Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 754
Скачиваний: 0
40 |
змбœб 2. жхолгйс зтйоб |
ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ РП dnq ВЕТЕФУС РП ПВМБУФЙ −ı < qi < ı (i = 1; : : : ; n), Б ЙОФЕЗТБМ РП z | РП МАВПНХ ЛПОФХТХ, ПИŒБФЩŒБАЭЕНХ ФПЮЛХ z = 0.
фЕРЕТШ, ЮФПВЩ ОБКФЙ ŒЕТПСФОПУФШ ВМХЦДБОЙК ВЕЪ ŒПЪŒТБФБ Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ, ОЕНОПЗП НПДЙЖЙГЙТХЕН РТБŒЙМБ ЙЗТЩ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЮБУФЙГБ ВМХЦДБЕФ УМХЮБКОП, ЛБЛ Й ТБОШЫЕ, ОП, ЛБЛ ФПМШЛП ПОБ РПРБДБЕФ Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ, ЕЕ ĂХДБМСАФ У РПМСĄ. œ ЬФПН УМХЮБЕ УŒСЪШ НЕЦДХ p(t + 1; x) Й p(t; x) ВХДЕФ ФБЛБС:
p(t + 1; x) = |
2n |
|
x =1 p(t; x ) ÐÒÉ |
x = 0, |
(2.86) |
||
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
| − | |
ÐÒÉ |
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
рЕТЕИПДС Л ЖХТШЕ-ПВТБЪХ p(t; q), РПМХЮБЕН |
W (k) p(t; k) (2ı)n : |
|
|
||||
p(t + 1; q) = W (q) p(t; q) − |
(2.87) |
||||||
|
|
|
|
|
dnk |
|
|
~ |
|
t |
p(t; q) РПМХЮБЕФУС ХНОПЦЕОЙЕН (2.86) ОБ z |
t+1 |
|||
рТПЙЪŒПДСЭБС ЖХОЛГЙС G(z; q) = |
t 0 |
z |
|
||||
Й УХННЙТПŒБОЙЕН РП t 0. оБИПДЙН |
|
|
W (k) G~(z; k) (2ı)n |
|
|
||
G~(z; q) (1 − zW (q)) = 1 − z |
(2.88) |
||||||
|
|
|
|
|
dnk |
|
|
ьФП ХТБŒОЕОЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:
G~(z; q) = G(z; q) + G(z; q) |
˚(z; k) G~(z; k) (2ı)n ; |
(2.89) |
|
dnk |
|
ÇÄÅ ˚(z; k) = G−1(z; k) − 1. (ъБНЕФЙН, ЮФП РП ЖПТНЕ ХТБŒОЕОЙЕ (2.89) ОБРПНЙОБЕФ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ (4.9).)
йЭЕН ТЕЫЕОЙЕ (2.89) Œ ŒЙДЕ
~ |
–(z) G(z; q) ; |
|
(2.90) |
G(z; q) = |
|
||
ЗДЕ –(z) | ОЕЛПФПТБС ЖХОЛГЙС z. рПДУФБŒМСС (2.90) Œ (2.89), ОБИПДЙН |
|
||
–(z) = 1 − –(z) (G(z; q) − 1) (2ı)n ; |
(2.91) |
||
|
|
dnq |
|
ПФЛХДБ |
dnq |
|
|
–−1(z) = |
|
|
|
G(z; q) (2ı)n |
: |
(2.92) |
|
тБУУНПФТЙН ŒЕТПСФОПУФШ Pt ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ЪБ t ЫБЗПŒ ОЙ ТБЪХ ОЕ ŒЕТОХМБУШ Œ |
||||
|
|
ztPt, ÏÞÅŒÉÄÎÏ, ÅÓÔØ |
|
|
ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ. рТПЙЪŒПДСЭБС ЖХОЛГЙС F (z) = |
|
|||
|
t 0 |
|
|
|
~ |
–(z) |
|
|
|
F (z) = G(z; q = 0) = |
1 − z |
: |
(2.93) |
|
2.3. теыеойс |
|
|
|
|
|
41 |
|
оБИПДЙН ŒЕТПСФОПУФШ |
1 |
|
dz –(z) |
|
|
||
Pt = |
; |
(2.94) |
|||||
2ıi |
zt+1 1 z |
||||||
|
|
| | |
=r |
− |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||
ЗДЕ –(z) ДБЕФУС (2.92), Б ТБДЙХУ ЛПОФХТБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС r < 1.
дМС ОБИПЦДЕОЙС ŒЕТПСФОПУФЙ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ОЙЛПЗДБ ОЕ ŒЕТОЕФУС Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ, ОЕПВИПДЙНП РЕТЕКФЙ Œ (2.94) Л РТЕДЕМХ t → ∞. ьФП ХДПВОП УДЕМБФШ,
ТБУУНПФТЕŒ |
|
+ : : : + at−1Pt−1) = 2ıi |
|
(1− z)(z |
a) dz ; |
|
||
Pa;t = At(P0 |
+ aP1 |
(2.95) |
||||||
|
|
At |
|
|
(1 |
atz−t)–(z) |
|
|
|
|
|
z |
=r |
|
− |
− |
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
ЗДЕ a | ŒУРПНПЗБФЕМШОЩК РБТБНЕФТ, (1 + a + ::: + at−1)−1 = (1 − a)=(1 − at).
РТЙОЙНБАЭЙК ЪОБЮЕОЙС 0 < a < r, Б At = рЕТЕИПДС Œ (2.95) Л РТЕДЕМХ t → ∞, РПМХЮБЕН
a |
2ıi |
|
(1 |
z)(z |
|
a) |
|
|
P = |
1 − a |
|
|
–(z) dz |
; |
(2.96) |
||
|
|
z |
=r |
− |
|
− |
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
тБУУНПФТЙН ЛПОФХТОЩК ЙОФЕЗТБМ (2.96). жХОЛГЙС –(z) БОБМЙФЙЮОБ ŒОХФТЙ ЕДЙОЙЮОПЗП ЛТХЗБ, РПЬФПНХ ŒОХФТЙ ЛПОФХТБ |z| = r РПДЙОФЕЗТБМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (2.96) ЙНЕЕФ ПДЙО РТПУФПК РПМАУ z = a. œЩЮЕФ Œ ФПЮЛЕ z = a ЕУФШ –(a), Й РПЬФПНХ Pa = –(a).
йУЛПНБС ŒЕТПСФОПУФШ ОЕŒПЪŒТБЭЕОЙС, УПЗМБУОП (2.95), ЕУФШ lim Pa . уМЕДПŒБФЕМШОП,
a→1
P = –(a)a→1 = |
G(1; q) (2ı)n |
: |
(2.97) |
|
dnq |
−1 |
|
рТЙ n 2 ЙОФЕЗТБМ Œ (2.97) ТБУИПДЙФУС ОБ НБМЩИ q, РПЬФПНХ ŒЕТПСФОПУФШ ОЕŒПЪŒТБ-
ЭЕОЙС P = 0. |
√n, |
œ ДТХЗПН РТЕДЕМЕ, РТЙ n → ∞, ŒЕМЙЮЙОБ УХННЩ ЛПУЙОХУПŒ Œ W (q) РПТСДЛБ |
УПЗМБУОП ЪБЛПОХ ВПМШЫЙИ ЮЙУЕМ. (ьФП УРТБŒЕДМЙŒП ОЕ ДМС ŒУЕИ q, Б ФПМШЛП ДМС ĂФЙРЙЮОЩИĄ, ОП ДМС ПГЕОЛЙ ЙОФЕЗТБМБ Œ (2.97) ЬФПЗП ДПУФБФПЮОП.) ъБНЕОСС Œ G(1; q) ŒЕМЙЮЙОХ 1 − W (q) ОБ 1, ОБИПДЙН, ЮФП РТЙ ВПМШЫЙИ n ŒЕТПСФОПУФШ ОЕŒПЪŒТБЭЕОЙС P → 1.
тЕЫЕОЙЕ 10. дМС ФПЗП ЮФПВЩ ОБКФЙ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ УЕФЛЙ НЕЦДХ ДŒХНС РТПЙЪŒПМШОЩНЙ ХЪМБНЙ, УОБЮБМБ ТБУУНПФТЙН ВПМЕЕ РТПУФХА УЙФХБГЙА. дПРХУФЙН, ЮФП ФПЛ I ŒФЕЛБЕФ Œ ХЪЕМ x = 0 Й ТБУФЕЛБЕФУС ОБ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ. оБКДЕН ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РПФЕОГЙБМБ ’(x) ОБ ХЪМБИ. хУМПŒЙЕ УПИТБОЕОЙС ФПЛБ (ЪБЛПО лЙТИЗПЖБ) ЗМБУЙФ:
x x =1 |
|
− |
|
I; |
x = 0, |
|
| − | |
(’(x) |
|
’(x ))=R = |
0; |
x = 0, |
(2.98) |
|
|
|
|
|
|
ЗДЕ УХННБ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 9, ВЕТЕФУС РП ВМЙЦБКЫЙН УПУЕДСН x ХЪМБ x. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (2.98), РП УХЭЕУФŒХ, ПРТЕДЕМСЕФ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ПРЕТБФПТБ мБРМБУБ ОБ ТЕЫЕФЛЕ.
42 |
çìáœá 2. |
жхолгйс зтйоб |
|
рТЙ РЕТЕИПДЕ Л ЖХТШЕ-ПВТБЪХ ХТБŒОЕОЙЕ (2.98) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД |
|
||
’(q) [2n − 2(cos q1 + : : : + cos qn)] =R = I ; |
|
(2.99) |
|
ЙМЙ, ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ, |
= IR G(1; q) : |
|
|
’(q) |
|
(2.100) |
|
|
2n |
|
|
фП, ЮФП ЖХОЛГЙС зТЙОБ ХТБŒОЕОЙС мБРМБУБ ПЛБЪБМБУШ УŒСЪБОБ УП УМХЮБКОЩНЙ ВМХЦДБОЙСНЙ, УПŒЕТЫЕООП ОЕ ХДЙŒЙФЕМШОП, РПУЛПМШЛХ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ŒЕТПСФОПУФЙ ДМС ВМХЦДБОЙК РПДЮЙОСЕФУС ХТБŒОЕОЙА ДЙЖЖХЪЙЙ, ЪБРЙУЩŒБАЭЕНХУС ЮЕТЕЪ n{НЕТОЩК ПРЕТБФПТ мБРМБУБ (Œ ДБООПН УМХЮБЕ ТЕЫЕФПЮОЩК).
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ВПМЕЕ УМПЦОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ФПЛПŒ Й РПФЕОГЙБМПŒ, ЛПФПТПЕ ŒПЪОЙЛБЕФ, ЛПЗДБ ФПЛ I ŒФЕЛБЕФ Œ ХЪЕМ 0, Й ФБЛПК ЦЕ ФПЛ ŒЩФЕЛБЕФ ЮЕТЕЪ ХЪЕМ a. рПФЕОГЙБМ Œ ЬФПН УМХЮБЕ НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ ’(x), РПМШЪХСУШ МЙОЕКОПУФША ЪБЛПОБ
лЙТИЗПЖБ (Ф. Е. РТЙОГЙРПН УХРЕТРПЪЙГЙЙ). оБИПДЙН |
|
’ (x) = ’(x) − ’(x − a) : |
(2.101) |
дМС ПРТЕДЕМЕОЙС УПРТПФЙŒМЕОЙС НЕЦДХ ХЪМБНЙ 0 Й a ОБКДЕН ТБЪОПУФШ РПФЕОГЙБМПŒ НЕЦДХ ЬФЙНЙ ХЪМБНЙ:
´’ = ’ (0) − ’ (a) = 2’(0) − ’(a) − ’(−a) : |
(2.102) |
йУЛПНПЕ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЕУФШ ´’=I. у РПНПЭША ПВТБФОПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС жХТШЕ ŒЩТБЦБЕН ’(0) Й ’(±a) ЮЕТЕЪ ЖХТШЕ-ПВТБЪ (2.100), Й РПМХЮБЕН
Ra = |
R |
|
(1 − eiqa) G(1; q) |
dnq |
; |
(2.103) |
n |
(2ı)n |
ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 9, ВЕТЕФУС РП ЪПОЕ вТЙММАЬОБ −ı < qi ı, i = 1; :::; n.
нЕФПДПН ЪБДБЮЙ 9 НПЦОП РПЛБЪБФШ, ЮФП УПРТПФЙŒМЕОЙЕ НЕЦДХ ХЪМБНЙ ТЕЫЕФЛЙ ЙНЕЕФ РТПУФХА ŒЕТПСФОПУФОХА ЙОФЕТРТЕФБГЙА. б ЙНЕООП, Ra ÅÓÔØ n1 R, ДЕМЕООПЕ ОБ ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП РТЙ УМХЮБКОПН ВМХЦДБОЙЙ, ОБЮЙОБАЭЕНУС Œ ФПЮЛЕ 0, ЮБУФЙГБ РПРБДБЕФ Œ ФПЮЛХ a ДП ФПЗП, ЛБЛ ŒПЪŒТБЭБЕФУС Œ ФПЮЛХ 0.
тБУУНПФТЙН УПРТПФЙŒМЕОЙЕ НЕЦДХ ДŒХНС ХДБМЕООЩНЙ ФПЮЛБНЙ. œ ЙОФЕЗТБМЕ (2.103) РТЙ |a| 1 ŒЛМБД ВЩУФТП ПУГЙММЙТХАЭЕК ЬЛУРПОЕОФЩ eiqa НБМ. рТЕОЕВТЕЗБС ЙН, РПМХЮБЕН ФБЛПЕ ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЛБЛ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ (2.97) Œ ЪБДБЮЕ 9, Й ОБИПДЙН УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ Ra→∞ É P :
R |
= |
R |
(n > 2) : |
(2.104) |
a→∞ |
|
nP |
|
|
ьФПФ ТЕЪХМШФБФ УРТБŒЕДМЙŒ ФПМШЛП РТЙ n > 2, РПУЛПМШЛХ РТЙ n 2 ŒЕТПСФОПУФШ P ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ (ЙОФЕЗТБМ Œ (2.97) ТБУИПДЙФУС). пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП Œ ЬФПК ЪБДБЮЕ ĂЛТЙФЙЮЕУЛБС ТБЪНЕТОПУФШĄ nc = 2 ПЛБЪЩŒБЕФУС ФБЛПК ЦЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 9 П УМХЮБКОЩИ ВМХЦДБОЙСИ. ьФП ОЕ УМХЮБКОП, РПУЛПМШЛХ, ЛБЛ ХЦЕ ПФНЕЮБМПУШ, Й Œ ФПН Й Œ ДТХЗПН УМХЮБЕ ТЕЮШ ЙДЕФ П ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ n{НЕТОПЗП ХТБŒОЕОЙС мБРМБУБ.
2.3. теыеойс |
43 |
рТЙ n = 2 ЙОФЕЗТБМ (2.103) ДМС Ra 1 ПРТЕДЕМСЕФУС НБМЩНЙ q. тБЪМБЗБС cos qi =
1 − qi2=2 + : : :, ОБИПДЙН У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША |
|
|
|
Ra 1 = |
R |
|
|
2ı ln |a| (n = 2) |
: |
(2.105) |
|
л ФБЛПНХ ЦЕ ПФŒЕФХ РТЙŒПДЙФ ТБУУНПФТЕОЙЕ Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ОЕРТЕТЩŒОПК УТЕДЩ, УРТБŒЕДМЙŒПН РТЙ |a| 1, Œ ЛПФПТПН (2.105) ЕУФШ РТПУФП ТЕЫЕОЙЕ ДŒХНЕТОПЗП ХТБŒОЕОЙС мБРМБУБ.
дМС ДŒХНЕТОПК УЕФЛЙ ЙОФЕТЕУОП ОБКФЙ УПРТПФЙŒМЕОЙС НЕЦДХ ВМЙЪЛЙНЙ ХЪМБНЙ. ьФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ, ŒЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ (2.103). фБЛ, ОБРТЙНЕТ,
2 |
|
|
1 |
|
|
21 |
(cos „1 + cos „2) (2ı)2 |
2ı |
|
|
|
sin „+ |
|
||
Rmm = R |
ı |
ı |
|
− |
1 |
− eim(„1+„2) |
d„1d„2 = |
R |
|
ı |
1 − e2im„+ d„+ = (2.106) |
||||
−ı−ı |
|
|
du = ı R 1 + |
3 + : : : + |
|
0 |
|
1 |
: |
(2.107) |
|||||
= ı |
|
1 |
u2 |
|
−1 |
2m |
|
|
|||||||
R |
1 |
u2m |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||
рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ (2.106) ВЩМБ УДЕМБОБ ЪБНЕОБ РЕТЕНЕООЩИ „± = 12 („1 ± „2)
|
|
3 |
− |
|
|
2ı |
|
|
b2)−1=2. |
Й ЙУРПМШЪПŒБО ЙЪŒЕУФОЩК ЙОФЕЗТБМ (a + b cos w)−1dw = 2ı(a2 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
рТЙŒЕДЕН ФБЛЦЕ ПФŒЕФЩ Й ДМС ОЕЛПФПТЩИ ДТХЗЙИ ХЪМПŒ : |
|
|
||
R10 |
= (1=2) R ; R11 = (2=ı) R ; |
R20 = (2 − 4=ı) R ; |
||
R21 |
= (4=ı − 1=2) R ; R30 = (17=2 − 24=ı) R : |
(2.108) |
||
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ŒУЕ РТЙŒЕДЕООЩЕ Œ (2.108) ЪОБЮЕОЙС УПРТПФЙŒМЕОЙС ТБŒОЩ a + b=ı, ЗДЕ a Й b | ТБГЙПОБМШОЩЕ ЮЙУМБ. оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ЬФП ŒЕТОП Й ДМС ДТХЗЙИ ХЪМПŒ ДŒХНЕТОПК ТЕЫЕФЛЙ.
3ïÔŒÅÔ ÄÌÑ R10 НПЦЕФ ВЩФШ ФБЛЦЕ РПМХЮЕО ЬМЕНЕОФБТОЩН УРПУПВПН, У РПНПЭША РТЙОГЙРБ УХРЕТРПЪЙГЙЙ.