Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 789
Скачиваний: 1
3.3. теыеойс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
хДПВОП РЕТЕРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒŒЕДС ПРЕТБФПТ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
йНЕЕН |
|
|
F = V + V G0V + V G0V G |
0V + : : : |
|
|
|
|
(3.20) |
|||||||||
|
|
|
| |
|
|
k(r) = r|G0F |k : |
|
|
|
|
|
(3.21) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
НОПЗПЛТБФОПЕ ТБУУЕСОЙЕ РБДБАЭЕК ŒПМОЩ |
||||||||||
уНЩУМ ЬФПК ЪБРЙУЙ Œ ФПН, ЮФП |
F |
ПРЙУЩŒБЕФ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ОБ РПФЕОГЙБМЕ V (r), Б G |
|
|
УŒПВПДОПЕ ДŒЙЦЕОЙЕ РПУМЕ РПУМЕДОЕЗП ТБУУЕСОЙС. |
|
||||||||||||||
œ ЛППТДЙОБФОПН |
РТЕДУФБŒМЕОЙЙ G |
|
ЙНЕЕФ ŒЙД: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
" |
|
|
0 |
|
|
(2ı)3 |
= − |
2ıh—2 |
r |
| |
−r |
| ; |
(3.22) |
|
G0("; r; r ) = |
|
p2=2m + i‹ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
eip(r−r ) |
|
d3p |
|
m |
eiκ r |
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
− |
| |
|
||
√
ЗДЕ h—κ = 2m". оБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ κ = k.
уМБЗБЕНПЕ i‹ Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ (3.22) ŒŒЕДЕОП ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ŒЩВТБФШ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ. у ФЕН ЦЕ ХУРЕИПН НПЦОП ВЩМП ВЩ ŒЩВТБФШ ЪОБЛ −i‹, ЮФП РТЙŒЕМП ВЩ Л ТСДХ ДМС f (k ; k). лПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООБС БНРМЙФХДБ УППФŒЕФУФŒХЕФ ПРЕТЕЦБАЭЕНХ ТЕЫЕОЙА ЪБДБЮЙ П ТБУУЕСОЙЙ.
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ БУЙНРФПФЙЛБ (r), РПЬФПНХ ЪБРЙЫЕН r = Rn Й ВХДЕН УЮЙФБФШ R ВПМШЫЙН. фПЗДБ |r−r | = R −|r | cos „ + O(1=R), ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ n Й r (ТЙУ. 3.3).
r
n
1100 θ
k
r
òÉÓ. 3.3
рПДУФБŒМСЕН G0 Œ ŒЙДЕ (3.22) Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.21) Й ТБЪМБЗБЕН |r − r |:
(r) = − |
2ıh— |
2 eR |
|
e−iκ|r | cos „ r |F |k d3r : |
(3.23) |
|
m |
iκR |
|
|
|
|
|
|
|
|
уТБŒОЙŒБС ЬФПФ ПФŒЕФ У ПРТЕДЕМЕОЙЕН БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, РПМХЮБЕН ФТЕВХЕНПЕ
УППФОПЫЕОЙЕ: |
m |
k2|F |k1 ; |
|
|
f (k1; k2) = − |
(3.24) |
|||
2ıh—2 |
52 змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ
ÇÄÅ k2 = |k1|n.
рЕТЕКДЕН Л ŒЩŒПДХ ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС. тСД ДМС НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБŒМЕО
F
ЗТБЖЙЮЕУЛЙ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 3.1. ъБРЙЫЕН УХННХ
F = V + V G0V + V G0V G0V + : : :
Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ: F (k1; k2) = F (1)(k1; k2) + F (2)(k1; k2) + : : : ;
F(1)(k1; k2) = V (k2 − k1) ;
F(2)(k1; k2) = V (k2 − q)2V (q − k1) (d3q) ;
"− q =(2m) + i‹
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
=(2m) + i‹ |
|
|
|
" qn2 1=(2m) + i‹ : : : " q12 |
|
||
F (n)(k1; k2) = : : : |
V (k2 −qn−1): : :V (q1 |
−k1) (d3qn−1) : : : (d3q1) |
; |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : |
: : −: : : :−: : : |
− |
|
|
(3.25)
(3.26)
ÇÄÅ (d3qi) = d3qi=(2ı)3, " = h—2k21=(2m).
уŒСЪШ ЬФЙИ ŒЩТБЦЕОЙК У ТСДПН ОБ ТЙУ. 3.1 ПЮЕŒЙДОБ: ŒПМОЙУФЩН МЙОЙСН УППФŒЕФУФŒХАФ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ РПФЕОГЙБМБ, РТСНЩН МЙОЙСН | ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рП ŒУЕН ŒОХФТЕООЙН ЙНРХМШУБН ОБДП РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ, Б ŒИПДСЭЙК Й ŒЩИПДСЭЙК ЙНРХМШУЩ ŒЪСФШ ОБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ.
рПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС :
F
|
|
0( + |
0 + ) = + |
0 |
|
|||
F |
= V |
+ V G0V |
+ V G0V G0V |
+ |
: : : = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.27) |
|
= V + V G V |
|
V G V : : : |
|
V |
V G F |
|||
зТБЖЙЮЕУЛЙ ЬФП НПЦОП ЙЪПВТБЪЙФШ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 3.4.
0101 = |
+ |
0101 |
òÉÓ. 3.4
œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
|
− |
h—2 |
|
k12 |
− q2 + i‹ |
|
(2ı)3 |
|
|
F (k1; k2) = V (k2 |
|
k1) + 2m |
|
V (k2 |
− q)F (k1 |
; q) |
d3q |
: |
(3.28) |
тЕЫБС ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ РПУМЕДПŒБФЕМШОЩНЙ РТЙВМЙЦЕОЙСНЙ, ŒОПŒШ РПМХЮБЕН ТСД ДМС
F . тЕЫЕОЙЕ 12. |
рПМАУЩ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G(") ДБАФ УРЕЛФТ УЙУФЕНЩ. рТЙ ЬФПН, |
|||||
УПУФПСОЙА |
|
|
|
|
|
, ЛБЦДПНХ УŒСЪБООПНХ |
РПУЛПМШЛХ |
G |
É F |
УŒСЪБОЩ УППФОПЫЕОЙЕН G = |
G0 |
+ G0F G0 |
|
ПФŒЕЮБЕФ РПМАУ
F (").
3.3. теыеойс |
53 |
оБЮОЕН УП УМХЮБС D = 1. тБУУНПФТЙН ПДОПНЕТОХА СНХ ЗМХВЙОЩ U0 Й ЫЙТЙОЩ a. ъБНЕОСС РПФЕОГЙБМ ОБ ‹-ЖХОЛГЙА V (x) = −U0a ‹(x), РПМХЮБЕН ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФХ V (q) = −U0a = const. рТЙ ЬФПН ХТБŒОЕОЙЕ ДМС F (k; k ) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
F (k; k ) = −U0a + U0a |
" − q2=2m + i‹ 2ı : |
||||
|
F (k; q) |
|
dq |
||
йЪ (3.29) ŒЙДОП, ЮФП F (k; k ) ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ k . рПЬФПНХ |
|
|
|||
|
+∞ |
|
k2 |
|
i‹ ; |
F (k) = −U0a − 2ı F (k) q2 |
|
|
|||
U0a |
|
2m dq |
|
||
|
−∞ |
− |
|
− |
|
ÞÔÏ ÄÁÅÔ F −1 + (U0a)−1 = −im=k = −i m=2", ÇÄÅ " = k2=(2m). рПМХЮБЕН
(3.29)
(3.30)
U0a 2(" + i‹)=m |
|
F (") = − 2(" + i‹)=m + iU0a : |
(3.31) |
бНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС F (") ЙНЕЕФ РПМАУ РТЙ "0 = −mU02a2=(2h—2), ЮФП УПŒРБДБЕФ У ЙЪŒЕУФОЩН ПФŒЕФПН ДМС ПДОПНЕТОПК ‹-СНЩ.
рХУФШ ФЕРЕТШ D = 2. уОПŒБ УЮЙФБЕН ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФХ РПФЕОГЙБМБ ОЕЪБŒЙУСЭЕК ПФ k: V (k) = −U0a2. хТБŒОЕОЙЕ ДМС F ЙНЕЕФ ŒЙД
F (") = −U0a2 + U0a2 |
h—2 |
|
F (") q2 |
2k2 |
i‹ (2ı)2 ; |
(3.32) |
|
2m |
|
|
ıq |
dq |
|
− −
ЗДЕ F УОПŒБ ЕУФШ ЖХОЛГЙС ФПМШЛП ". йОФЕЗТБМ
∞ dq2
(3.33)
q2 − k2 − i‹
0
МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС ОБ ŒЕТИОЕН РТЕДЕМЕ. оП ЬФП ОЕ УФТБЫОП: РТЙ q a−1 ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФБ V (k) ОБЮЙОБЕФ ВЩУФТП ПУГЙММЙТПŒБФШ, Й ЙОФЕЗТБМ У V (k) УИПДЙФ-
УС. уМЕДПŒБФЕМШОП, НПЦОП РПМШЪПŒБФШУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (3.33), ПВТЕЪБŒ ЕЗП ĂŒТХЮОХАĄ РТЙ q ≈ a−1:
a−2 |
|
dq2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i‹ = ıi + ln a2(k21+ i‹) : |
(3.34) |
|||||
q2 |
− |
k2 |
− |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
éÔÁË, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (") ≈ − |
|
|
|
U0a2 |
k2a2) = |
|
|||
|
|
|
ma2U = ıh2)ln( |
|
|||||
|
|
|
1 + (2 |
0 4 — 2 |
− |
|
|||
|
= − |
|
|
|
U0a |
|
|
||
|
1 + (mU0a2=2ıh—2)ln(−"ma2=h—2) : |
(3.35) |
|||||||
54 |
змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ |
|||
дЙУЛТЕФОЩК ХТПŒЕОШ |
h—2 |
2ıh—2 |
: |
|
|
|
|||
|
"0 ≈ −ma2 exp |
−ma2U0 |
(3.36) |
|
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ЙЪ-ЪБ ОЕЙЪŒЕУФОПЗП НОПЦЙФЕМС РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ, РПСŒЙŒЫЕЗПУС РТЙ ПВТЕЪБОЙЙ Œ БТЗХНЕОФЕ МПЗБТЙЖНБ, ХТПŒЕОШ "0 ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (3.36) ФПМШЛП РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ.
œ ТБЪНЕТОПУФЙ D > 2 ЙОФЕЗТБМ
a−1 qD−1dq
(3.37)
q2 − k2 − i‹
0
ПУФБЕФУС ЛПОЕЮОЩН РТЙ k → 0. рПЬФПНХ ДМС УМБВПЗП РПФЕОГЙБМБ F (") ОЕ ЙНЕЕФ РПМАУПŒ РТЙ |k| a−1, ЮФП ПЪОБЮБЕФ ПФУХФУФŒЙЕ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС.
тЕЫЕОЙЕ 13. рТПЙЪŒПДОХА @F=@" НПЦОП УŒСЪБФШ У F Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ, ФБЛ, ЮФП РПМХЮЙФУС ŒЩТБЦЕОЙЕ, УРТБŒЕДМЙŒПЕ РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН РПФЕОГЙБМЕ. дМС ЬФПЗП ОБДП РТПДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБФШ ТСД ОБ ТЙУ. 3.1 РПЮМЕООП (ТЙУ. 3.5).
dF |
= |
10 10 + 10 01 01 + 10 10 10 +... |
dE |
|
|
òÉÓ. 3.5
мЙОЙС У ЛТЕУФЙЛПН ПВПЪОБЮБЕФ:
@ |
= − |
1 |
= −G02 : |
|
@" G0 |
(" − p2=2m + i‹)2 |
(3.38) |
зТХРРЙТХС ЮМЕОЩ ЗТБЖЙЮЕУЛПЗП ТСДБ Й РПМШЪХСУШ ЗТБЖЙЮЕУЛЙН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН БНРМЙФХДЩ F (УН. ТЙУХОЛЙ 3.1, 3.4), ОБИПДЙН (ТЙУ. 3.6):
dF |
= |
01 |
111000 |
|
|
|
dE |
|
|
|
|||
01 |
1100 |
|
|
|
||
|
01 |
1100 |
|
|
|
|
òÉÓ. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
пФУАДБ: |
|
|
|
(" − q2=2m + i‹)2 |
(2ı)2 : |
(3.39) |
@" F"(k1; k2) = − |
||||||
@ |
|
|
|
F"(k1; q)F"(q; k2) |
d2q |
|
еЭЕ ТБЪ ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП (3.39) | ФПЮОЩК ТЕЪХМШФБФ, Б ОЕ РТЙВМЙЦЕООЩК.
юФПВЩ РТЙНЕОЙФШ УППФОПЫЕОЙЕ (3.39) Œ ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ПВМБУФЙ, ЪБНЕФЙН, ЮФП ЪБŒЙУЙНПУФШ F"(k1; k2) ÏÔ k1 É k2 ЙНЕЕФ ИБТБЛФЕТОЩК НБУЫФБВ k1;2 ≈ a−1. рПЬФПНХ