ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 0
Лабораторна робота 1.7 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою
математичного та фізичного маятників
Мета роботи. Освоїти методи визначення прискорення вільного падіння за допомогою фізичного та математичного маятників.
Прилади і матеріали. 1. Оборотний фізичний маятник. 2. Математичний маятник. 3. Лінійка. 4. Секундомір.
Теоретичні відомості
Фізичним маятником називають тверде тіло, яке може здійснювати коливання навколо нерухомої точки Î , яка не збігається з його центром мас С (рис. 2.7.1). При відхиленні
маятника |
від |
положення |
|
|||
рівноваги |
на |
кут |
β під |
O |
||
дією |
складової |
сили |
||||
L |
||||||
земного |
|
|
|
тяжіння |
||
|
|
|
β |
|||
F = mg sin β |
|
виникає |
||||
|
|
|||||
обертальний |
|
момент |
|
|||
M = F L = mgL sin β . Він |
C |
|
|
|
|||
намагається |
повернути |
|
|
|
|||
|
|
|
′ |
||||
маятник |
у |
положення |
R |
β |
O |
||
|
|||||||
рівноваги. |
|
Запишемо |
F |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
рівняння |
руху |
маятника, |
|
|
|
|
|
виходячи |
з |
основного |
Рис. 2.7.1 |
m g |
|
|
|
рівняння |
|
динаміки |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
обертального руху (вважаємо, що сили тертя відсутні):
L′
R
F ΙΙ
I |
d 2β |
= −mgL sinβ , |
(2.7.1) |
|
dt 2 |
||||
|
|
|
де I – момент інерції тіла відносно горизонтальної осі, що проходить через точку підвісу О. Знак мінус в лівій частині
61
(2.7.1) вказує на те, що момент сили M = mgl sin β прагне
повернути маятник у положення рівноваги, а кут відхилення відраховується у протилежному напрямі. У цій системі координат сила тяжіння відіграє роль квазіпружної сили. Оскільки на маятник не діють інші сили, крім квазіпружної, то його коливання можна вважати вільними або власними.
Поділимо рівняння (2.7.1) на I та візьмемо до уваги, що для малих кутів відхилення β ≈ 0.01÷ 0.015 рад. ( b » 5 ¸ 7o ) від положення рівноваги sinβ ≈ β , одержимо:
|
|
|
|
d 2b |
+ |
|
mgL |
|
b = 0 |
(2.7.2) |
|||
|
|
|
|
dt 2 |
|
I |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Перевіримо розмірність множника, який знаходиться перед |
|||||||||||||
β у рівнянні (2.7.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
кг |
м |
|
м |
|
= с−2 = Гц2 , |
|
|||
L |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
||||
|
|
|
|
кг × м |
2 |
|
|||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
і отримаємо, що розмірність цього виразу дорівнює розмірності квадрату частоти.
Оскільки m > 0 , g > 0 , L > 0 , I > 0 , то і mgL > 0 .
|
|
|
|
I |
|
|
Очевидно, що можна ввести таке позначення: |
|
|||||
|
w02 = |
mgL |
|
(2.7.3) |
||
I |
||||||
|
|
|
|
|||
Із рівнянь (2.7.2, 2.7.3) маємо: |
|
|||||
|
d 2b |
+ w02b = 0 . |
(2.7.4) |
|||
|
|
|||||
|
dt 2 |
|
||||
Ми одержали диференційне рівняння вільних коливань фізичного маятника. Його розв’язком буде гармонічна функція
b = b0 cos( w0t + j0 ) , |
(2.7.5) |
62 |
|
де β0 – амплітудне значення кута відхилення, t – час, ϕ0 – початкова фаза коливань.
У рівнянні (2.7.5) величина ω0 повинна бути кратна 2π ,
тому що період функції cos x дорівнює 2π . Таким чином ω0 – циклічна частота власних коливань фізичного маятника.
ω0 = 2πν |
(2.7.6) |
Із рівняння (2.7.3) випливає |
|
ω0 = |
|
|
|
mgL |
. |
(2.7.7) |
||||
|
|
|
I |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідно, власна частота та період коливань дорівнюють |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν = |
|
|
|
mgL |
|
, |
(2.7.8) |
|||
2π |
|
|
|
I |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = 2π |
|
|
|
I |
. |
(2.7.9) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
mgL |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, що коливається у
вертикальній площині під дією |
О |
|
||||
сили тяжіння |
(рис. 2.7.2). До |
|
||||
ϕ |
|
|||||
математичного |
маятника |
за |
|
|||
|
|
|||||
своїми |
|
фізичними |
|
|
||
властивостями |
найбільше |
|
|
|||
подібна |
система, |
|
що |
|
|
|
складається |
з нерозтяжної |
l |
N |
|||
легкої нитки довжиною l , до |
|
|||||
|
|
|||||
одного кінця |
якої підвішена |
|
|
|||
невеличка |
металева |
кулька |
|
|
||
радіусом |
R |
( l >> R ), |
а |
|
|
|
другий |
закріплений |
у |
x F |
|
||
нерухомому |
шарнірі. |
Можна |
Рис. 2.7.2 |
mg |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
63 |
|
вважати, що центр маси такої системи збігається з центром мас кульки. Очевидно, що математичний маятник є частинним випадком фізичного.
Момент інерції маятника відносно точки підвісу O рівний
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ml 2 . |
|
|
|
|
|
|
(2.7.10) |
||||||
Для математичного маятника при L = l із рівнянь (2.7.9) та |
|||||||||||||||||||||||
(2.7.10) маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||
T = 2π |
|
|
|
|
|
|
|
= 2π |
|
|
|
= 2π |
|
|
|
. |
|
(2.7.11) |
|||||
|
mgL |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
mgl |
|
|
g |
|
|
|
||||||||||
З рівняння (2.7.11) випливає, що період коливань |
|||||||||||||||||||||||
математичного |
маятника не залежить від |
амплітуди |
коливань |
||||||||||||||||||||
(для малих відхилень) і маси маятника, а |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
визначається лише |
|
довжиною |
маятника l та |
|
|
|
|||||||||||||||||
прискоренням вільного падіння g . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Якщо визначити періоди коливань T1 , |
|
|
|
||||||||||||||||||||
T2 для двох |
математичних |
|
маятників |
з |
|
|
l2 |
||||||||||||||||
різними довжинами l1 та l2 (рис.2.7.3), то |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
згідно з рівнянням (2.7.11) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
T1 = 2π |
|
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
, |
|
|
(2.7.12) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 = 2π |
|
|
l2 |
|
|
. |
(2.7.13) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
h h2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Із рівнянь (2.7.12, 2.7.13) випливає |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
g = |
4π 2 (l − l |
2 |
) |
= |
4π 2 |
h |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
. |
(2.7.14) |
|||
T 2 |
− T 2 |
|
|
T 2 |
− T 2 |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Для математичного (довжиною підвісу L ) та фізичного маятників, періоди коливань яких однакові, з рівнянь (2.7.9, 2.7.11) маємо
h1
Рис.2.7.3
64