ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 318
Скачиваний: 0
Тогда равенство (3.28) будет иметь вид
Т - Т0 = ∑ Aie + ∑ Aii. (3.29)
Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.
Если ∑ Ai = 0 , то такая система называется неизменяемой. Тогда уравнение (3.25) примет вид
|
|
|
|
T2 − T1 = ∑ Aie. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Работа сил |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1) Работа постоянной силы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
= FS cosα , |
(3.30) |
||||||||||||||||
F |
S |
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
– постоянная сила; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
– вектор перемещения точки приложения силы; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
α = const – угол между векторами |
|
и |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
F |
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Работа силы есть алгебраическая вели- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
чина, равная произведению модуля силы на |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
перемещение точки приложения силы и на ко- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
синус угла между векторами |
|
|
|
и |
|
(рис. 3.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
F |
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2) Если сила переменная, то сначала оп- |
Рис. 3.3 |
|||||||||||||||||||||||
ределяется элементарная работа |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dA = |
|
|
|
|
(3.31) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
FdS = FdS cosα, |
||||||||||||||||||||||||
а затем работа силы на конечном перемещении определяется по формуле
|
|
A = ∫ dA = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FdS = ∫ FdS cosα . |
(3.32) |
|||||||||||||
|
|
S |
S |
|
|
|
S |
|
|
|
||||||
3) Элементарная работа силы через проекции векторов |
|
|
|
|
|
|||||||||||
F |
|
и dS |
на |
|||||||||||||
координатные оси может быть записана в виде |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dA = Fxdx + Fydy + Fz dz, |
(3.33) |
|||||||||||||
где Fx , |
Fy , |
Fz – проекции вектора силы |
|
на координатные оси; |
|
|
|
|||||||||
F |
|
|
|
|||||||||||||
dx, |
dy, |
|
|
на те же оси. |
|
|
|
|||||||||
dz – проекции вектора dS |
|
|
|
|||||||||||||
101
При определении работы силы на конечном перемещении с помощью формулы (3.33) получим
A = М∫2 |
(Fxdx + Fydy + Fzdz) . |
(3.34) |
||
М1 |
|
|
|
|
4) Работа силы, приложенной к вращающемуся телу: |
|
|||
|
φ |
|
||
|
|
|
|
|
|
A = ∫M z (F |
)dφ. |
(3.35) |
|
|
0 |
|
|
|
Если M z (F ) = const , то A = M z (F)φ, где M z – момент силы относительно оси; ϕ – угол поворота тела. Работа положительная, если направление момента совпадает с направлением углового перемещения тела, и от-
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицательная в противном случае. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Работа силы |
тяжести |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
(рис. 3.4) |
|
|
|
||||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При перемещении точки М на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неё действует сила тяжести |
|
. Вы- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
|
|
P |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
числим работу этой силы на пере- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мещении М1М2 по формуле (3.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
y |
М 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ∫ Pxdx + Pydy + Pz dz . |
(3.36) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
x2 |
М1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекции силы |
|
на оси ко- |
|||
x |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
P |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординат будут Px = 0, Py = 0, Py = – P, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда уравнение (3.3) примет вид |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = − ∫ |
Pdz = P(z1 |
− z2 ); z1 − z2 = h; A1,2 = Ph, |
(3.37) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где h – вертикальное перемещение точки приложения силы.
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка, а зависит лишь от высоты, на которую опускается или поднимается точка приложения силы тяжести. Работа положительная, если конечное положение точки ниже начального, и работа отрицательная, если конечное положение точки выше начального.
102
6) Работа силы упругости
Рис. 3.5 |
На рис. 3.5 показан в промежуточном положении груз, прикрепленный к пружине. Начало оси x совмещено с положением статического равновесия, поэтому в промежуточном положении пружина растянута на величину λ = x. Тогда
= cx, где c – жесткость пружины, x –
ее деформация.
Проекции Fупрна оси равны: Fупр.x = – cx; Fупр.y = Fупр.z = 0
Подставив эти значения в формулу (3.34), получим:
x |
(x22 − x12 ) или A = − |
c |
(λ22 − λ21 ) , |
|
|
A = −c ∫2xdx = − |
c |
(3.38) |
|||
2 |
2 |
||||
x1 |
|
|
|
|
|
где λ1 = x1, λ 2 = x2 – деформация пружины в начальном и конечном по-
ложениях тела (системы).
Если в начальном положении деформация пружины равна нулю, т. е. λ1 = 0, то формула (3.36) принимает вид
A = − |
c |
2 |
|
c 2 |
|
||
|
λ 2 |
= − |
|
λ . |
(3.39) |
||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
В общем случае работа упругой силы может быть положительной и отрицательной. Работа положительная, если деформация пружины уменьшается при перемещении тела, и отрицательная, если деформация пружины увеличивается.
7) Для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении ∑ Aii = 0.
103
Для решения определенного рода задач надо знать моменты инерции твердого тела. Моменты инерции некоторых однородных твердых тел приведены в табл. 3.1.
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
№ |
Тела |
Схема тела |
Момент инерции |
|||
п/п |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
Тонкий прямо- |
|
J z |
= |
Ml2 |
|
|
|
12 |
||||
1 |
линейный стер- |
|
|
|
||
|
|
= Ml2 |
||||
|
жень |
|
J z |
|||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
Кольцо, полый |
|
Jz |
= Mr 2 |
||
|
цилиндр |
|
|
|
|
|
|
J x = J y = |
Mr2 |
||
3 Тонкий диск |
4 |
|||
|
|
|||
|
Mr2 |
|||
|
J z = |
|||
|
2 |
|||
|
|
|||
|
|
r 2 |
+ |
l 2 |
|
|
|
J x = J y = M |
4 |
3 |
|
||
4 Цилиндр |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
J z = |
Mr2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 Шар |
|
|
J x = J y = Jz = |
2 Mr 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
104