Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

0²+0²+0²    0²+0²+1²    0²+0²+2²    0²+1²+1²    0²+1²+2²

0²+2²+2²    1²+1²+1²    1²+1²+2²    1²+2²+1²    2²+2²+2²

не дает в сумме 7. На этом этапе вычисление завершается, а мы делаем вывод: 7 есть одно из искомых чисел, так как оно не является суммой квадратов трех чисел.

2.3. Незавершающиеся вычисления

Будем считать, что с задачей (А) нам просто повезло. По­пробуем решить еще одну:

(B)       Найти число, не являющееся суммой квадратов четырех чи­сел.

На этот раз, добравшись до числа 7, мы находим, что в виде суммы квадратов четырех чисел его представить вполне воз­можно: 7 = 1² + 1² + 1² + 2², поэтому мы переходим к числу 8 (сумма 8 = 0² + 0² + 2² + 2²), далее — 9 (сумма 9 = 0² + 0² + 0² + З²) и 10 (10 = 0² + 0² + 1² + 3²) и т.д. Вычисления все продолжаются и продолжаются (. . . 23 = 1² + 2² + 3² + 3², 24 = 0² + 2² + 2² + 4², . . . , 359 = 1² + 3² + 5² + 18², . . .) и завершаться, похоже, не собираются. Мы предполагаем, что искомое число, должно быть, невообразимо велико, и для его вы­числения нашему компьютеру потребуется чрезвычайно большой промежуток времени и огромный объем памяти. Более того, мы уже начинаем сомневаться, существует ли оно вообще, это самое число. Вычисления все продолжаются и продолжаются, и конца им не видно. Вообще говоря, так оно и есть: описанная вычисли­тельная процедура завершиться в принципе не может. Известна теорема, впервые доказанная в 1770 году великим французским (и отчасти итальянским) математиком Жозефом Луи Лагранжем, согласно которой в виде суммы квадратов четырех чисел можно представить любое число. Теорема эта, кстати, весьма непро­ста (доказать ее как-то пытался великий современник Лагранжа, швейцарский математик Леонард Эйлер, человек, отличавший­ся удивительной математической интуицией, оригинальностью и продуктивностью, однако его постигла неудача).

Я, разумеется, не собираюсь докучать читателю подробно­стями доказательства Лагранжа, вместо этого рассмотрим одну не в пример более простую задачу:

(C)       Найти нечетное число, являющееся суммой двух четных чи­сел.

Нисколько не сомневаюсь, что все и так уже все поняли, однако все же поясню. Очевидно, что вычисление, необходимое для ре­шения этой задачи, раз начавшись, не завершится никогда. При сложении четных чисел, т. е. чисел, кратных двум,

0,2,4,6,8,10,12,14,16,...,

всегда получаются четные же числа; иными словами, никакая пара четных чисел не может дать в сумме нечетное число, т. е. число вида

1,3,5,7,9, 11, 13, 15,17,....

Я привел два примера ((В) и (С)) вычислений, которые невозможно выполнить до конца. Несмотря на то, что в первом случае вычисление и в самом деле никогда не завершается, до­казать это довольно непросто, во втором же случае, напротив, бесконечность вычисления более чем очевидна. Позволю себе привести еще один пример:

(D)       Найти четное число, большее 2, не являющееся суммой двух простых чисел.

Вспомним, что простым называется натуральное число (отличное от 0 и 1), которое делится без остатка лишь само на себя и на единицу; иными словами, простые числа составляют следующий ряд:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....

Существует довольно высокая вероятность того, что отыскание решения задачи (D) также потребует незавершающейся вычис­лительной процедуры, однако полной уверенности пока нет. Для получения такой уверенности необходимо прежде доказать ис­тинность знаменитой «гипотезы Гольдбаха», выдвинутой Гольд­бахом в письме к Эйлеру еще в 1742 году и до сих пор недоказан­ной.

2.4. Как убедиться в невозможности завершить вычисление?

Мы установили, что вычисления могут как успешно завер­шаться, так и вообще не иметь конца. Более того, в тех слу­чаях, когда вычисление завершиться в принципе не может, это его свойство иногда оказывается очевидным, иногда не совсем очевидным, а иногда настолько неочевидным, что ни у кого до сих пор не достало сообразительности однозначно такую невозмож­ность доказать. С помощью каких методов математики убеждают самих себя и всех остальных в том, что такое-то вычисление не может завершиться? Применяют ли они при решении подобных задач какие-либо вычислительные (или алгоритмические) проце­дуры? Прежде чем мы приступим к поиску ответа на этот вопрос, рассмотрим еще один пример. Он несколько менее очевиден, чем (С), но все же гораздо проще (В). Возможно, нам удастся попутно получить некоторое представление о том, с помощью каких средств и методов математики приходят к своим выводам. В предлагаемом примере участвуют числа, называемые ше­стиугольными:

1,7, 19,37,61,91, 127, ...,

иными словами, числа, из которых можно строить шестиугольные матрицы (пустую матрицу на этот раз мы не включаем):

Каждое такое число, за исключением начальной единицы, по­лучается добавлением к предыдущему числу соответствующего числа из ряда кратных 6:

6, 12, 18,24, 30,36, ....

Это легко объяснимо, если обратить внимание на то, что каждое новое шестиугольное число получается путем окружения преды­дущего числа шестиугольным кольцом

причем число горошин в этом кольце обязательно будет кратно 6, а множитель при каждом увеличении шестиугольника на одно кольцо будет возрастать ровно на единицу.

Вычислим последовательные суммы шестиугольных чисел, увеличивая каждый раз количество слагаемых на единицу, и по­смотрим, что из этого получится.

1 = 1,    1 + 7 = 8,    1 + 7 + 19 = 27,

1 + 7 + 19 + 37 = 64,     1 + 7+19 + 37 + 61 = 125.

Что же особенного в числах 1, 8, 27, 64, 125? Все они являются кубами. Кубом называют число, умноженное само на себя три­жды:

1 = 1³ = 1 x 1 x 1,    8 = 2³ = 2 x 2 x 2,    27 = 3³ = 3 x 3 x 3,

64 = 4³ = 4 x 4 x 4,    125 = 5³ = 5 x 5 x 5, ....

Присуще ли это свойство всем шестиугольным числам? Попро­буем следующее число. В самом деле,

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216 = 6 x 6 x 6 = 6³.

Всегда ли выполняется это правило? Если да, то никогда не завершится вычисление, необходимое для решения следующей задачи:

(Е) Найти последовательную сумму шестиугольных чисел, начи­ная с единицы, не являющуюся кубом.

Думается, я сумею убедить вас в том, что это вычисление и в са­мом деле можно выполнять вечно, но так и не получить искомого ответа.

Прежде всего отметим, что число называется кубом не про­сто так: из соответствующего количества точек можно сло­жить трехмерный массив в форме куба (такой, например, как на рис. 2.1). Попробуем представить себе построение такого мас­сива в виде последовательности шагов: вначале разместим где-нибудь угловую точку, а затем будем добавлять к ней, одну за дру­гой, особые конфигурации точек, составленные из трех «плоско­стей» — задней стенки, боковой стенки и потолка, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.1 Сферы, уложенные в кубический массив.

А теперь посмотрим с другой стороны

Рис. 2.2. Разберем куб на части — каждая со своей задней стенкой, боковой стенкой и потолком.

Посмотрим теперь на одну из наших трехгранных конфигу­раций со стороны, т. е. вдоль прямой, соединяющей начальную точку построения и точку, общую для всех трех граней. Мы увидим шестиугольник, подобный тому, что изображен на рис. 2.3. Точки, из которых складываются эти увеличивающиеся в размере шестиугольники, представляют собой, в сущности, те же точки, что образуют полный куб. То есть получается, что последователь­ное сложение шестиугольных чисел, начиная с единицы, всегда будет давать число кубическое. Следовательно, можно считать доказанным, что вычисление, требуемое для решения задачи (Е), никогда не завершится.

Рис. 2.3. Каждую часть построения можно рассматривать как шестиугольник.

Кто-то, быть может, уже готов упрекнуть меня в том, что представленные выше рассуждения можно счесть в лучшем слу­чае интуитивным умозаключением, но не формальным и строгим математическим доказательством. На самом же деле, перед вами именно доказательство, и доказательство вполне здравое, а пишу все это я отчасти и для того, чтобы показать, что осмысленность того или иного метода математического обоснования никак не связана с его «формализованностью» в соответствии с какой-либо заранее заданной и общепринятой системой правил. Напо­мню, кстати, о еще более элементарном примере геометрического обоснования, применяемого для получения одного общего свой­ства натуральных чисел, — речь идет о доказательстве истинности равенства a * 6 = 6 * a, приведенном в § 1.19. Тоже вполне до­стойное «доказательство», хотя формальным его назвать нельзя.