Файл: ROZDIL_ 5.doc

де – число квантів у моді. В результаті маємо:

(14.22)

де

Розглянемо два основних роботи лазера:

Лазер нижче порогу генерації. Використаємо визначення порогу згідно виразу (14.15) Тоді з (14.13) Враховуючи цю обставину в (14.21) приходимо до наступного виразу для потужності випромінювання лазера нижче порогу самозбудження:

(14.23)

де

(14.24)

Таким чином, знайдено, що повна потужність спонтанного випромінювання нижче порогу генерації розподіляється більш-менш рівномірно серед мод, частоти яких подають в інтервал поблизу Результат у відповідності до формули (14.23) є доволі очевидним. З метою наступного спрощення звернемося до виразу для порогової інверсії (14.14а). З його допомогою перепишемо вираз (14.23):

(14.25)

Це співвідношення показує, що на порозі генерації ( ) потужність спонтанного випромінювання відповідає накопиченій енергії в один квант на моду.

Лазер вище порогу генерації. Тепер у виразі (4.21) потрібно вважати, що і Генеруючи потужність в цьому випадку буде сумою потужності спонтанного випромінювання (визначається формулою (14.25) при умові, що ) і потужності індукованого випромінювання (14.15):

(14.26)

Нехтуючи в останній формулі малим спонтанним членом , спостерігаємо як нижче порогу (14.25) так вище порогу лінійну залежність від швидкості накачування :

(14.27)

Тут використано вираз (14.14) для і (14.24) для

Інтерпретація виразу (14.27) досить проста і цікава. Розглянемо лазер, у якого У обох режимах роботи, як нижче порогу так і вище, повна потужність накачування перетворюється у випромінювання. В недозбудженому стані нижче порогу випромінювання розподіляється по модах (число їх ) у відповідності зі спектральними характеристиками переходу. Надлишкова енергія накачування над порогом перетворюється в одну моду (мова іде про ідеальний лазер на активному середовищі з однорідно розширеною лінією. Задавши типові значення величин: Гц, Гц, см³, отримаємо Великою різницею в нахилах кривих пояснюється той факт, що експериментальні похибки в області нижче порогу дуже великі. Теоретична залежність, побудована на основі виразів (14.25) і (14.26) наведена на рис. 14.4.

Рис.10.4. Потужність , що віддається атомами полю в резонаторі, як функція параметрів накачування. Нахил кривої вище порогу на багато порядків більший ніж нахил до порогу генерації. Для того щоб крива на приведеному графіку крива нижче порогу не злилася з віссю абсцис, її нахил збільшено в раз.

Крім різкого злому залежності вихідної потужності від накачування присутня суттєва різниця в спектрах випромінювання, що відносяться до різних режимів. Спрощено будемо вважати, що нижче порогу має місце шумовий спектр, такий же як і від широкосмугового джерела білого шуму після проходження через фільтр Лоренца. Ширина смуги випромінювання нижче порогу генерації

---

(14.28)

де – ширина кривої резонансного відгуку „холодного резонатора”. Вище порогу флуктуації інтенсивності суттєво слабнуть, а також шум, що обумовлений фазовими флуктуаціями в авто коливній системі. Ширина спектру випромінювання лазера в цьому випадку рівна:

(14.29)

Гігантський ріст , який супроводжує навіть незначне перевищення порогу, проявляється так, як це видно з формул (14.28) (14.29) у вигляді різкого звуження спектру. Перевищення порогу на 10% відповідає, наприклад звуженню спектру у разів.

Лекція 15

Релаксаційні коливання в лазерах

Релаксаційні коливання інтенсивності спостерігаються в більшості лазерів. Характерний період таких коливань значно перевищує час життя фотону в резонаторі і час обходу резонатора . Найчастіше цей період знаходиться в інтервалі мкс. Основним фізичним механізмом релаксаційних коливань є взаємодія генеруючого поля в резонаторі з активним середовищем. Зростання інтенсивності поля викликає зменшення інверсії населеностей внаслідок того, що збільшується ймовірність вимушених переходів. Це, в свою чергу, означає зменшення підсилення і приводить до зменшення інтенсивності поля випромінювання. При побудові математичної моделі цього явища будемо виходити з ідеалізованої моделі лазера з однорідно розширеним контуром підсилення. Допустимо також, що населеність нижнього лазерного рівня дуже мала, тобто виконується умова , і будемо рахувати густину інверсії Швидкість накачування на рівень 2 (атомів/м³с) рівна , а час розпаду стану 2 під дією любих причин, крім вимушеного випромінювання, рівний .Позначивши через ймовірність індукованого переходу на один атом, запишемо рівняння:

(15.1)

Ймовірність пропорційна інтенсивності поля а значить, і густині фотонів в резонаторі. Тому рівняння (15.1) можна переписати наступним чином:

(15.2)

де – коефіцієнт, який визначається співвідношенням: Оскільки це одночасно і ймовірність випромінювання фотону, маємо також рівняння:

(15.3)

Рівняння (15.2) і (15.3) описують взаємодію між полем випромінювання з густиною фотонів і активним середовищем з густиною інверсії По своїй суті отримали нелінійну систему диференціальних рівнянь, які неможливо розв’язати точно аналітично. Розв’язок можна отримати лише числовими методами. Перш за все зауважимо, що в стаціонарному режимі і справедливі співвідношення:

(15.4)

З (15.4) випливає, що при густина фотонів Позначимо це порогове значення накачування через і введемо фактор перевищення порогу що дозволяє записати друге із співвідношення (15.4) у вигляді

(15.5)

0

Розглянемо тепер поведінку системи при малому відхиленні від рівноваги, задавши Підставивши ці вирази у рівняння (15.2) і (15.3), використовуючи (15.4) і нехтуючи малими нелінійними членами типу (лінеаризаця рівнянь, допускаючи, що розв’язки дуже близькі до стаціонарного розв’язку), отримаємо:

---

(15.6)

(15.7)

Взявши похідну від (15.7), і підставивши в отриману рівність з (15.6) та використавши (15.4), приходимо до

(15.8)

або оперуючи фактором перевищення порога отримаємо:

(15.9)

Ми отримали рівняння гармонічного осцилятора з втратами. Запропонувавши його розв’язок у вигляді приходимо до характеристичного рівняння

яке має корені причому:

(15.10)

Отже, розв’язок лінеаризованого рівняння (15.9) має вигляд Вихідна потужність (вона пропорційна числу фотонів в резонаторі) має синусоїдальні затухання коливань з частотою і декрементом які зростають із збільшенням потужності накачування.

Передбачені теорією затухаючі гармонічні коливання інтенсивності, дійсно, спостерігаються у деяких лазерів, але часто коливання виявляються незатухаючими. Режим першого типу властивий лазеру на CaWO₄:Nd³⁺.

Приклад. Релаксаційні коливання. Задамо наступні значення параметрів лазера: с, c, і розрахуємо за формулою (15.10), отримаємо: с.

На рис. 15.1а представлені залежності зміни в часі і , якщо дані відповідають вище наведеному прикладу, а Ці графіки побудовані на основі числового розв’язку рівнянь (15.2) і (15.3) з врахуванням виразів (15.4) і (15.5) Такі залежності є типовими для твердотільних лазерів. Навіть незначне відхилення від і від рівноважних положень приводить до сильних осциляцій у величині тобто вихідної потужності, проте мало відхиляється від положення рівноваги. Випромінювання має пічкову структуру, що спостерігається для реальних лазерів. Якщо співмірне з часом життя фотонів в резонаторі (характерно для газових лазерів), то осциляції практично відсутні, і потужність випромінювання лазера досить швидко виходять на стаціонарний рівень, що демонструє рис.15.1б. Для даного випадку

Рис.15.1. Залежність інверсної населеності і густини фотонів в резонаторі в часі.

Дуже часто незатухаючі пульсації інтенсивності випромінювання лазерів, які спостерігаються можна пояснити, по крайні мірі, якісно, розглядаючи рівняння (15.9) . Воно, як відомо, співпадає по формі з рівнянням осцилятора без зовнішньої дії або RCL–контура. Незатухаючі коливання такого осцилятора виникають під дією зовнішньої сили. Одним із механізмів вимушеного розкачування пульсацій може бути швидкість накачування яка змінюється з часом. В даному випадку представимо накачування у вигляді

(15.11)

Відтворюючи виведення рівняння (15.6) і маючи на увазі рівняння (15.11) приходимо до видозміненого рівняння для інверсії . Тоді замість (15.9) отримаємо

(15.12)

Здійснивши фур’є-перетворення обох частин останнього рівняння, позначивши фур’є-образи величин i через і , відповідно, знаходимо

(15.13)

Зауважимо, що і співпадають з частотою та декрементом затухання перехідних пульсацій, які подаються формулами (15.10). Якщо припустити, що спектр вимушуючої сили однорідний (тобто подібний до спектру ”білого шуму”) поблизу частоти , то фур’є-спектр буде мати пік з вершиною на частоті і з шириною Крім того, якщо то можна очікувати, що в часовому представленні флуктуації інтенсивності будуть промодульовані з частотою

---

Зроблені висновки підтверджуються експериментальними результатами, які відносяться до лазерів різних типів. Резонансна природа відгуку проявляється також і в дослідах з модуляцією яких-небудь параметрів лазера на частотах близьких до . Внутрішня модуляція зв’язку на цих частотах звичайно відбувається у випромінюванні з сильними спотворення.

Лекція 16

Модуляція добротності

З точки зору багатьох прикладних задач більш важливим є імпульсний режим роботи лазера. В процесі генерації імпульсів енергія накачування, яка накопичилась в активному середовищі, може бути випромінена на протязі дуже короткого проміжку часу, в наслідок чого різко зростає пікова потужність. Це має вирішальне значення для таких технічних застосувань лазера, як оброблювання та зварювання матеріалів. Що стосується питання про використання дуже коротких лазерних імпульсів, то треба дослідити швидко протікаючі перехідні процеси, які тривають менше с. Ми детально розглянемо способи модуляції добротності і синхронізації мод, які використовуються для генерації коротких імпульсів.

16.1. Фізична суть методу модуляції добротності.

Метод модуляції добротності широко використовується для отримання інтенсивних коротких імпульсів генерації в лазерах. Принцип роботи лазера з модульованою добротністю полягає в наступному: добротність резонатора лазера знижується (тобто втрати збільшуються) на час накачування з тим, щоби коефіцієнт підсилення зріс до дуже великого значення, але не перевищив нового порога генерації. В цей період часу активне середовище накопичує енергію. Коли інверсія досягає свого максимального значення, добротність резонатора швидко відновлюється до попереднього високого значення. При цьому підсилення стає набагато вище порогового, що приводить до швидкого зростання поля випромінювання і одночасного скиду інверсії внаслідок індукованих переходів. В результаті значна частина енергії накачування, яку запасли збудженні атоми, перетворюється в енергію фотонів, що заповнюють резонатор. З кожним пробігом по резонатору при відбивання від дзеркал частина їх рівна просочується назовні. Спад інтенсивності за вершиною імпульсу визначається величиною втрат і проходить з постійною часу

Як з теорії, так з експерименту випливає, що процес випромінювання гігантського імпульсу триває близько с. На такому відрізку часу можна знехтувати релаксацією населеностей та дією накачування, для яких характерні часи значно більші. Будемо також вважати, що переключення добротності резонатора проходить миттєво.

Для опису процесу генерації можна використовувати в якості змінних: – повне число фотонів в резонаторі; – загальна інверсія; де – об’єм моди. Показник підсилення пропорційний Інтенсивність випромінювання зростає по мірі проходження активним середовищем по закону у відповідності з рівнянням Спостерігач, який рухається разом з хвилею, побачить зростання інтенсивності з швидкістю

---

звідки випливає, що інкремент зростання інтенсивності в часі дорівнює Якщо лазерний стержень має довжину а довжина всього резонатора тоді в кожний момент часу тільки частина фотонів має підсилення і усереднений інкремент є рівний Отже можна записати

(16.1)

де – число фотонів на одиницю часу, які покидають резонатор завдяки наявності внутрішніх втрат, а також виводу випромінювання через дзеркало. Коли перейдемо до безрозмірного часу рівняння (16.1) приймає вигляд

де – мінімальна величина показника підсилення, при якому ще підтримується генерація (тобто ). Так як пропорційна інверсії , то останнє рівняння можна записати у такій формі:

(16.2)

де – повна інверсія на порозі. Член у (16.2) визначає число фотонів, які генеруються за час , який прийнято в якості нової одиниці. Оскільки кожний фотон виникає в результаті індивідуального акту індукованого випромінювання, його поява супроводжується зменшенням повної інверсії на . Отже можна знову записати

(16.3)

Ці два останні рівняння разом описують зміну і в процесі генерації. Вони досить просто розв’язуються числовими методами. Але деякі результати можна отримати аналітично. Розділивши (16.2) на (16.3) приходимо до рівняння

інтегруючи яке, знаходимо

Вважаючи, що початкове число фотонів в резонаторі дуже мале, отримаємо

(16.4)

• співвідношення числа фотонів в резонаторі та інверсією в довільний момент часу. В межах густина фотонів перетворюється в нуль. Підставивши це значення в (16.4) приходимо до наступного виразу для інверсії , яка залишилася після генерації імпульсу:

(16.5)

Це рівняння виду де а Це рівняння можна розв’язати графічно (або числовим методом). Результат наведено на рис. 16.1.

Рис.16.1.Залишкова інверсія після закінчення гігантського імпульсу як функція

Зауважимо, що доля енергії, яка накопичилась в активному середовищі, і котра перетворюється в енергію лазерного випромінювання, складає З ростом ця величина прямує до одиниці. Миттєва потужність вихідного випромінювання лазера з допомогою (16.4) записується так:

. (16.6)

Особливу цікавість представляє пікова потужність. Покладаючи знаходимо, що максимум потужності випромінювання досягається при Підстановка в (16.6) дає для пікової потужності вираз

. (16.7)

Якщо початкова інверсія набагато перевищує порогову величину (велика добротність), то із (16.7) випливає:

(16.8)

Так, як потужність в кожний момент часу пов’язана з числом фотонів співвідношенням то з (16.8) випливає, що максимальне число фотонів, які накопичені в середині резонатора, рівне Цей результат можна інтерпретувати наступним чином. Якщо , фронт імпульсу до його максимуму коротший , так що в максимумі імпульс, коли більшість фотонів, які згенеровані раніше, все ще знаходяться в резонаторі. Крім цього, при , число цих фотонів дуже близьке до

---