Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

ДŒХИЮБУФЙЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

U (x − x ) = U (r − r ; t − t ) : (4.3) œППВЭЕ ЗПŒПТС, ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН.

1)œУЕ ДЙБЗТБННЩ УФТПСФУС ЙЪ ДŒХИ ЬМЕНЕОФПŒ: РТПУФЩИ МЙОЙК, ПРЙУЩŒБАЭЙИ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЮБУФЙГ, Й ŒПМОЙУФЩИ, ПРЙУЩŒБАЭЙИ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ОЙНЙ.

2)дŒЕ РТПУФЩЕ МЙОЙЙ Й ПДОБ ŒПМОЙУФБС УПЕДЙОСАФУС Œ ŒЕТЫЙОБИ.

3)n{Х РПТСДЛХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК УППФŒЕФУФŒХАФ ДЙБЗТБННЩ У 2n ŒЕТЫЙОБНЙ. еУМЙ ТЕЮШ ЙДЕФ П ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ФП ДЙБЗТБННБ ДПМЦОБ ЙНЕФШ ТПŒОП ДŒБ ŒОЕЫОЙИ ЛПОГБ.

4)œУЕ ДЙБЗТБННЩ ДПМЦОЩ ВЩФШ УŒСЪОЩНЙ, Ф. Е. ОЕ ДПМЦОЩ ТБУРБДБФШУС ОБ ПФДЕМШОЩЕ ЮБУФЙ, ОЕ УПЕДЙОЕООЩЕ НЕЦДХ УПВПК ОЙ ПДОПК МЙОЙЕК.

5)лБЦДПК РТПУФПК МЙОЙЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ G0(x−x ), ЗДЕ x | ОБЮБМШОБС ФПЮЛБ, x | ЛПОЕЮОБС. лБЦДПК ŒПМОЙУФПК МЙОЙЙ УПРПУФБŒМСЕФУС НОПЦЙФЕМШ

U (x − x ).

6)œЩТБЦЕОЙЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДБООПК ДЙБЗТБННЕ, УМЕДХЕФ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ЛППТДЙОБФБН ЕЕ ŒЕТЫЙО.

7)рПУМЕ ЬФПЗП ПФŒЕФ УМЕДХЕФ ХНОПЦЙФШ ОБ in (−1)F , ЗДЕ n | ЮЙУМП ŒПМОЙУФЩИ МЙОЙК, Б F | ЮЙУМП ЪБНЛОХФЩИ РЕФЕМШ, ПФŒЕЮБАЭЙИ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГБН.

рТЙНЕТЩ ДЙБЗТБНН РПЛБЪБОЩ ОБ ТЙУ. 4.2.

òÉÓ. 4.2

ьФЙН ДЙБЗТБННБН УППФŒЕФУФŒХАФ ФБЛЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС:

‹Ga = i d4x1 d4x2 G(x1 − x) G(x2 − x1) G(x − x2) U (x2 − x1) ;

‹Gb = −i d4x1 d4x2 G(x1 − x) G(0) G(x − x1) U (x2 − x1) ;

‹Gc = d4x1 d4x2 d4x3 d4x4G(x3 − x4) G(x4 − x3) ×

×G(x2 − x1) G(x − x2) G(x1 − x) U (x3 − x1) U (x4 − x2) ; ‹Gd = − d4x1 d4x2 d4x3 d4x4G(x3 − x2) G(x4 − x3) ×

×G(x2 − x1) G(x − x4) G(x1 − x) U (x4 − x1) U (x3 − x2) :

дПŒПМШОП ЮБУФП ХДПВОЩН ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕ ЛППТДЙОБФОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ, Б ЙНРХМШУОПЕ. рТБŒЙМБ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПЛБЪЩŒБАФУС РПЮФЙ ФБЛЙНЙ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЛППТДЙОБФОПН. œНЕУФП ЖХОЛГЙК зТЙОБ Й РПФЕОГЙБМПŒ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБДП ЙУРПМШЪПŒБФШ ЙИ ЖХТШЕ-ПВТБЪЩ. рТЙ ЬФПН ЛБЦДПК ŒЕТЫЙОЕ УПРПУФБŒМСЕФУС НОПЦЙФЕМШ (2ı)4‹(p1 + k − p2), ПРТЕДЕМСАЭЙК УŒСЪШ НЕЦДХ 4-ЙНРХМШУБНЙ p1 É p2 ЖХОЛГЙК зТЙОБ ЮБУФЙГ, Й 4-ЙНРХМШУПН k МЙОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. рП ŒУЕН ОЕЪБŒЙУЙНЩН 4-ЙНРХМШУБН РТПЙЪŒПДЙФУС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ.

тБЪМЙЮОЩЕ ДЙБЗТБННЩ ХДПВОП РТЕДУФБŒМСФШ УЕВЕ ЛБЛ ŒЛМБДЩ Œ БНРМЙФХДХ РЕТЕИПДБ ЮБУФЙГ НЕЦДХ ФПЮЛБНЙ x Й x . оБРТЙНЕТ, РЕТЕИПД, РТЙ ЛПФПТПН ОЕ РТПЙУИПДЙФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ДТХЗЙНЙ ЮБУФЙГБНЙ УЙУФЕНЩ, ЙЪПВТБЦБЕФУС УŒПВПДОПК ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ, Б РЕТЕИПДБН У ТБУУЕСОЙЕН ОБ ДТХЗЙИ ЮБУФЙГБИ УППФŒЕФУФŒХАФ ДЙБЗТБННЩ, РПДПВОЩЕ b) Й c ОБ ТЙУ. 4.2. дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ РПЪŒПМСЕФ ДХНБФШ П НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ ЪБДБЮБИ ОБ ĂПДОПЮБУФЙЮОПН СЪЩЛЕĄ.

дŒБ ПУОПŒОЩИ ŒЙДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ, ЙНЕАЭЙИ ЪОБЮЕОЙЕ Œ ЖЙЪЙЛЕ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ, | ЬФП ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБ УЮЕФ ПВНЕОБ ЖПОПОБНЙ. лХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ УТЕДЕ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛХА РТПОЙГБЕНПУФШ "(!). œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ

юБУФПФОБС ДЙУРЕТУЙС "(!) ДЕМБЕФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН:

ьФП ĂЛŒБЪЙУФБФЙЮЕУЛПЕĄ ŒЩТБЦЕОЙЕ УРТБŒЕДМЙŒП РТЙ |r − r | c|t − t |. ъБРБЪДЩŒБОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТЙŒПДЙФ Л ФБЛЙН ЖЙЪЙЮЕУЛЙН ЬЖЖЕЛФБН, ЛБЛ РЕТЕОПТНЙТПŒЛБ НБУУЩ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС (УН. ЪБДБЮХ 19).

œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ ŒУМЕДУФŒЙЕ ЙУРХУЛБОЙС Й РПЗМПЭЕОЙС ЖПОПОПŒ, ЪБŒЙУЙФ ПФ ФЙРБ ЖПОПОПŒ, Б ФБЛЦЕ ПФ ИБТБЛФЕТБ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

Œ УЙУФЕНЕ (РПДТПВОЕЕ УН. ЗМ. 6). œ ЛБЮЕУФŒЕ РТПУФЕКЫЕК, ОП Œ ФП ЦЕ ŒТЕНС ТЕБМЙУФЙЮОПК НПДЕМЙ НЩ ТБУУНПФТЙН БЛХУФЙЮЕУЛЙЕ ЖПОПОЩ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙЕ У ЬМЕЛФТПОБНЙ РПУТЕДУФŒПН ДЕЖПТНБГЙПООПЗП РПФЕОГЙБМБ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

ЗДЕ g | ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Б

!2(k)

D(!; k) = 0 (4.7) !2 − !02(k) + i0

| ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЖПОПОПŒ. дМС БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ !0(k) = c|k|, ЗДЕ c | УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ (РПДТПВОЕЕ П ЖПОПОБИ Й ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ | УН. ТБЪД. 6.1).

4.1.1. вМПЮОПЕ УХННЙТПŒБОЙЕ.

œ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ НПЦОП ОЕ ФПМШЛП ŒЩРЙУЩŒБФШ ŒЛМБД ДБООПЗП РПТСДЛБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ОП Й УХННЙТПŒБФШ ОЕЛПФПТЩЕ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЙ ЮМЕОПŒ ТСДБ. рТЙ

ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС ДПУФБФПЮОЩН ŒЩЮЙУМЙФШ ПФОПУЙФЕМШОП ОЕВПМШЫПЕ ЛПМЙЮЕУФŒП ДЙБЗТБНН (ВМПЛПŒ), РПУМЕ ЮЕЗП НПЦОП УХННЙТПŒБФШ ПВТБЪПŒБООЩЕ ЙЪ ОЙИ РПУМЕДПŒБФЕМШ-

ОПУФЙ, РПДУФБŒМСФШ ЙИ Œ ДТХЗЙЕ ДЙБЗТБННЩ Й Ф. Д.

фЕИОЙЛБ ВМПЮОПЗП УХННЙТПŒБОЙС ПРЙТБЕФУС ОБ ЛМБУУЙЖЙЛБГЙА ДЙБЗТБНН ОБ РТЙŒПДЙНЩЕ Й ОЕРТЙŒПДЙНЩЕ. оЕРТЙŒПДЙНПК ОБЪЩŒБЕФУС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС

ЮБУФШ, ЛПФПТБС ОЕ ТБУРБДБЕФУС РТЙ РЕТЕТЕЪБОЙЙ ОЙ ПДОПК ЙЪ МЙОЙК ЮБУФЙГ. œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ ДЙБЗТБННБ ОБЪЩŒБЕФУС РТЙŒПДЙНПК.

вМПЮОПЕ УХННЙТПŒБОЙЕ ДМС ПДОПЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ŒЩРПМОСЕФУС ФБЛ. тБУУНПФТЙН РТПЙЪŒПМШОХА ДЙБЗТБННХ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G("; p). пОБ МЙВП РТЙŒПДЙНБ, МЙВП ОЕФ. еУМЙ ПОБ РТЙŒПДЙНБ, ФП ТБЪДЕМЙН ЕЕ ОБ ДŒЕ ЮБУФЙ, УПЕДЙОЕООЩЕ ПДОПК МЙОЙЕК. лБЦДБС ЙЪ ЬФЙИ ЮБУФЕК МЙВП РТЙŒПДЙНБ, МЙВП ОЕФ. вХДЕН ДТПВЙФШ ФБЛЙН УРПУПВПН РТЙŒПДЙНЩЕ ДЙБЗТБННЩ ДП ФЕИ РПТ, РПЛБ РТПГЕУУ ОЕ ЪБЛПОЮЙФУС. мАВБС ДЙБЗТБННБ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦЕФ ВЩФШ УИЕНБФЙЮЕУЛЙ РТЕДУФБŒМЕОБ ЛБЛ ПДОБ ЙЪ ДЙБЗТБНН ОБ ТЙУ. 4.3:

òÉÓ. 4.3

лТХЦЛЙ ОБ ТЙУ. 4.3 НПЗХФ ЙЪПВТБЦБФШ МАВЩЕ ОЕРТЙŒПДЙНЩЕ ДЙБЗТБННЩ, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 4.4. уХННБ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЙ ŒУЕИ ОЕРТЙŒПДЙНЩИ ДЙБЗТБНН ОБЪЩŒБЕФУС

дБМЕЕ НПЦОП РПДУФБŒМСФШ РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС G("; p) Œ ДТХЗЙЕ ДЙБЗТБННЩ ŒНЕУФП G0("; p). зТБЖЙЮЕУЛЙ ЬФП ЙЪПВТБЦБАФ, ТЙУХС ŒНЕУФП УŒЕФМПК МЙОЙЙ ЦЙТОХА.

нПЦЕФ ŒПЪОЙЛОХФШ ŒПРТПУ, ЪБЮЕН ŒППВЭЕ УХННЙТПŒБФШ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБНН ЙЪ ТБЪОЩИ РПТСДЛПŒ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. дЕМП Œ ФПН, ЮФП ЖХОЛГЙС зТЙОБ G("; p) ПВЩЮОП РТЕДУФБŒМСЕФ ЙОФЕТЕУ ŒВМЙЪЙ УŒПЕЗП РПМАУБ (УН. (4.12)). œ ЬФПК ПВМБУФЙ ТБЪМЙЮОЩЕ ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 4.5 ОБ УБНПН ДЕМЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ПДОПЗП РПТСДЛБ. б УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ЙНЕЕФ, ЛБЛ РТБŒЙМП, ОЕ ПЮЕОШ УЙОЗХМСТОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ. рПЬФПНХ ЕЕ НПЦОП ЙЪХЮБФШ У РПНПЭША ПДОПЗП ЙМЙ ОЕУЛПМШЛЙИ РЕТŒЩИ ЮМЕОПŒ ТСДБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК.

4.2.рПМАУЩ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ | УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ

нЩ ПРЙУБМЙ ЖПТНБМЙЪН ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ, ОЕ ХФПЮОСС, П ЛБЛПК ЪБДБЮЕ ЙДЕФ ТЕЮШ | ПДОПЮБУФЙЮОПК ЙМЙ НОПЗПЮБУФЙЮОПК. жХОЛГЙЙ зТЙОБ РПЪŒПМСАФ МЕЗЛП РЕТЕИПДЙФШ ПФ ПДОПК ЪБДБЮЙ Л ДТХЗПК. тБЪОЙГБ НЕЦДХ ЬФЙНЙ ДŒХНС УМХЮБСНЙ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ УФТХЛФХТЕ ЪБФТБŒПЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (4.1). дМС ЖЕТНЙ-ЗБЪБ НОЙНБС ЮБУФШ

ÇÄÅ p0 | ЙНРХМШУ жЕТНЙ (ЬФЙН ŒЩТБЦБЕФУС ФП, ЮФП ŒУЕ УПУФПСОЙС У |p| < p0 ЪБРПМОЕОЩ, Б ПУФБМШОЩЕ РХУФЩ). фБЛБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ХЮЙФЩŒБЕФ ФП ПВУФПСФЕМШУФŒП, ЮФП РТЙ |p| > p0 ŒПЪВХЦДЕОЙСНЙ СŒМСАФУС ЮБУФЙГЩ, Б РТЙ |p| < p0 | ДЩТЛЙ.

еУМЙ ЦЕ ТЕЮШ ЙДЕФ ПВ ПДОПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮЕ, ФП УМЕДХЕФ УЮЙФБФШ ‹(p) > 0 ДМС ŒУЕИ p, РПУЛПМШЛХ ŒУЕ УПУФПСОЙС РХУФЩ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ДЙБЗТБННОЩК ТСД УЙМШОП ХРТПЭБЕФУС. дЕМП Œ ФПН, ЮФП Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ У ЪБНЛОХФЩНЙ ЬМЕЛФТПООЩНЙ РЕФМСНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС ТБŒОЩ ОХМА. жПТНБМШОП ЬФП РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ РП ЮБУФПФЕ Œ МАВПК РЕФМЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, РПУЛПМШЛХ РПМАУЩ ŒУЕИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ОБИПДСФУС Œ ПДОПК Й ФПК ЦЕ РПМХРМПУЛПУФЙ ЛПНРМЕЛУОПК ЮБУФПФЩ. жЙЪЙЮЕУЛХА РТЙЮЙОХ ПВТБЭЕОЙС РЕФЕМШ Œ ОХМШ НПЦОП РПСУОЙФШ, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ЪБНЛОХФЩЕ РЕФМЙ ПРЙУЩŒБАФ ТПЦДЕОЙЕ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. œ ПДОПЮБУФЙЮОПК ЦЕ УЙУФЕНЕ ТПЦДЕОЙЕ РБТ ОЕŒПЪНПЦОП.

жХОЛГЙС зТЙОБ (4.10) ЙНЕЕФ РПМАУ, ЕУМЙ " Й p ХДПŒМЕФŒПТСАФ ХТБŒОЕОЙА

œПДОПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮЕ РПМАУЩ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПРТЕДЕМСАФ ŒЕУШ УРЕЛФТ УЙУФЕНЩ.

œНОПЗПЮБУФЙЮОПК ЦЕ ЪБДБЮЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РПМАУЩ G("; p) ПРТЕДЕМСАФ ОЕ ŒЕУШ УРЕЛФТ, Б ФПМШЛП ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩЕ ПДОПЮБУФЙЮОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС.

œФПЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ

G("; p) = −i T (r; t) +(0; 0) ei"t−ipr d3r dt ; (4.13)

ŒЩЮЙУМЕООПК У ХЮЕФПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ПВЩЮОП ŒЩДЕМСАФ ŒЛМБД ЬМЕНЕОФБТОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК ЙМЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ | РПМАУЩ Œ ЛПНРМЕЛУОПК РМПУЛПУФЙ ", ТБУРПМПЦЕООЩЕ