(11.32)

Від рівняння (11.28) віднімемо (11.31), отримаємо:

(11.33)

З (11.32) визначимо і підставляємо в (11.33). З (11.30) визначаємо і підставляємо в (11.33):

(11.34)

(11.34)

(11.35)

Маючи (11.35) можна визначити з (11.32):

(11.36)

В формулах (11.35) і (11.36) частота нутації З (11.35) підставляємо в (11.30), будемо мати:

(11.37)

Макроскопічна (змінна) поляризація у відповідності (11.27) отримуємо:

(11.38)

. (11.39)

Тоді різниця населеностй в одиниці об’ємуна основі виразу (11.37):

, (11.40)

де – різниця населеностей у відсутності поля.

Якщо скористатися позначенням спприйнятливості , то

(11.41)

то порівнявши (11.41) з (11.39), отримаємо:

(11.42)

Введемо в розгляд нормовану функцію форми лінії

(11.42а)

де – ширина на рівні половини від максимуму.

Очевидно, що функція пропорційна поглинанню, – зміні показника заломлення під впливом накачування, отже: Вид цих функцій представлений на рис. 11.2.

Рис.11.2 Дійсна () і уявна () частини сприйнятливості при нехтуванні насиченням

Функція , що визначена за формулою (11.42) описує нормовану лоренцеву форму лінії. Постійна нормування знаходиться з умови

11.3. Насичення.

Один з наслідків, що витікає з виразів (14.28), (14.29) і (14.31) полягає в тому, що різниця населеностей , а також , зменшується з ростом інтенсивності поля з амплітудою Це явище, що називається насиченням, стає замітним при , але оскільки , то при умові:

. (11.43)

Другим наслідком ефекту насичення полягає в розширені лоренцової лінії від при нульовому полі до

(11.44)

11.4. Фізичне проявлення сприйнятливості

Вектор електричної індукції визначений, як

.

В поляризації виділений компонент , який обумовлений атомним переходом і який нас найбільше цікавить, і нерезонансний компонент , який описує всі інші вклади в поляризацію. Останнє співвідношення можна переписати у вигляді:

(11.45)

. (11.46)

Таким чином ми врахували вплив атомних переходів, видозмінивши у відповідності до (11.46). В якості прикладу розглянемо поширення плоскої хвилі в середовищі з діелектричною проникністю :

(11.47)

де

Виділяючи в дійсну і уявну частину приходимо до виразу:

(11.48)

Підставивши (11.48) в (11.47) отримаємо, що при наявності резонансного переходу поширення хвилі описується виразом:

(14.49)

Резонансна поляризація впливає на поширення електромагнітної хвилі так, що набіг фази на одиницю довжини стає рівним , де а амплітуда міняється з відстанню за законом де а інтенсивність хвилі: або Якщо для використаємо вирази (10.1в), (11.40), (11.42), то матиме вид: В залежності від знаку буде підсилення або поглинання хвилі.

Лекція 12

Показник підсилення та його частотні залежності

12.1. Переходи між виродженими рівнями

Нехай верхній рівень — кратно вироджений або розщеплений на близьких рівні, вся сукупність яких має ширину, набагато меншу ніж Нехай рівень 1 також вироджений з кратністю Розглянемо переходи між вказаними групами рівнів. На відміну від переходів між двома одиничними рівнями, ймовірність спонтанного переходу з 2 на 1 збільшується в цьому випадку в раз (число кінцевих станів в порівнянні з виразом (10.2), тобто

---

Ймовірність вимушеного переходу з 2 на 1 також збільшується в раз, отже отримаємо

_(12.1)

Ймовірність вимушеного переходу (поглинання) з 1 на 2 збільшується в порівнянні з невиродженим випадком в раз (число кінцевих станів)

Тким чином, ймовірність переходу вниз визначається таким же виразом, що і в невиродженому випадку, в той же час як ймовірність переходу уверх множиться на коефіцієнт Повні ймовірності вимушених переходів вверх і вниз в цьому випадку уже не рівні одна одній.

12.2. Показник підсилення

Розглянемо проходження монохроматичної хвилі частоти через середовище, що складається з атомів. Густина атомів, що находяться на рівні 2, позначимо через (атомів /м³), а що знаходяться на рівні 1 — через (атомів/м³). Перевищення числа переходів 2  1 над переходами 1  2 приводить до потужності індуктивного випромінювання в одиниці об’єму.

(12.2)

Спонтанними переходами тут нехтуємо. Враховуючи (12.2) маємо:

(12.3)

Допускаючи, що ця потужність поступає в індуковану хвилю, знаходимо, що хвиля наростає у відповідності з рівнянням:

(12.4)

в якому

(12.5)

Дуже часто в літературних джерелах приведено залежність показника підсилення від частоти . В цьому випадку рівне:

(12.5а)

де і є нормованою на одиницю. Слід пам’ятати, що Отже

Коли і не залежать від , а це має місце, коли накачування однорідне і ефектом насичення можна знехтувати, інтенсивність хвилі експотенціально наростає

(12.6)

Цей же експотенціальний закон уже був найдений в лекції 11.

12.2. Однорідне і неоднорідне розширення лінії

Термін “розширення” відображає той факт, що атомні системи відкликаються на дію електромагнітного поля в скінченній смузі частот. Розширення проявляється, наприклад, в залежності поглинання чи підсилення від частоти. Розрізняють два два основних класи механізмів розширення.

Однорідне розширення. В цьому випадку атоми не розрізняються і мають однакову енергію переходу Причинами однорідного розширення є: непружні зіткнення з фононами або іншими атомами ( або молекулами); переходи на інші рівні — це можуть бути спонтанні випромінювальні або безвипромінювальні переходи; пружні зіткнення, що збивають фазу; взаємодія атома з електромагнітним полем (розширення внаслідок насичення). Випадок однорідного розширення був розглянутий в лекції 11, де отримана лоренцівська крива відгуку системи:

(12.7)

ширина якої залежить від (інтенсивності хвилі):

(12.8)

де – характерний час, за який порушується когернтність між станами атомів, який визначається співвідношення: Сумування передбачається по всіх процесах, які порушують когерентність взаємодії атомів з полем.

Неоднорідне розширення. В цьому випадку атоми не зовсім ідентичні і розширення є наслідком неспівпадання індивідуальних резонансних частот переходів. Прикладами систем з неоднорідним розширенням служать домішкові атоми в твердотільних матрицях і молекул в газах низького тиску.

---

В першому прикладі рівні енергії, а, отже, і частоти переходів залежить від найближчих сусідів кожного атома. Випадкові деформації, які завжди мають місце, та інші типи дефектів кристалічного гратки змінюють це оточення від іона до іона, що приводить до розкиду частот переходів.

В іншому випадку частота переход атому (чи молекули) зсунута через ефект Доплера, викликаного певною швидкістю руху атома:

(12.9)

де – складова швидкості вздовж напрямку, що звязує спостерігача з рухомим атомом; с – швидкість світла; – частота, що відповідає нерухомому атому.

Розподіл за швидкостями сукупності атомів з масою , що знаходяться в рівновазі при температурі визначається функцією Максвела:

. (12.10)

Величина визначає долю атомів, – компонента швидкості яких знаходиться в інтервалі , а і – компоненти в інтервалах і , відповідно. Можна також розглядати як апріорну ймовірність того, що кінець вектора швидкості довільного атома попаде в просторі швидкостей в елементарний об’єм з центром в точці , так що

(12.11)

У відповідності до (12.9) – ймовірність попадання частоти переходу в інтервал рівнf ймовірності того, що знаходиться між і незалежне від значень і (коли , то частота з врахуванням доплерівського зсуву рівна при будь-яких , ). Таким чином ця ймовірність отримується підстановкою в і наступним інтегруванням по всіх значеннях і .

(12.12)

Користуючисьт табличним інтегралом: отримуємо з (12.12) після ряду математичних перетворень вираз для нормованої доплерівської форми лінії

(12.13)

Функціональна залежність у (12.13) називається гасовою. Ширина лінії визначається як інтервал між частотами, в яких функція зменшується до половини максимального значення. З (12.13) випливає, шо

(8.14)

де індекс означає, що мова іде про доплерівське розширення. Користуючись (8.14) вираз для можна написати у вигляді:

(8.15)

12.3.Насичення підсилення в системах з однорідним і неоднорідним розширенням

Суттєва різниця між системами з однорідним і неоднорідним розширенням проявляється в характері їх насичення. Зокрема, коли такі системи використовуються в якості активних середовищ, то їх підсилення падає з ростом інтенсивності поля. Розглянемо обидва ці випадки

Однорідне розширення. В цьому випадку насичення підсилення викликано зменшенням різниці населеностей з ростом поля. Коефіцієнт підсилення визначається виразом:

(12.16)

де

(12.17)

• нормована функція форми лінії. Вираз для густини різниці населеностей визначється формулою:

, (12.18)

де Підставимо (10.1в), (12.17) і (12.18) в (12.16), будемо мати:

_(12.19)

де – крива ненасиченого підсилення ( ); (Вт/м²) – інтенсивність поля, що визначається співвідношенням і – та інтенсивність, для якої на частоті підсилення вдвоє менша в порівнянні зі значенням при нулевій інтенсивності. Вона називається “інтенсивністю насичення” і виражається формулою:

---

(12.20)

В цій формулі відсутній фактор виродження , оскільки від входить у вираз . Час релаксації інверсної різниці населеностей , який фігурує в багатьох співвідношеннях, в багатьох випадках співпадає з часом життя верхнього лазерного рівня, яке помимо спонтанного випромінювання, визначається і іншими факторами. Розглядаючи вираз (12.20), зауважимо, що інтенсивність насичення обернено пропорційна , тому чим більше відхилення від центру лінії, тим важче досягнути насичення.

Неоднорідне розширення. В спектрально неоднорідних системах кожний атом має свою частоту переходу Так середовище можна уявити, що складається з групи атомів, виділених по ознаці центральної частоти переходу Введемо функцію таку, що є апріорна ймовірність попадання центральної частоти атома в інтервал між і . Нормовочне співвідношення:

(12.21)

означає, що частота переходу атома з достовірністю лежить в інтьервалі .

Атоми, що входять у групу , вважаються спектральнооднорідними з функцією форми лінії ,що задовільняє умові нормування:

(12.22)

Можна визначити форму лінії переходу , розглядаючи як апріорну ймовірністьтого, що частота спонтанного випромінювання лежить між і . Це визначення приводить до формули:

(12.23)

зміст якої полягає в тому, що повна ймовірність випромінювання фотону з частотою, що лежить між і , рівна — ймовірність випромінювання такого фотона атомом групи , просумованої по всіх групах. Якщо (атом/см³) — повна ненасичена різниця населеностей, то доля атомів, що утворюють однорідную групу, рівна і вклад тільки тієї групи в показник підсилення на частоті складає згідно (12.19) величину

_(12.24)

де З визначення показника підсилення випливає, що вклади різних груп в адетивні (додаються), завдяки чому

_(12.25)

В цьому полягає основний результат.

В якості першої провірки формули (15.26) розглянемо випадок, коли тобто ефектом насичення можна знехтувати. З врахуванням (12.23) формула (12.25) зводиться до формули:

тобто співпадає з (12.19) при . Таким чином, вирази , що описують підсилення в системах з однорідним і неоднорідним підсиленням співпадають при відсутності насичення.

Допустимо тепер, що атоми, які складають групу , не відрізняються, тобто їм відповідає однорідна лінія, форма якої описується формулою:

(12.26)

Величу можна назвати шириною однорідної складової неоднорідної лінії. Для групи атомів, частота яких знаходяться всередині інтервала , часто використовують термін “однорідний пакет”. Підстановка (12.26) в (12.25) дає наступний результат:

(12.27)

В граничному неоднорідному випадку ширина функції набагато більша ширини решту підінтегрального виразу (12.27), завдяки чому практично не міняється в області інтегрування. Можна вивести за знак інтеграла в (12.27) і отримаємо:

(12.28)

Використовуючи табличне значення при інтегруванні (12.28) отримаємо:

---

(12.29)

де

(12.30)

— насичуюча інтенсивність неоднорідної лінії. З порівняння виразів (12.29) і, (12.30) з (12.19) і (12.20) випливають дві суттєві різниці в картині насичення однорідних і неоднорідних систем.

1. Неоднорідна система насичується повілніше, про що відчить квадратний корінь в формулі (12.29). Походження такої закономірності можна пояснити наступним чином: хоча інверсія в однорідному пакеті зменшується ростом у відповідності до формули (12.19), але це зменшення частково компенсується тим, що з ростом у взаємодію захоплюється все більше число груп, оскільки однорідна лінія розширюється по формулі (12.8).

2. Насичуюча інтенсивність не залежить від частоти випромінювання, якщо лінія неоднорідного розширення і частота попадає в границі лінії. Дійсно формула (15.30), що визначає для неоднорідної лінії не містить на відміну для однорідної лінії (12.20).

12.4. Випалювання провалів.

Щоб краще відчути різницю в поведінці принасиченні середовищ з однорідним і неоднорідним розширенням, розглянемо наступний випадок. На середовище одночасно діють сильне поле з частотою і дуже слабий сигнал з частотою . Вимірюється показник підсилення Треба знайти форму лінії підсилення для однорідного і неоднорідного середовищ. Схема уявного експерименту наведена на рис.2.1.

Рис.12.1. Схема уявного експерименту

Розглянемо однорідний випадок. Підсилення на частоті згідно (12.16) має значення:

(12.31)

де – різниця населеностей в присутності сильного поля на частоті . Взявши її значення з формули (12.18)

(12.32)

де – амплітуда сильного поля з частотою , а ненасичена лінія підсилення ( ), Основний результат полягає в тому, що має тут залежність від частоти, що і , але зменшене по величині на множник, що знаходиться в формулі (12.32) в квадратних дужках.

При наявності середовища з неоднорідним розширенням ситуація стає складнішою. Перепишемо (12.25) використовуючи (12.26) у такій формі:

Підінтегральний вираз пропорційний вкладу – го однорідного пакету з підсиленням на частоті Отже вираз у квадратних дужках показує, як зменшується цей вклад через насичуюче поле на частоті Таким чином підсилення слабкого пробного сигналу з частотою в присутності насичуючого поля з частотою рівне ненасиченому підсиленню , помноженому на фактор локального ослаблення

_(12.33)

Головна особливість (12.33) полягає в тому, що практично всюди співпадає з , за виключенням області поблизу частоти насичуючого поля ширина якої приблизно рівна

(12.34)

Показник підсилення на частоті зменшується в ( ) раз. Інтенсивність насичення визначається по формулі (12.30). Вказану область зменшеного підсилення здебільшого називають “проволом”, або провалом Лемба, а описане явище — випалюванням провалу. Профіль лінії підсилення пробного сигналу наведений на рис.12.2а для середовища з однорідно розширеною лінією, а нарис.12.2б — з неоднорідно розширеною лінією.

---

Смотрите также файлы

• шпоры по ТГП.doc

• КП по ТВЗ арина.doc

• Fin_rinok_testi.doc

• Репневский А.В. русский язык.doc

• комплекс плеер.docx