Файл: АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ.pdf

Рассмотрим, какая доходность портфеля будет получена в целом.

Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля определяется как средневзвешенная величина ожидаемых доходностей активов, включенных в портфель:

Е(r_p) = Σ Е(r_i)x_i, (1)

где Е(r_i) – ожидаемая доходность i-того актива, включенного в портфель, x_i – доля стоимости i-того актива в общей стоимости портфеля (по рыночной стоимости на момент составления портфеля).

В нашем случае:

Е(r_p)=2,1*0,324+2,994*0,285+1,789*0,157+4,085*0,234=2,7697,или 276,97%

Данное значение получено для временного периода в пять лет. Поделив на пять, получим ожидаемое значение годовой доходности портфеля:

276,97% / 5 = 55,39% - совсем неплохое значение.

Соответственно, месячный рост портфеля можно получить так:

276,97% / 60 = 4,62%

Теперь оценим риск полученного портфеля.

Риск портфеля в целом измеряется при помощи дисперсии и среднего квадратичного отклонения по формуле:

σ_р=(ΣΣx_ix_jσ_ij)^0.5, (2)

где σ_ij – ковариация доходности ценных бумаг i и j; x_i и x_j – доли i-той и j-той бумаг в портфеле соответственно [5, стр. 70].

При этом коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

σ_ij=ρ_ijσ_iσ_j, (3)

где ρ_ij – коэффициент корреляции между доходностью i и j пая.

Рассчитаем с помощью Excel коэффициенты корреляции, занесём их значения в таблицу 13.

Таблица 13

Коэффициенты корреляции

Теперь рассчитаем коэффициенты вариации:

σ₁₁=ρ₁₁σ₁σ₁ = 1,0*0,1312*0,1312=0,01721

σ₁₂=ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,9680*0,1312*0,2127=0,02701

σ₁₃=ρ₃₂σ₁σ₃ = 0,9924*0,1312*0,2294=0,02987

σ₁₄=ρ₁₄σ₁σ₄ = 0,9783*0,1312*0,3533=0,04535

σ₂₂=ρ₂₂σ₂σ₂ = 1,0*0,2127*0,2127=0,04524

σ₂₃=ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,9705*0,2127*0,2294=0,04735

σ₂₄=ρ₂₄σ₂σ₄ = 0,9735*0,2127*0,3533=0,07315

σ₃₃=ρ₃₃σ₃σ₃ = 1,0*0,2294*0,2294=0,05262

σ₃₄=ρ₃₄σ₃σ₄ = 0,9673*0,2294*0,3533=0,07839

σ₄₄=ρ₄₄σ₄σ₄ = 1,0*0,3533*0,353=0,12482

Запишем ковариационную матрицу.

Таблица 14

Ковариационная матрица

Получаем в нашем случае:

σ_р=(ΣΣx_ix_jσ_ij)^0.5=(32,4*32,4*0,01721+32,4*28,5*0,02701+…+23,4*23,4*0,12482)= =482,7038

Возвращаясь к исходной размерности, получим:

482,7038/(100*100)=0,04827 или 4,83%.

Сравнивая полученное значение с наименьшим (см. таблицу 12), равным 0,1312, видим: в результате диверсификации риск портфеля стал меньше в 0,1312/0,0483 = 2,7 раза.

Сделаем общий вывод: Полученный портфель имеет доходность 55,39% годовых при уровне риска 4,83%.

3. Предложения по повышению эффективности портфеля ценных бумаг в ЗАО АБ Газпромбанк

3.1. 0птимизация портфеля ценных бумаг на основе современной теории портфеля

Оптимизация финансового портфеля в целях снижения уровня его риска при заданном уровне доходности проводится по двум параметрам: ковариации и диверсификации входящих в него финансовых инструментов [8, стр 392].

Поставим задачу с математической точностью.

Пусть имеем заданный уровень доходности, равный 55% годовых.

Требуется найти такое распределение долей входящих в портфель паев, при котором будет достигнут наименьший уровень риска.

В теории [31; стр. 77] предлагается один из методов решения такой задачи, носящий название диверсификация Марковица.

Диверсификация Марковица основана на использовании методов оптимального программирования. При этом формируется целевая функция и ограничения, а на их основе – функция Лагранжа.

Целевая функция данной задачи.

σ_р²=(ΣΣx_ix_jσ_ij) → min (4)

Ограничения:

1) средняя доходность портфеля

Е_ср=Σ Е(r_i)x_i (5)

2) условие нормировки распределения

Σx_i=1 (5)

Для решения этой задачи необходимо сформировать функцию Лагранжа:

L=ΣΣx_ix_jσ_ij +λ₁(Σ Е(r_i)x_i-E_ср)+ λ₂(Σ x_i-1), (6)

где λ_i (i=1,2) – множители Лагранжа.

Портфель, минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

∂L/∂x_i=0

∂L/∂λ_l=0, (7)

где l=1,2.

Перепишем задачу для нашего случая, если i,j=1,2,3,4:

Целевая функция равна:

L=x₁²σ₁₁+ x₂²σ₂₂+ x₃²σ₃₃+ x₄²σ₄₄+

+2x₁x₂σ₁₂+2x₁x₃σ₁₃+2x₁x₄σ₁₄+2x₂x₃σ₂₃+2x₂x₄σ₂₄+2x₃x₄σ₃₄+

+ λ₁(Е(r₁)x₁+ Е(r₂)x₂+ Е(r₃)x₃+ Е(r₄)x₄-E_ср)+ λ₂(x₁+ x₂+x₃+x₄-1) (8)

Частные производные равны:

∂L/∂x₁=2x₁σ₁₁+2x₂σ₁₂+2x₃σ₁₃+2x₄σ₁₄+λ₁E₁+λ₂=0

∂L/∂x₂=2x₁σ₁₂+2x₂σ₂₂+2x₃σ₂₃+2x₄σ₂₄+λ₁E₂+λ₂=0

∂L/∂x₃=2x₁σ₁₃+2x₂σ₂₃+2x₃σ₃₃+2x₄σ₃₄+λ₁E₃+λ₂=0

∂L/∂x₄=2x₁σ₁₄+2x₂σ₂₄+2x₃σ₃₄+2x₄σ₄₄+λ₁E₄+λ₂=0

∂L/∂λ₁=x₁E₁+ x₂E₂+ x₃E₃+ x₄E₄-E_ср=0

∂L/∂λ₂=x₁+ x₂+ x₃+ x₄=0 (9)

Представим систему в матричном виде:

Рис.7. Матричная системы Лагранжа (обобщённая форма)

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим матричное уравнение:

Н*А=G

Отсюда получаем искомый вектор распределения:

А=Н^-1*G

Решаем задачу. Для удобства сведём необходимые данные в таблицу 15.

Таблица 15

Расчётные данные для решения задачи оптимизации портфеля инвестиций

Получаем:

Рис.8. Матричная запись системы Лагранжа (числовая форма)

Вычислим обратную матрицу.

Таблица 16

Обратная матрица

Умножая обратную матрицу на столбец, получим:

А^Т={17,2;20,6;45,6;16,6} – искомое распределение долей паев в оптимизированном портфеле.

Таблица 17

Сравнение структуры начального и оптимизированного портфеля

Рассчитаем доходность оптимизированного портфеля:

Е(r_p)=2,1*0,172+2,994*0,206+1,789*0,456+4,085*0,166=2,47186,или 247,2%

Данное значение получено для временного периода в пять лет. Поделив на пять, получим ожидаемое значение годовой доходности портфеля:

247,19% / 5 = 49,44%.

Соответственно, месячный рост портфеля можно получить так:

247,19% / 60 = 4,12%

Рассчитаем риск оптимизированного портфеля:

σ_р=(ΣΣx_ix_jσ_ij)^0.5=(17,2*17,2*0,01721+17,2*20,6*0,02701+…+16,6*16,6*0,12482)= =317,6554

Возвращаясь к исходной размерности, получим:

482,7038/(100*100)=0,0317

Выражая риск в процентах, получим 3,17%.

Сделаем общий вывод.

Сформированный портфель можно оптимизировать, при этом уровень дохода снижается на 55,39 - 49,44 = 5,95% , а уровень риска снижается на 4,83 -3,17=1,66%

Наряду с математическими методами оптимизации портфельных инвестиций, также выработаны фундаментальные методы реструктуризации портфеля.

Оценивая риск конкретного актива из инвестиционного портфеля, можно либо рассматривать этот актив изолированно от других активов, либо считать его неотъемлемой частью портфеля. Актив, имеющий высокий уровень риска при рассмотрении его изолированно, может оказаться практически безрисковым с позиции портфеля и при определенном сочетании входящих в этот портфель активов.

Эти методы можно свести к набору рекомендаций по операциям с портфелем. Рассмотрим их более подробно.