовищі з інверсною різницею населеностей, механізми розширення спектральної лінії, підсилення та насичення підсилення.

Лекція 8

Спонтанне та вимушене випромінювання. Поглинання

8.1. Енергетичні спектри атомів і молекул

Енергетичний спектр атома можна зобразити у відповідності до рис.8.1. Рівень – найнижчий рівень. З цього рівня атом не може випромінювати кванту світла. Цей рівень називається ще основним. В цьому стані атом може знаходитися нескінченно довго, якщо він не взаємодіє з іншими атомами чи квантами світла. Під впливом фотону з енергією атом може перейти в збуджений стан з енергією .

Рис. 8.1. Схематичне зображення дискретних енергетичних рівнів атома

Під впливом більшої енергії він може перейти з рівня на рівень або навіть вище. Рівні , , ..., визначаються експериментально по спектрах випромінювання чи поглинання або можуть бути розраховані засобами квантової механіки. Збуджений атом при переході з рівня на рівень випромінює з великою ймовірністю квант світла з енергією .

Коли атоми утворюють молекулу, то поряд з електронними рівнями утворюються електронно-коливальні рівні і електронно-коливально-обертальні рівні, які відповідають коливанням атомів в молекулі і обертанню молекул. Можливі рухи молекули показані на рис. 8.2, а енергетичні рівні на рис. 8.3.

Рис. 8.2. Двох атомна молекула та її обертальний та коливальні рухи

Обертання атомів (молекули) навколо осі створює довгохвильове випромінювання в дальній області інфрачервоного спектру. Коливання атомів (ядер) створює випромінювання в близькій ІЧ-області та в довгохвильовій області спектру. Частоти спектрів випромінювання молекул як і атомів утворюють ряд дискретних значень. Отже, енергія обертального, коливального руху молекул і енергія системи станів електронів квантується (рис.8.3).

Рис.8.3. Електронні, електронно-коливальні та електронно-коливальні-обертальні рівні енергій

Обертання атомів (молекули) навколо осі створює довгохвильове випромінювання в дальній області інфрачервоного спектру. Коливання атомів (ядер) створює випромінювання в близькій ІЧ-області та в довгохвильовій області спектру. Частоти спектрів випромінювання молекул як і атомів утворюють ряд дискретних значень. Отже, енергія обертального, коливального руху молекул і енергія системи станів електронів квантується (рис.8.3).

Здебільшого різниця між обертальними рівнями складає еВ, що відповідає Гц; різниця між коливальними рівнями рівна еВ, що відповідає частотам Гц, а різниця між електроними рівнями: еВ, що відповідає частотам: Гц.

---

8.2. Спонтанне і вимушене випромінюваненя; поглинання

Квантову електроніку можна визначити як розділ електроніки, в якому явища квантового характеру відіграють фундаментальну роль. В основі роботи лазера лежать три фундаментальні явища, які проходять при взаємодії електромагнітних хвиль з речовиною: а саме процеси спонтанного та вимушеного випромінювання і процес поглинання. Схематично ці процеси показані на рис.8.4.

Розглянемо в деякому середовищі два енергетичні рівні 1 і 2 з енергіями і . В наступному розгляді це можуть бути будь-які два з необмеженого набору рівнів, які властиві даному середовищу. Проте зручно прийняти рівень 1 за основний. Допустимо, що атом (або молекула) спочатку знаходиться в стані , що відповідає рівню 2. Оскільки , то атом буде старатися перейти на рівень 1. Отже атом повинен виділити відповідну різницю енергій . Тоді ця енергія звільняється у випадковий момент часу без спонук ззовні у вигляді електромагнітної хвилі.

Рис.8.4. Схематичне представлення трьох процесів: а) – спонтанне випромінювання, б) – індуковане (вимушене) випромінювання, в) – поглинання кванта світла.

Такий процес називають спонтанним випромінюванням. При цьому частота  випромінювання хвилі визначається формулою:

(8.1)

– постійна Планка,

Таким чином, спонтанне випромінювання характерезується фотоном з енергією (рис. 8.4а). Перехід може бути також безвипромінювальним шляхом. В цьому випадку надлишок енергії виділяється в якій небудь інші формі (фонон, кінетична енргія молекул). Ймовірність спонтанного випромінювання можна визначити наступним чином: Допустим, що в момент часу на рівні 2 знаходиться атомів (в одиниці об’єму). Швидкість переходу цих атомів внаслідок спонтанного випромінювання на нижній рівень пропорційна . Отже можна написати:

(8.2)

Множник характерезує ймовірність спонтанного вимірювання одним атомом в одиницю часу (1 сек) і називається коєфіцієнтом Айнштайна . (Вираз для вперше було отримано Айнштайном на основі термодинаміки). Величину називають спонтанним часом життя. Числове значення величини (і ) залежить від конкретного переходу, вимірюється експериментально і можна розрахувати засобами квантової механіки.

Допустимо знову, що атом спочатку знаходиться на верхньому рівні 2 і на речовину падає електромагнітна хвиля з частотою, яка визначається виразом (8.1). Оскільки частоти падаючої хвилі і спонтанного випромінювання рівні одна одній, існує певна ймовірність того, що падаюча хвиля визве перехід з рівня 2 на рівень 1 (2  1). При цьому різниця енергій виділиться у вигляді електромагнітної хвилі, яка додасться до падаючої. Це і є явище вимушеного випромінювання. Між процесами спонтанного і вимушеного випромінювання існує суттєва різниця. У випадку спонтанного випромінювання атом випускає електромагнітну хвилю, фаза якої не має ніякого зв’язку з фазою хвилі, що випромінюється іншим атомом. Більше того, хвиля спонтанного випромінювання може мати любий напрям поширення. У випадку вимушеного випромінювання, оскільки процес ініціюєються падаючоюю хвилею, випромінювання будь якого атому додається до цієї хвилі в тій же фазі. Падаюча хвиля визначає також напрямок поширення вимушеної хвилі. Процес вимушеного випромінювання також можна описати з допомогою рівняння:

---

(8.3)

де – швидкість переходу 2  1, – ймовірність вимушеного переходу.

Як і коефіцієнт з виразу (8.2) величина також має розмірність (час)^-1. Але ймовірність залежить не тільки від конкретного переходу, але і від інтенсивності порогової ЕМ-хвилі наступним чином:

, (8.4)

де – густина потоку фотонів у падаючій хвилі, – величина, яка має розмірність площі (називається перерізом вимушеного випромінювання) і залежить тільки від характеристик даного переходу.

Припустимо тепер, що атом спочатку знаходиться на рівні 1. Якщо це основний рівень, то атом буде знаходитися на ньому до цих пір, поки на нього не подіє яке небудь зовнішнє збурення. Нехай на речовину падає електромагнітна хвиля з частотою , яка визначається виразом (8.1). Тоді існує певна ймовірність того, що перейде на верхній рівень 2. Різниця енергій для переходу 1  2 береться з енергії падаючої хвилі. В цьому полягає процес поглинання. По аналогії з (8.3) ймовірність поглинання визначається рівнянням:

(8.5)

де – число атомів в одиниці об’єму, які даний момент часу находиться на рівні 1. Курім цього, так само як у виразі (8.4), можна написати:

(8.6)

де – деяка характерна площа (переріз поглинання), яка залежить тільки від конкретного переходу.

Необхідно відмітити, що , показав Айнштайн ще на початку нашого століття. Це означає, що ймовірності вимушеного поглинання і випромінювання рівні одній. Тому можна писати:

Число атомів в одиниці об’єму, що знаходиться на даному енергетичному рівні, будемо називати населеністю цього рівня.

8.3. Форма спектральної лінії (класична фізика)

При відсутності зовнішнього випромінювання кількість атомів зменшується на рівні 2 згідно закону:

Розв’язавши це диференціальне рівняння, маємо:

(8.7)

По такому ж експотенціальному закону повинно зменшуватися з часом свідчення газу збуджених атомів. Радіаційне вгамування коливань класичного осцилятора формально описується таким же рівнянням. Нехай напруженість поля в хвилі, яка випромінюється затухаючим осцилятором, міняється за законом:

(8.8)

Знайдемо спектр випромінювання, причому для зручності обчислень врахуємо, що

.

(8.9)

Розглядаючи дійсну частину цієї функції бачимо, що вона має два максимуми в точках і . При максимуми дуже гострі і тільки в околі цих піків функція помітно відмінна від нуля. Це відноситься як до дійсної так і до уявної частини. Тому для в області позитивних частот, яка нас цікавить, вкладом другої складової у (8.9) можна знехтувати. В результаті для спектральної густини енергії випромінювання затухаючого осцилятора у випадку слабого вгамування знаходимо:

(8.10)

Форма спектральної лінії, що описується виразом (8.10) називається лоренцівським контуром (рис.8.5).

Рис.8.5. Форма спектральної лінії, яка описується лоренцівським контуром

---

Тобто поблизу частот власних коливань інтенсивність випромінювання зменшується вдвоє для частот, які відрізняються від на Звідси для ширини лінії на половині висоти знаходимо Це означає, що чим менша тривалість процесу випромінювання, тим ширший спектр частоти, тим більше розмитий рівень , що не суперечить принципу невизначенності Гейзенберга (лекція 2):

отже

Розглянутий приклад дозволяє оцінити зумовлену радіаційним затуханням ширину спектральних ліній випромінювання вільних атомів. Так як час життя збудженного стану складає близько с, то для природної ширини отримуємо Гц, що відповідає нм. Так як то таке світло називається квазімонохроматичним.

8.4.Коефіцієнт Айнштайна

Середнє число переходів з основного стану в збуджений за проміжок часу від до пропорційно числу атомів в основному стані:

(8.11)

де – коефіцієнт Айнштейна, – спектральна густина енергії поля.

Число вимушених переходів за проміжок часу від до пропорціонально спектральній густині енергії на частоті переходу, числу атомів у збудженому стані і деякому коефіцієнту , що характерезує ймовірність переходу. З врахуванням спонтанного випромінювання повне число переходів за із збудженого стану в основний рівне:

(8.12)

В стані термодинамічної рівноваги необхідно прирівняти праві частини виразів (8.11) і (8.12) та врахувати, що населеності рівнів і зв’язані співвідношенням Больцмана:

(8.13)

Отже

(8.14)

При (дуже висока ) Отже Коефіцієнти і залежать тільки від властивостей атома і не залежать від зовнішніх умов. Тому рівність отримана при , справедлива завжди, в тому числі і при відсутності теплової рівноваги. При довільній температурі з врахуванням того, що , з рівності (8.14) отримуємо:

або:

. (8.15)

Цей вираз співпадає з формулою Планка при Таким чином всі три коефіцієнти Айнштайна ( ) зв’язані між собою, причому

Лекція 9

Ймовірності вмушеного випромінювання та поглинання

9.1. Поглинання і вимушене випромінювання.

Для обчислення ймовірностей поглинання і вимушеного випромінювання будемо використовувати напівкласичний підхід для опису взаємодії випромінювання з речовиною. В такому підході атомна система передбачається квантовою ( і, отже, описується законами квантової механіки), а електромагнітне поле падаючої хвилі описується класичним методом (тобто з допомогою рівняння Максвела). Спочатку розглянемо поглинання. Розглянемо звичайну двохрівневу систему і виразимо власні функції двох станів як і Допустимо, що електромагнітна хвиля починає взаємодіяти з атомои в момент часу Отже, в даний момент атом часу може бути описаний власною функцією Гамільтоніан атома можна записати у вигляді:

, (9.1)

де: – гамільтоніан атома при відсутності ЕМ-поля, а - гамільтоніан, що описує взаємодію атома з ЕМ-хвилею.

---

Для стаціонарних станів маємо:

(9.2)

Щоб обчислити хвильову функцію атома в будь який момент часу, необхідно розв’язати нестаціонарне рівняння Шрединґера:

(9.3)

З врахуванням впливу ЕМ-хвилі хвильову функцію атома можна записати у вигляді:

(9.4)

де i – залежні від часу комплексні змінні.

В квантовій механіці постулюється, що коефіцієнти і дають ймовірності того, що в момент часу атом буде знаходитися відповідно в стані 1 або в стані 2.

Це підтверджується тим, що оскільки а хвильові функції і ортогональні, то

В загальному випадку, коли розглядаємо багаторівневу систему замість (12.3), треба писати: .

Підставимо (9.4) в (9.3), внаслідок отримаємо (дальше над оператором Гамільтона ми не будемо ставити “дашок”):

або

(9.5)

Враховуючи (9.2), (9.5) приводиться до виду:

, (9.6)

тут

Помножимо обидві частини рівняння (9.6) послідовно на і , проінтегруємо по об’єму. Оскільки тобто і ортогональні , то рівняння розпадеться на два рівняння:

(9.7)

,

і які повинні розв’язуватися при початкових умовах (ми розглядаємо поглинання). До цих пір ми не робили ніяких наближень. Щоб спростити процедуру розв’язку рівнянь (9.7) скористаємося методом збурень. Допустимо, що в правій частині рівнянь (9.7) можна наближено написати: Після цього знайдемо і . По цій причині ця теорія називається теорією збурення першого порядку. Розв’язки отримані таким чином і підставимо у праву частину рівнянь (9.7), щоб найти наближення другого порядку і т.д. Отже, в наближенні першого порядку рівняння (12.7) запишуться у вигляді:

(9.8а)

(9.8а)

Щоб обчислити ймовірність переходу достатньо розв’язати лише (9.8б). Для цього допустимо, що падаюча ЕМ-хвиля описується синусоїдою з частотою . Таким чином можна написати:

(9.9)

Підставляємо (9.9) в (9.8б) і проінтегруємо по часу

(9.10)

Ми бачимо, що при перший член в фігурних дужках набагато більший ніж другий, тому можемо написати:

(9.11)

Таким чином:

(9.12)

На рис.9.1 показана функція в залежності від Видно, що при збільшенні часу відповідна крива стає більш вузькою і більшою по величині. З математики відомо, що

Для достатньо великих часів : (Через позначена –функція Дірака). Звідси отримуємо:

(9.13)

Рис. 9.1. Функція в залежності від

Цей вираз показує, що для достатньо великих інтервалів часу ймовірність знайти атом в момент часу на рівні 2 пропорціональну самому часу . Отже, ймовірність визначається виразом:

(9.14)

Для остаточного визначення ми повинні обчислити величину . Якщо допустити, що перехід викликається взаємодією між електричним полем ЕМ–хвилі і електричним дипольним моментом атома (електрична дипольна взаємодія), то можна написати:

(9.15)

– заряд електрона, – його координата .

Для спрощення допустимо, що початок нашої системи відліку ( ) співпадає з атомним ядром. Таким чином:

---

Смотрите также файлы

• шпоры по ТГП.doc

• КП по ТВЗ арина.doc

• Fin_rinok_testi.doc

• Репневский А.В. русский язык.doc

• комплекс плеер.docx