ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 222
Скачиваний: 0
Сила пружності направлена весь час проти прискорення тіла. Виведемо тіло з положення рівноваги та запишемо на основі другого закону Ньютона рівняння руху
m |
d 2 x |
= −kx , або |
|
d 2 x |
+ |
k |
x = 0 |
(2.8.3) |
||||
dt 2 |
|
dt 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||
Оскільки k > 0 i |
m > 0 , то |
k / m > 0 , |
що дозволяє ввести |
|||||||||
нову змінну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω02 |
= |
k |
|
|
|
|
(2.8.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Із (2.8.3) i (2.8.4) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
d 2 x |
|
+ ω02 x = 0 |
|
|
(2.8.5) |
||||
|
|
|
dt 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Фізичну систему, виведену із стану рівноваги i залишену без будь-якого зовнішнього втручання, в якій зміна одного із параметрів описується диференційним рівнянням (2.8.5) називають класичним гармонійним осцилятором, а коливальні рухи, які вона виконує – вільними коливаннями. Коливання є вільними або власними, якщо на тіло, що коливається, не діють інші сили, крім сили пружності. Щоб матеріальна точка здійснювала гармонічні коливання, не обов’язково на неї повинна діяти пружна сила. Досить, щоб при зміщенні тіла від положення рівноваги сила, яка діє на тіло, змінювалась за законом (2.8.2). Якщо сила за своєю природою не є пружною, але змінюється за законом (2.8.2), то її називають квазіпружною.
Диференційне рівняння (2.8.5) називають рівнянням вільних коливань. Його рішенням буде будь-яка функція часу, яка перетворює це рівняння у тотожність.
Легко впевнитися, що його розв’язком може бути одна з функцій:
x = A0 cos(ω0 t + ϕ0 ) , |
(2.8.6) |
x = A0 sin(ω0 t + ϕ0 ) , |
(2.8.7) |
де ω 0 – циклічна частота вільних коливань.
70
Підставивши функцію (2.8.6) і другу похідну від неї за часом у рівняння (2.8.5), переконуємося, що функція (2.8.6) є розв’язком диференціального рівняння (2.8.5).
Із рівняння (2.8.4) для пружинного маятника маємо
ω0 |
= |
k |
. |
(2.8.8) |
|
||||
|
|
m |
|
|
Відповідно частота та період вільних коливань дорівнюють
ν = ω0 |
= |
1 |
|
|
|
|
k |
|
, |
(2.8.9) |
|||
2π |
|
|
|
||||||||||
2π |
|
|
|
|
|
m |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T = |
= 2π |
|
|
m |
. |
(2.8.10) |
|||||||
ν |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||||
Розглянемо пружинний маятник, який виконує коливальні рухи у середовищі, яке чинить опір його руху, що дає підстави вважати – сила тертя не дорівнює нулю. Сила опору пропорційна швидкості i завжди направлена проти руху маятника:
F = −r |
dx |
, |
(2.8.11) |
T
dt
де r – коефіцієнт опору.
Запас енергії коливальної системи буде витрачатися на виконання роботи проти сили тертя, тому амплітуда коливань буде зменшуватися з часом. Такі коливання є затухаючими.
Складемо рівняння руху для такого пружинного маятника.
m |
d 2 x |
|
+ r |
dx |
|
+ kx = 0 |
(2.8.12) |
||||||||
dt 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||
Поділимо рівняння (2.8.12) на масу маятника m . |
|
||||||||||||||
|
|
d 2 x |
+ |
r |
|
dx |
+ |
k |
x = 0 . |
(2.8.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt 2 |
|
|
m dt m |
|
|||||||||
Введемо позначення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
r |
|
= 2β , |
(2.8.14) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
m
де β – коефіцієнт затухання.
71
Із рівнянь(2.8.4, 2.8.13,2.8.14) випливає: |
|
||||
|
d 2 x |
+ 2β |
dx |
+ ω02 x = 0 . |
(2.8.15) |
|
dt 2 |
|
|||
|
|
dt |
|
||
Рівняння типу (2.8.15) називають диференційним рівнянням затухаючих коливань. Легко переконатися, що його розв’язком можуть бути функції (рис. 2.8.2):
x = A e |
−β t cos(ω t + ϕ |
0 |
) , |
(2.8.16) |
0 |
|
|
|
|
x = A e− βt sin(ω t + ϕ ) , |
(2.8.17) |
|||
0 |
0 |
|
|
|
де x – зміщення точки від положення рівноваги, A0 – |
початкова |
|||
амплітуда затухаючих |
коливань, ω – циклічна |
частота |
||
затухаючих коливань.
Амплітуда затухаючих коливань змінюється за законом
A = A e−β t . |
(2.8.18) |
0 |
|
|
x = A e−βt Sin(ω t + ϕ ) |
|
|
X |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
A(t) |
A = A |
0 e −β t |
|
|
||
|
|
A(t+T) |
|
A(t+nT)
t
T nT
Рис.2.8.2
Циклічна частота затухаючих коливань ω системи менша за власну циклічну частоту ω0 :
ω = ω02 − β2 . |
(2.8.19) |
72 |
|
Швидкість затухання коливальних рухів характеризується декрементом затухання δ . Декрементом затухання називають відношення двох амплітуд, інтервал часу між якими дорівнює періоду коливаньT :
δ = |
A |
= |
A e |
−βt |
= eβT , |
|
t |
0 |
|
(2.8.20) |
|||
A |
A e−β(t+T ) |
|||||
|
(t+T ) |
|
0 |
|
|
|
а натуральний логарифм відношення двох сусідніх амплітуд відповідно називають логарифмічним декрементом затухання:
λ = ln |
An |
= ln |
At |
= lnδ = βT . |
(2.8.21) |
|
|
A(n+1) A(t +T )
Визначивши експериментально логарифмічний коефіцієнт затухання λ і період коливань T , можна знайти коефіцієнт затухання коливальної системи
|
|
|
|
β = |
λ |
. |
|
(2.8.22) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Для зменшення похибки визначення β вимірюють амплітуди, |
|||||||||
різниця в часі між якими дорівнює не одному, а n періодів: |
|
||||||||
|
A |
|
A |
|
|
A e−β t |
|
|
|
|
0 |
|
t |
0 |
|
|
|||
ln |
|
= ln |
|
= ln |
|
= nβT = nλ , |
8.23) |
||
A |
A |
A e−β( t +nT ) |
|||||||
|
n |
|
t +nT |
0 |
|
|
|||
звідки маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
A0 |
|
|
|
|
λ = |
|
An |
|
, |
(2.8.24) |
||
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
A0 |
|
|
|
|
|
β = |
An |
|
|
. |
(2.8.25) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
nT
73