(9.16)

Довжина хвилі, що випромінюється чи поглинається атомом, набагато більша розмірів атома , розмір атома . Тому можна винести з під знаку інтегралу і використати її значення в точці , тобто в центрі ядра (електричне дипольне наближення). Таким чином:

. (9.17)

Тоді з виразів (9.15), (9.6), (9.17) маємо:

де величина

(9.18)

називається матричним елементом електричного дипольного моменту. Якщо через позначити кут між вектором і , то

(9.19)

Якщо ЕМ – хвиля взаємодіє з декількома атомами, вектори орієнтовані відповідним чином відносно вектора , то середнє значення величини отримується усередненням виразу (9.19) по всіх можливих значеннях Відомо, що коли будь-який з кутів рівноймовірний, то отже:

(9.20)

Проте можна також ввести поняття

Замість того, щоб функцію записувати через зручніше представити її у вигляді функції інтенсивності падаючої електромагнітної хвилі. Для плоскої хвилі маємо:

(9.21)

де – показник заломлення атомної системи, – швидкість світла у вакуумі, – діелектрична стала вакууму.

З (9.14), (9.20), (9.21) остаточно отримуємо:

. (9.22)

Корисно мати вираз для в залежності від густини енергії падаючого електромагнітного випромінювання. Оскільки то з (9.21) і (9.22) отримуємо:

. (9.23)

Результати згідно формул (9.22) і (923) в нас не дуже сприйнятливі, оскільки в цих формулах присутня – дельта-функція Дірака, згідно якої коли Фізично так не може бути тому, що реальні атоми рухаються, зіштовхуються між собою, що міняє напрям руху атома та може змінити його енергетичний стан, тому не може бути великим, як ми прийняли у формулі (9.13). У цьому випадку когерентна взаємодія порушується. В системі відліку, зв’язаній з атомом, у нас буде не монохроматична хвиля з частотою , а буде така, як намальовано на рис.9.2, очевидно спектр такого випромінювання буде відмінний від дельта-функції Дірака.

В тому випадку, якщо для інтенсивності хвилі в частотному інтервалі від до написати співвідношення , то з (9.22) можемо написати:

(9.24)

Середній час між зіткненнями В такому випадку де –інтенсивність хвилі, а рівна:

(9.25)

– частота сигналу синусоїдальної частини (рис.9.2). Для справедливе співвідношення:

(9.26)

Рис. 9.2. Часова залежність електричного поля електромагнітної хвилі в системі координат атома, що зіштовхується з іншими атомами

Підставивши (9.25) в (9.24) з врахуванням, що маємо:

(9.27)

де Таким чином, ми отримали вираз аналогічний (9.22), але функція замінена на функцію , яка показана на рис. 9.3. Цю криву називають лоренцівcькою кривою. Вона має максимум при Повна ширина кривої між точками, що відповідає половині максимального значення, рівна

Рис.9.3. Лоренцівська крива

В загальному випадку ймовірність завжди можна записати у вигляді виразу:

---

(9.28)

де – нормована функція, конкретний вигляд якої залежить від механізму розширення ліній. Вираз (9.28) можна переписати через густину енергії хвилі:

(9.29)

Розрахунок ймовірності вимушеного випромінювання виконують аналогічним чином, починаючи з рівняння (9.7) та використовуючи початкові умови: . Отримуємо подібниі співвідношення, виведені для поглинання, лише індекси будуть переставлені 1 2; 21. Оскільки з (9.18) випливає, що , то отримаємо:

. (9.30)

Це говорить про те, що ймовірність поглинання і випромінювання рівні одна одній. Отже:

З рівняння (9.29) випливає, що , коли А це буде в тому випадку, як випливає з (9.18), якщо функції i або обидві симетричні відносно або обидві антисиметричні. Якщо і то замінюючи знак на маємо:

Звідси випливає, що і є власними функціями оператора одним і тим же власним значенням . Таким чином, якщо симетричний, його власні функції повинні бути або симетричними або антисиметричними Для ізольовано атома иметричний. Для гармонічного осцилятора – симетричний, тому –симетрична, – антисиметрична, – симетрична і так далі (лекція 3).

В кристалі симетрія порушується за рахунок внутрішнього поля кристалу. Якщо то відповідний перехід називається забороненим в наближені електричної дипольної взаємодії. Але це не означає, що атом не може переходити з рівня 1 на рівень 2 під дією падаючої електромагнітної хвилі. В цьому випадку перехід може пройти в результаті взаємодії між магнітним полем хвилі і магнітним дипольним моментом атому. Очевидно, що величина тепер буде іншою. Необхідно сказати, що магнітні дипольні переходи дозволені між станами з однією і тією ж парністю (між двома парними або двома не парними станами). де – амплітуда магнітного поля електромагнітної хвилі, – магнітон Бора ( А·м²). – радіус атома, – швидкість світла. Для отримання цього числового результату ми використали той факт, що для плоскої хвилі , і допустили, що Ми бачимо, що ймовірність електродипольного переходу набагато більша ймовірності магнітодипольного. Це, по суті, обумовлено тим, що енергія електродипольної взаємодії набагато переважає енергію магнітодипольної взаємодії.

Лекція 10

Спонтанне випромінювання та зв’язок між коефіцієнтами Айнштайна

13.1. Спонтанне випромінювання.

Напівкласичне наближення не дозволяє точно передбачити і зрозуміти явище спонтанного випромінювання. Для цього потрібен повністю квантовий підхід. Якщо розв’язати цю задачу з використанням квантового підходу до ЕМ – поля і до атома, то ми найдемо, що час життя верхнього рівня (рівня 2), характерний час, який ще називають спонтанним (радіаційним ) часом життя рівня 2:

(10.1а)

де визначається за формулою (9.18) лекції 9, – діелектричність середовища, – показник заломлення середовища. Проте досить часто важко розрахувати теоретично, але його можна виміряти експериментально, і, отже, можна розрахувати за значенням експериментально виміряного . Таким чином:

---

(10.1б)

(10.1в)

Ймовірність спонтанного випромінювання рівна:

. (10.2)

Вирази (9.29) і (9.30) ми можемо переписати, виразивши через згідно (10.1б), у такій формі:

Відмітимо, що росте як куб частоти і, отже, вклад спонтанного випромінювання в загальне випромінювання швидко росте з частотою. В мазерах (НВЧ діапазоні) цей процес дуже малий, в той час як в лазерах (тобто в оптичному діапазоні) цей процес дуже суттєвий. В оптичному діапазоні порядок величини можна оцінити, вважаючи наприклад, що см, і де – атомний радіус ( см). Таким чином отримуємо с^-1. Для магнітних дипольних переходів приблизно в 10⁵ разів менше, тобто складає приблизно с^-1.

10.2. Зв’язок між коефіцієнтами і .

В лекції 8 було виведено співвідношення між коефіцієнтами з точки зору термодинаміки і доказано, що

(10.3)

Співвідношення (10.3) показує, що ймовірністі поглинання і вимушеного випромінювання, зумовлені випромінюванням чорного тіла, рівні одне одному. Це співвідношеня аналогічно тому, що було встановлено зовсім іншим шляхом для випадку монохроматичного випромінювання (див. (9.30) лекції 9). Співвідношення (10.3) дозволяє обчислити коефіцієнт коли коефіцієнт відомий і навпаки. Коефіцієнт не важко знайти з виразу (9.29), яке справедливе для монохроматичного випромінювання. Густина енергії випромінювання чорного тіла, частота якого знаходиться в межах від до , можна записати як . Якщо допустити, що таке випромінювання замінюється монохроматичною хвилею такої ж потужності, то відповідна елементарна ймовірність переходу отримується з виразу (9.29) заміною на . Інтегруючи цей вираз в припущенні, що в межах неміняється, і можна винести з під знаку інтегралу з врахуванням (9.26), отримуємо:

(10.4)

отже (10.5)

З формули (10.3) знаходимо:

(10.6)

що співпадає з виразом (10.2).

Відмітимо, що проведений розрахунок є коректним з точки зору квантової електродинаміки, оскільки в ньому використано тільки термодинвмічний підхід (лекція 8). Представляється цікавим дослідити спектральний склад (спонтанного) випромінювання. Для цієї мети визначимо коефіцієнт таким чином, що вираз дасть число атомів в одиницю часу, які в процесі релаксації випромінюють фотон з частотою, що лежить в інтервалі . Очевидно, що

(10.7)

Аналогічно визначимо спектральний коефіцієнт таким чином, що дає число переходів в одиницю часу, індукованих випромінюванням чорного тіла, і які мають частоту в інтервалі . Таким чином можна записати:

Поступаючи як в лекції 8 отримуємо:

(10.8)

З іншої сторони, коефіцієнт можна обчислити з виразу (9.29), якщо розглядати як коефіцієнт вимушеного випромінювання для монохроматичної хвилі. Таким чином з формул (9.29) і (10.5) маємо:

(10.9)

а з (10.8) маємо:

(10.10)

Остання формула показує, що спектр спонтанного випромінювання також описується функцією , іншими словами, це та ж сама функція, що і у випадку поглинання чи вимушеного випромінювання. З (10.10) слідує нова інтепритація функції : дає ймовірність того, що частота спонтанно або вимушеного випромінювання находиться в інтервалі    + d. Очевидно, що

---

Лекція 11

Матриця густини та сприйнятливість ансамбля атомів

11.1. Матриця густини

Для обрахунку фізичних величин квантових систем, що складаються з багатьох частинок (лазерне активне середовище) використовують матрицю густини. Нехай ансамбль складається з частинок, кожна з яких описується нормованою хвильовою функцією . Введемо набір ортонормованих власних функцій і розкладемо по них хвильові функції.

(11.1)

Розглянемо деяку фізичну величину , що характерезує систему і спробуємо знайти її значення у випадку ансамблю систем. Для кожного з членів ансамбля середня величина знаходиться по відомій хвильовій функції з допомогою формули:

(11.2)

Таке визначення середнього значення є наслідком статистичного характеру опису засобами квантової механіки. Якщо тепер провести усереднення по всьому ансамблю, то ми отримаємо очікуване значення спостережуваної величини для системи, що розглядаємо.

(11.3)

де

Поміняємо порядок сумування в формулі (11.3) і введемо матрицю густини, елементи якої ми визначимо наступним чином:

(11.4)

відмітимо, що порядок розміщення нижніх індексів в лівій частині зворотній в порівнянні з правою.

Тепер ми можемо представити (11.3) у вигляді:

(11.5)

або в матричній формі З визначення (11.5) видно, що матриця – ермітова

(11.6)

а також нормована на одиницю:

(11.7)

Для того, щоб вивести рівняння руху для матриці густини, допустимо, що хаильова функція атомів в ансамблі задовільняє рівнянню Шредінгера:

,

і може бути розкладена в ряд по власних функціях, що складають повний ортонормований набір: . Тут ми індекс поміняли на внаслідок отримаємо:

Помножимо останнє рівняння на та проінтегруємо по всьому об’єму, внаслідок отримаємо:

або

(11.8)

де

Через те, що оператор є ермітовий, можемо написати:

(11.9)

Помноживши (11.8) на , а (11.9) на і результати додамо, будемо мати:

Останній вираз усереднимо по ансамблю частинок (сума від до ):

або: , або в матричній формі:

(11.10)

де квадратні дужки і кома означають коммутатор.

11.2. Сприйнятливість ансамбля атомів

В цій лекції формалізм матриці густини буде використаний при виведені виразу для сприйнятливості ансамбля атомів, що взаємодіють з електромагнітним полем, яке гармонічно міняється в часі. Допустимо, що у взаємодії беруть участь тільки два рівні з енергіями і , як показано на рис. 11.1.

Рис. 11.1. Дворівнева атомна система, яка взаємодіє з електромагнітним полем випромінювання, частота якого Передбачається, що всі інші нерезонансні рівні (вони позначені штрихованими лініями) безпосередньо у взаємодії не беруть участіЖ їх присутність впливає на рівноважне значення населеності рівнів і .

Таке допущення можливе, коли частота ЕМ – поля задовільняє умові В цьому випадку матриця густини зводиться до матриці розміром з елементами Допустимо, щомає місце електродипольна взаємодія, якому вілповідає гамільтоніан:

---

(11.11)

де – паралельна полю компонента оператора дипольного моменту. Будемо покb вважати поле класичною змінною. Отже для оператора можемо написати:

(11.12)

Дальше ми будемо опускати дашок над операторами. Отже а

(11.13)

Діагональні елементи оператора рівні нулю: оскільки стани 1 і 2 володіють певною парністю (або обидва парні або обидва непарні). Фази власних функцій стану 1 і 2 можна вибрати так, Отже

Потрібно знайти середнє по ансамблю значення дипольного моменту атома , наведеного полем . У відповідністю з формулою (11.5):

(11.14)

Отже Матриця густини записується у представлені незбуреного оператора так, що базисні функції задовільняють рівнянню

Н₀_n =  _n _n . Для визначення потрібно розрахувати і . Отже виразів (11.12) і (11.13) отримуємо:

(11.15)

тому що . (11.16)

З умови нормування

(11.17)

(11.18)

(11.19)

(11.20)

Зверномося до рівняння (11.15). Після виключення збуреного поля величина повинна прямувати до нуля, оскільки фазова когерентність між власними функціями ансамбля виражається через удари (зіткнення) між членами ансамбля. В результаті буде релаксувати з часом . Такі зіткнення визначають ширину спектральних ліній, як було показано в лекції 9. Щоб включити в розгляд явище втрату фазової когерентності (зіткнення між частинками) рівняння (11.20) необхідно доповнити релаксаційним членом:

(11.21)

Дипольний момент матриці густини дає ймовірність знаходження атома в і – му стані. Якщо – густина атомів, то — (середня) густина різниці населеностей між двома рівнями. Позначимо рівноважне (при ) значення через і допустимо, що коли виключено, різниця населеностей релаксує до рівноважного значення з постійною часу Отже, (11.19) можна написати у вигляді:

(11.22)

Розглянемо тепер частковий випадок, коли з часом міняється по гармонічному закону.

(11.23)

З (11.22) випливає, що для незбуреної системи ( ) зручно користуватися новими повільно змінними і які вводяться співвідношенями:

. (11.24)

Підставимо (11.23) і (11.24) в рівняння (11.21) і (11.22), будемо мати:

(11.25)

(11.26)

При виведенні формули (14.25) зберігалися тільки члени, що мають часову залежність а при отриманні (11.26) — лише такі члени, що не мають експоненціальної залежності від часу, таким чином опущені доданки з часовою залежністю і . Нехтування несинхронними членами виправдано тому, що в середньому їх вклад за період рівний нулю. Якщо підставити (11.24) в (11.14), то отримаємо: а завдяки тому, що то можна написати:

(11.27)

Щоб знайти матрицю густини стаціонарного стану прирівняємо ліві частини рівнянь (11.25) і (11.26) до нуля . Будемо мати:

(11.28)

(11.29)

.

Підставляємо останню рівність в друге рівняння (11.29), будемо мати:

З останнього рівняння можна визначити

(11.30)

Напишемо до рівняння (11.28) комплексно спряжене:

(11.31)

Спочатку додамо рівняння (11.28) і (11.31), будемо мати:

---

Смотрите также файлы

• шпоры по ТГП.doc

• КП по ТВЗ арина.doc

• Fin_rinok_testi.doc

• Репневский А.В. русский язык.doc

• комплекс плеер.docx