Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 791
Скачиваний: 1
3.3. теыеойс |
55 |
РТЙ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ |"| "a = h—2=(ma2) ЙОФЕЗТБМ РП q Œ (3.39) УИПДЙФУС Œ ПВМБУФЙ, ЗДЕ ЪБŒЙУЙНПУФШ F ПФ q ОЕУХЭЕУФŒЕООБ. œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ, РПМХЮБЕН
@ |
m |
|
@" F = − |
2ıh—2" F 2 : |
(3.40) |
тЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ЕУФШ:
F (") = m ln((" + i‹)="0) ; |
(3.41) |
ÇÄÅ "0 | ОЕЙЪŒЕУФОБС ЛПОУФБОФБ. фПЮЛБ ŒЕФŒМЕОЙС МПЗБТЙЖНБ РТЙ " = 0 УНЕЭЕОБ Œ ОЙЦОАА РПМХРМПУЛПУФШ, РПУЛПМШЛХ ŒНЕУФП " УФПЙФ " + i‹. лПОУФБОФБ "0 ŒЕЭЕУФŒЕООБ Й ПФТЙГБФЕМШОБ, РПУЛПМШЛХ РТЙ " < 0 БНРМЙФХДБ F ŒЕЭЕУФŒЕООБ. (юФПВЩ Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС, НПЦОП ЪБРЙУБФШ ЮМЕОЩ ТСДБ ДМС F , РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 3.1, Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, ЗДЕ ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЙНЕЕФ ŒЙД G"(r) = −(m=2ır) exp(−κr), κ2 = 2m". ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒЕЭЕУФŒЕООП РТЙ " < 0.)
åÓÌÉ "0 ОБИПДЙФУС Œ ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ПВМБУФЙ, |"0| "a, ФП РПМАУ РТЙ " = "0 ЙНЕЕФ ТЕБМШОЩК УНЩУМ, Й ЕНХ УППФŒЕФУФŒХЕФ ДЙУЛТЕФОЩК ХТПŒЕОШ. œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ РПМАУ ОБИПДЙФУС ŒОЕ ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК, ЗДЕ РТЙНЕОЙНП УДЕМБООПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ, Й РПЬФПНХ УНЩУМБ ОЕ ЙНЕЕФ. фБЛБС УЙФХБГЙС ŒПЪОЙЛБЕФ, ОБРТЙНЕТ, ДМС ТБУУЕСОЙС ОБ УМБВПН ПФФБМЛЙŒБАЭЕН РПФЕОГЙБМЕ, ЛПЗДБ "0 ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (3.36) У ПФТЙГБФЕМШОЩН U0.
тЕЫЕОЙЕ 14 a. уПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 11 ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ G = G0 + G0F G0, ЗДЕ БНРМЙФХДБ F ОБКДЕОБ Œ ЪБДБЮЕ 13. œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ
G("; p; p ) = (2ı)2 ‹(2) |
(p − p ) |
+ |
F (") |
: (3.42) |
" − p2=(2m) + i‹ |
|
[" − p2=(2m) + i‹][" − p 2 |
=(2m) + i‹] |
|
рПМПЦЙФЕМШОЩК ЪОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ i‹ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УПУФПСОЙС ОЕРТЕТЩŒОПЗП УРЕЛФТБ РХУФЩ. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП " ЬФЙ РПМАУЩ ОБДП ПВИПДЙФШ УŒЕТИХ. пУФБМПУШ ŒЩВТБФШ ПВИПД РПМАУБ Œ F (") РТЙ " = "0. ьФП УПУФПСОЙЕ ЪБРПМОЕОП, РПЬФПНХ УДŒЙЗБЕН РПМАУ ŒŒЕТИ: "0 → "0 + i‹. рПМХЮБЕН F (") = 2ıh—2=(m ln("="0)), РТЙЮЕН ПВИПД РПМАУБ " = "0 Й ФПЮЛЙ ŒЕФŒМЕОЙС " = 0 ФБЛПК, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 3.7.
E = E0 |
E = |
p 2 |
|
2m |
|||
|
|||
01 |
01 |
|
òÉÓ. 3.7
тЕЫЕОЙЕ 14 В. œЩТБЦБЕН ДЙРПМШОЩК НПНЕОФ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ:
P = e r n(r) d2r = −ie lim r G(t; r; r) d2r =
t→−0
56 |
r |
змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ |
||||||||||||
= |
|
|
· t→−0 |
|
( p1 |
|
p2) 2ıi |
(2ı)4 |
= |
|||||
|
e |
|
ei(p1−p2)r d2r |
lim |
e−i!t |
G !; |
; |
|
d! |
d2p1d2p2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
− |
ie |
|
‹ |
(p1 − p2) |
Res G(!; p ; p |
d2p1d2p2 |
; |
|
(3.43) |
||||
|
1 |
|
! |
1 |
2) |
(2ı)2 |
|
|
|
|||||
ЗДЕ УХННБ ŒЩЮЕФПŒ ВЕТЕФУС РП ŒУЕН РПМАУБН ! ЖХОЛГЙЙ G Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ", ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЪБРПМОЕООЩН ХТПŒОСН. йОФЕЗТЙТХС РП ЮБУФСН, РПМХЮБЕН
P = |
p |
! |
$p =p (2ı)2 |
|
|
|
|
|
|
$ |
d2p |
|
|
|
ie |
Res G(!; p; p ) |
$ |
|
: |
(3.44) |
|
|
|
$ |
|
|
|
дТХЗХА (ЬЛŒЙŒБМЕОФОХА) ЖПТНХ ЪБРЙУЙ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЕУМЙ ЪБНЕОЙФШ p ÎÁ p Й ЙЪНЕОЙФШ ЪОБЛ.
тЕЫЕОЙЕ 14Œ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН W = −eEx НЕОСЕФ ЖХОЛГЙА зТЙОБ:
GW = G + GW G + GW GW G + : : : ; |
(3.45) |
ÇÄÅ | ФПЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ = 0. зТБЖЙЮЕУЛЙ ЬФП НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ФБЛ
G E
(ÒÉÓ. 3.8):
GW = +
|
W |
|
W |
W |
|
+ |
|
10 |
+... |
01 |
|
01 |
10 |
|
01 |
|
|
|
|
F(E)
= + 0011
òÉÓ. 3.8
œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА W , МЙОЕКОПНХ РП ЛППТДЙОБФБН, УППФŒЕФУФŒХЕФ РТПЙЪŒПДОБС ‹-ЖХОЛГЙЙ:
W (p) = − |
eExe−ipr d2r = −ie(2ı)2E |
@ |
‹(2)(p) : |
(3.46) |
@px |
дМС ŒЩЮЙУМЕОЙС РПМСТЙЪХЕНПУФЙ ОХЦЕО МЙОЕКОЩК РП РПМА ЮМЕО ТСДБ (3.45). у ХЮЕФПН
3.3. теыеойс |
57 |
УФТХЛФХТЩ G, УПЗМБУОП (3.42), ЙНЕЕН 4 УМБЗБЕНЩИ (ТЙУ. 3.9): |
|
δ G |
W |
W |
F(E) |
= |
01 |
+ 10 |
1100 |
F(E) |
W |
+ 10 |
F(E) W |
F(E) |
+ 10 |
|
10 |
10 |
|
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
òÉÓ. 3.9
ðÅÒŒÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÅÓÔØ G0W G0. пОП ОЕ ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФЕК ОБД ЛПОФХТПН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ЬОЕТЗЙЙ Й, РПЬФПНХ, ДБЕФ ОХМЕŒПК ŒЛМБД. œЩЮЙУМЙН ПУФБМШОЩЕ ЮМЕОЩ.
œЩТБЦЕОЙЕ G W G F G |
(p; p ), УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ŒФПТПК ДЙБЗТБННЕ ТЙУ. 3.9, ЕУФШ: |
||||||||||
|
0 |
|
0 0 |
|
(2) |
|
|
(" − p12=2m + i‹)(" − p 2=2m + i‹) |
= |
||
|
(" − p2=2m + i‹) |
|
|||||||||
|
−ieE @=@px ‹ |
|
(p − p1) |
F (") |
|
d2p1 |
|||||
|
|
= |
‹(p1 − p) @p1x (" |
|
−p2=2m(+ i‹) × |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
ie E F ") |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ieE |
× (" − p12=2m + i‹) (" − p 2=2m + i‹) d2p1 |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
px |
|
|
|
|
= − m |
F (") (" − p2=2m + i‹)3(" − p 2=2m + i‹) |
: |
|
(3.47) |
|||||||
фТЕФШЕ УМБЗБЕНПЕ РПМХЮБЕФУС ЙЪ ŒФПТПЗП ЛПНРМЕЛУОЩН УПРТСЦЕОЙЕН Й РЕТЕУФБОПŒЛПК p Й p :
G0F G0W G0 |
(p; p ) = |
|
|
ieEp F (")=m |
: |
|
(" − p2=2m + i‹)(" − p 2=2m + i‹)3 |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
d p1 d p2 |
(p; p ) ÒÁŒÅÎ ÎÕÌÀ: |
|
||||
рПУМЕДОЙК ЗТБЖЙЛ G0F G0W G0F G0 |
|
|||||
ieEF 2(") |
(2ı)2 G0("; p)G0("; p2)G0("; p1)G0("; p ) 1x ‹(p2 |
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
= −ieEF 2(")G0("; p)G0("; p ) |
(2ı)2 |
(" − p12=2m + i‹)3 = 0 ; |
|
|||
|
|
|
|
d2p1 |
p1;x=m |
|
ЛБЛ ЙОФЕЗТБМ ПФ ОЕЮЕФОПК ЖХОЛГЙЙ. рПЬФПНХ
(3.48)
− p1) =
(3.49)
|
G |
!; |
; |
Res F (") ie E[p |
G |
" |
; |
p) |
G3 |
" |
; |
|
p |
G3 |
" |
; |
p) |
G |
|
" |
; |
|
: (3.50) |
|
Res |
( |
|
p p ) = |
"0 |
m x |
|
0( 0 |
|
0 |
( 0 |
|
p ) − |
x |
0 |
( 0 |
|
|
0 |
( 0 |
|
p )] |
|
||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йЪ-ЪБ ПФНЕЮЕООПК ŒЩЫЕ УЙННЕФТЙЙ РП ПФОПЫЕОЙА Л РЕТЕУФБОПŒЛЕ p Й p ПВБ УМБЗБЕНЩИ ДБАФ ПДЙОБЛПŒЩК ŒЛМБД Œ РПМСТЙЪХЕНПУФШ, РПУЛПМШЛХ Й Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.44)
58 |
змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ |
ДМС ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ P ЙНРХМШУЩ p Й p ŒИПДСФ УЙННЕФТЙЮОП. уМЕДПŒБФЕМШОП, ДПУФБФПЮОП ŒЪСФШ ФПМШЛП РЕТŒПЕ УМБЗБЕНПЕ Й ХДŒПЙФШ ПФŒЕФ:
Px = −2 m2 |
|
|
("0 |
− p2=2m + i‹)5 |
"0 |
(2ı)2 |
|
e2 |
E |
|
|
px2 |
Res F (") |
d2p : |
(3.51) |
л ФБЛПНХ ŒЩТБЦЕОЙА НПЦОП РТЙКФЙ ОЕУЛПМШЛП ВЩУФТЕЕ, ЕУМЙ ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ŒЕТЫЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН ХУФТПЕОБ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ (3.44). (œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ (3.50) ЕУФШ УŒЕТФЛБ РТПЙЪŒПДОПК ‹-ЖХОЛГЙЙ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ РП ЕЕ БТЗХНЕОФБН.) рПЬФПНХ ŒУЕ ŒЛМБДЩ Œ РПМСТЙЪХЕНПУФШ НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ЗТБЖЙЮЕУЛЙ ФБЛ (ТЙУ. 3.10):
χ = |
δ G |
òÉÓ. 3.10
ъДЕУШ ‹G ДБЕФУС УХННПК ЮЕФЩТЕИ УМБЗБЕНЩИ, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 3.9, Б ЫФТЙИПŒБС МЙОЙС ПВПЪОБЮБЕФ ‹(p) Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, ЙМЙ r | Œ ЛППТДЙОБФОПН. рЕТŒЩК ЗТБЖЙЛ ОБ ТЙУ. 3.9 ДБЕФ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЬОЕТЗЙСН, Б ЮЕФŒЕТФЩК, ЙЪ-ЪБ ОЕЮЕФОПУФЙ r, | ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЙНРХМШУБН. œФПТПК Й ФТЕФЙК ЗТБЖЙЛЙ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС Й ТБŒОЩ Œ УЙМХ УЙННЕФТЙЙ.
йФБЛ, РПМСТЙЪХЕНПУФШ
|
|
|
¸˛ |
m2 |
(p2 + κ2)5 |
"0 |
|
(2ı)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2e2 |
p¸p˛ (2m)5 |
Res F (") |
d2p |
; |
|
|
|
|
||
ÇÄÅ κ2 = 2m|"0|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œЩЮЙУМЙН Res F ("). рПМПЦЙŒ " = "0 + z, ТБЪМБЗБЕН |
|
|
|
|
|
|
||||||||
"0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F " |
) = |
|
|
2ı |
|
2ı"0 ; |
ПФЛХДБ |
Res |
= |
2ı"0 : |
|
|||
( |
m ln(1 + z="0) |
≈ mz |
|
|
"0 |
|
m |
|
|
|||||
оБИПДЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
26ı ‹¸˛ p3 dp |
16e2m2"0 |
+∞ x dx |
|
e2‹¸˛ |
|
|||||||
¸˛ = e2m2"0 |
|
(p2 + κ2)5 2ı |
|
= ‹¸˛ (2m"0)3 |
|
(x + 1)5 |
= |
6m"02 |
: |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(3.52)
(3.53)
(3.54)
œПУУФБОБŒМЙŒБС h— РП ТБЪНЕТОПУФЙ, РПМХЮБЕН = e2h—2=(6m"20).
тЕЫЕОЙЕ 15. уХННЙТХЕН ДЙБЗТБННЩ, ЙЪПВТБЦЕООЩЕ ОБ ТЙУ. 3.2. у ПДОПК УФПТП-
|
|
R |
|
A |
− |
F (k ; k), РПУЛПМШ- |
|
ОЩ, ТБУЛТЩŒБС РП МЙОЕКОПУФЙ Й ЗТХРРЙТХС ЮМЕОЩ, ЙНЕЕН F (k; k ) |
|
||||||
ЛХ ŒУЕ ПУФБМШОЩЕ ЮМЕОЩ, УПДЕТЦБЭЙЕ G |
|
Й G ПДОПŒТЕНЕООП, ŒЪБЙНОП УПЛТБЭБАФУС. |
|||||
у ДТХЗПК УФПТПОЩ, |
" − p2=2m − i‹ = −2ıi‹ " − p2=2m : |
|
|||||
GR − GA = " − p2=2m + i‹ − |
(3.55) |
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3.3. теыеойс
й ŒДПВБŒПЛ, РТЙ УПВЙТБОЙЙ ŒУЕИ ЗТБЖЙЛПŒ, УМЕŒБ ПФ GR − GA
F (k; k ), Á ÓÐÒÁŒÁ | F (k ; k): |
‹ " − q2 |
|
|
||
−2ıi |
F (k; q) F (k ; q) (2ı)3 |
=2m = |
|
||
= −2ıi |
d3q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (k; q) F (k ; q) q |
‹(|q| − |k|) do (2ı)3 |
= −(2ı)2 |
|||
|
|
m |
q2 dq |
imk |
|
59
ŒПЪОЙЛБЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ
(3.56)
F (k; q) F (k ; q) do :
уТБŒОЙŒБС, РПМХЮБЕН ФЕПТЕНХ ХОЙФБТОПУФЙ ДМС БНРМЙФХДЩ F :
F (k; k ) − F (k ; k) = −(2ı)2 |
|
F (k; q)F (k ; q) do : |
(3.57) |
imk |
|
|
|
уŒСЪШ У ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС, F = −(2ıh—2=m) f , ВЩМБ ОБКДЕОБ Œ ЪБДБЮЕ 11. œЩТБЦБС F ЮЕТЕЪ f , РТЙИПДЙН Л ФЕПТЕНЕ ХОЙФБТОПУФЙ (3.15).
рПŒФПТСС ŒЩŒПД Œ ДŒХНЕТОПН УМХЮБЕ, РПМХЮБЕН
F (k; k ) − F (k ; k) = −2ı |
F (k; q)F (k ; q) d„ : |
(3.58) |
im |
|
|
œ ТБЪНЕТОПУФЙ D = 2 УŒСЪШ F Й ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК БНРМЙФХДЩ f ДТХЗБС. юФПВЩ ЕЕ РПМХЮЙФШ, РПУФХРЙН ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 11. œПЪШНЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.21) ДМС ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ, k(r) = r|G0F |k , ŒЕТОПЕ Œ МАВПК ТБЪНЕТОПУФЙ, Й ОБКДЕН БУЙНРФПФЙЮЕУЛПЕ РПŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ G0:
G0("; r) = |
" − h— |
2p2=2m + i‹ (2ı)2 |
≈ −h—2 |
2ık|r|eik|r|+iı=4 |
(3.59) |
|
|
|
eipr |
d2p |
|
m |
|
ÐÒÉ k|r2|√→ ∞ (УН. ЪБДБЮХ 6 Л § 126 [2]). рПЬФПНХ РТЙ D = 2 БНРМЙФХДБ f = |
|||||
−(m=h— |
2ık) F . |
|
|
|
|
рПЬФПНХ ФЕПТЕНБ ХОЙФБТОПУФЙ РТЙ D = 2 ЗМБУЙФ: |
|
||||
|
f (k; k ) |
− |
f (k ; k) = i k |
f (k; q) f (k ; q) doq : |
(3.60) |
|
|
2ı |
|
|
|
пФНЕФЙН, ЮФП Œ ТБЪНЕТОПУФЙ D = 2 ВПМЕЕ ХДПВОП ŒЛМАЮБФШ НОПЦЙФЕМШ eiı=4 Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ, ЛБЛ ЬФП УДЕМБОП ŒЩЫЕ, Б ОЕ Œ БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС, ЛБЛ Œ [2]. рТЙ ФБЛПН ПРТЕДЕМЕОЙЙ f , УППФОПЫЕОЙЕ ХОЙФБТОПУФЙ РТЙОЙНБЕФ ОБЙВПМЕЕ РТПУФПК ŒЙД. рПУЛПМШЛХ БНРМЙФХДБ f ЕУФШ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЕ, ŒЛМАЮБФШ ЖБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ f ЙМЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ | ДЕМП ŒЛХУБ.
œПУРПМШЪХЕНУС УМХЮБЕН, ЮФПВЩ ЕЭЕ ТБЪ ПФНЕФЙФШ УХЭЕУФŒЕООХА ТБЪОЙГХ НЕЦДХ ПВЩЮОПК БНРМЙФХДПК f Й БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС Œ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ОПТНЙТПŒЛЕ F (ĂХЦЙТОЕООПК ŒЕТЫЙОПКĄ). пРТЕДЕМЕОЙЕ БНРМЙФХДЩ F ОЕ ДПРХУЛБЕФ ОЙЛБЛПЗП РТПЙЪŒПМБ, РПУЛПМШЛХ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒЩВПТБ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ.