Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 217
Скачиваний: 0
82
го и эмпирического распределений по критерию 2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05 .
Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в таблицу:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
mi |
8 |
17 |
16 |
10 |
6 |
2 |
0 |
1 |
Найдём
x = n1 ∑xi mi = 601 (0 8 +1 17 +2 16+3 10+4 6 +5 2 +6 0 +7 1)=2.
Вычислим выборочную дисперсию по формуле S2 = x2 −(x)2, где x2 =n1 ∑xi2 mi =601 (0 8+1 17+4 16+9 10+16 6+25 2+36 0+49 1)=6,1,
тогда S 2 (x)= 6,1−4 = 2,1. Необходимое условие для распределе-
ния Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон распределения Пуассона, используя вместо математическо-
го ожидания его оценку x : P(m)=2mm!e−2. Найдём теоретические частоты:
′ |
=n P(0)=60 |
20 |
|
e |
−2 |
|
′ |
=n P(1)=60 |
2 |
e |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m0 |
|
|
|
|
|
|
≈8,1; m1 |
|
|
|
≈16,24; |
|
|
|
|||||||||||||||
0! |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
−2 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|||||||||
m2 |
= n P(2)= 60 |
|
|
|
|
e |
|
≈16,24; m3 = n P(3)= 60 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
≈10,62 |
; |
|||||||||||
2! |
|
|
3! |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
′ |
|
|
|
24 |
|
|
−2 |
|
′ |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
||||||
m4 |
= n P(4)= 60 |
|
|
|
|
e |
|
≈ 5,41; m5 = n P(5)= |
60 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
≈ 2,17 ; |
|
||||||||||
4! |
|
|
5! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m6′ = n P(6)= 60 |
26 |
e |
−2 ≈ 0,72; m7′ = n P(7)= |
60 |
|
27 |
e−2 |
|
≈ 0,2 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как последних три интервала содержат частоты менее пяти, то объединим их с предыдущим. Получим
m i |
8 |
17 |
16 |
10 |
9 |
m'i |
8,1 |
16,2 |
16,2 |
10,6 |
8,5 |
83
Вычислим значение
|
2 |
|
(mi −mi′ )2 |
(8,1−8)2 |
|
(17 −16 |
,2)2 |
|
(16 |
−16,2)2 |
|
||||
p = ∑ |
mi′ |
= |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
||||
8,1 |
16 |
,2 |
|
16,2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
(10 −10,6)2 |
+ |
(9 −8,5)2 ≈ 0,11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
10,6 |
|
8,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примем уровень значимости α = 0,05. Количество интервалов после объединения l = 5. По выборке вычислен один параметр, которым определяется закон Пирсона - математическое ожидание, следовательно: r =1. Поэтому число степеней свободы k = l −r −1 = 5 −1−1 = 3. По таблице (см. приложение табл.4) на-
ходим 2 (3;0,05)= 7,8. Имеем 7,8>0,11, следовательно, нет осно-
ваний отвергнуть нулевую гипотезу или, другими словами, при уровне значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.
Пример 49. Проверить гипотезу о нормальном распределении для следующего интервального ряда:
xi |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
mi |
10 |
14 |
22 |
24 |
16 |
14 |
Решение. Найдём выборочное среднее по формуле
x= n1 ∑xi mi =
=1001 (12 10 +16 14 +20 22 +24 24 +28 16 +32 14)= 22,56
и исправленную дисперсию по формуле S)2 = |
n |
|
|
−( |
|
)2 |
|
|
x2 |
, где |
|||||||
x |
||||||||
|
||||||||
|
n −1 |
|
|
|
|
|||
x2 = n1 ∑xi mi =
=1001 (122 10 +162 14 +202 22 +242 24 +282 16 +322 14)=
=545,28 S) =10099 (545,28 −22,562 )≈ 36,693 S) ≈ 6,0575.
Найдём теоретические частоты по формулам:
84
|
|
n h |
x |
|
− |
|
|
|
12−22,56 |
|
|
||||||
|
|
i |
x |
|
|
|
|||||||||||
m′ |
≈ |
) |
|
ϕ |
|
) |
|
≈ 66 |
ϕ |
|
= 66 ϕ(1,74)≈ 66 |
0,0878 |
≈5,8, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
S |
|
|
|
S |
|
|
|
6,0575 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
′ |
|
|
|
16−22,56 |
≈ 66 ϕ(1,08)≈ 66 0,2227≈14,7, |
|
|
||||||||||
m2 |
≈ 66 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
6,0575 |
|
|
|
|
|
|
||||||
m3′ |
|
|
|
|
20 −22,56 |
≈ 66 ϕ(0,42)≈ 66 0,3652 ≈ 24,1, |
|
||||||||||
≈ 66 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6,0575 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m4′ ≈ 66 ϕ 24 −22,56 ≈ 66 ϕ(0,24)≈ 66 0,3876 ≈ 25,6,
6,0575
m5′ |
|
28 −22,56 |
|
|
≈ 66 ϕ(0,90)≈ 66 0,2661 ≈17,6, |
|
≈ 66 ϕ |
|
|
|
|||
6,0575 |
||||||
|
|
|
|
|
||
m6′ |
|
32 −22,56 |
|
|
≈ 66 ϕ(1,56)≈ 66 0,1182 ≈ 7,8. |
|
≈ 66 ϕ |
|
|
|
|||
6,0575 |
|
|||||
|
|
|
|
|
Найдём 2p по формуле
|
2 |
|
(mi − mi′ )2 |
|
(10 − |
5,8)2 |
|
(14 −14,7)2 |
|
(22 |
− 24 |
,1)2 |
|
|||
p = ∑ |
mi′ |
= |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
||||
5,8 |
14 |
,7 |
|
24,1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
(24 − 25,6)2 |
+ (16 −17,6)2 |
+ (14 −7,8)2 |
≈ 8,43 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
25,6 |
|
17,6 |
|
7,8 |
|
|
|
|
|
|
|||
Число степеней свободы равно 6-3=3, следовательно, при уровне значимости α = 0,05 имеем по таблице 2кр(3;0,05)= 7,8 , а при
уровне значимости α = 0,01 имеем по таблице 2кр(3;0,01)=11,3. Таким образом, при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу отвергаем, а при уровне значимости α = 0,01 у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
55. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства В реальном мире многие явления природы происходят в об-
становке действия многочисленных факторов, влияние каждого из них ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность, и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о статистической связи. Знание статистической зависимости между случайными переменными
85
имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определённое значение.
Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет оценить функцию регрессии одной случайной величины на другую. Предпосылки корреляционного анализа следующие: 1) переменные величины должны быть случайными; 2) случайные величины должны иметь нормальное распределение.
Выборочный коэффициент корреляции находится по форму-
ле
rв = ∑(xi −(x)) (y(i −) y)
n S x S y
Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной связи.
Свойства выборочного коэффициента корреляции:
1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале
[−1;1].
Доказательство. Докажем справедливость утверждения для дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное
|
|
|
1 |
n xi − x |
yi − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
выражение |
|
i∑=1 |
|
± |
|
|
|
≥ 0 . |
|
Возведём |
выражение |
||||||
n |
S(x) |
S(y) |
|
|
|||||||||||||
под |
знаком |
суммы |
|
|
|
|
в |
квадрат |
|||||||||
|
1 n (xi − x)2 |
|
2 n (xi − x)(yi − y) |
|
1 |
|
n |
(yi − y)2 |
|
||||||||
|
|
i∑=1 S 2 (x) |
± |
|
i∑=1 S(x)S(y) |
+ |
|
i∑=1 S 2 (y) . |
Первое и |
||||||||
|
n |
n |
n |
||||||||||||||
третье слагаемые равны единице по определению дисперсии. Таким образом: 1±rв +1 ≥ 0, откуда −1 ≤ rв ≤1.
2. Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора начала точки отсчёта и единицы измерения, то есть для любых a1 ,b1 ,a2 ,b2 выполнено равенство
rв(a1x +b1 ;a2 x +b2 )= rв(x; y).
86
3. Выборочный коэффициент можно вычислять по формуле
|
|
|
|
r = |
|
|
xy − x y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
S(x)S(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
Доказательство. По определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
∑(xi − x)(yi − y) |
1 |
(∑xi yi − x∑ yi − y∑xi |
+n x y) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x)S(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x)S(y) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy − x y − x y + x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
− x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x)S(y) |
|
|
S(x)S(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 50. Вычислить выборочный ко- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xi |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эффициент корреляции по следующим дан- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ным: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
4 |
|
6 |
|
6 |
|
8 |
|
||||
|
|
|
Решение. Вычислим x = |
|
1 |
|
∑xi = |
|
1 |
|
(2 +2 +3 +5)= 3; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑x |
2 = |
(4 +4 +9 +25)=10,5; y = |
(4 +6 +6 +8)= 6; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
1 |
(16 +36 +36 +64)= 38; |
|
= |
1 |
∑xi |
yi = |
1 |
(8 +12 +18 +40)=19,5; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
S 2 (x)= |
x2 |
− x2 =10,5 −9 =1,5; S 2 (y)= |
y2 |
− y2 = 38 −36 = 2; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x y |
|
=19,5 −18 = 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
≈ 0,866. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в |
|
|
S 2 |
(x)S 2 (y) |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
56. Метод вычисления выборочного коэффициента корреляции для вариационных рядов
Для вычисления выборочного коэффициента корреляции строят корреляционную таблицу. Для этого разбиваем каждый вариационный ряд на интервальный. Затем находятся входящие в формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции параметры.
Пример 51. По данным наблюдений над случайными величинами X и Y получена выборка, приведённая в таблице