Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 788

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

çÌÁŒÁ 3.

лŒБОФПŒБС НЕИБОЙЛБ ПДОПК ЮБУФЙГЩ

3.1. фЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК Й ЖХОЛГЙС зТЙОБ

œ ЬФПК ЗМБŒЕ НЩ ТБУУНПФТЙН ЪБДБЮЙ ПДОПЮБУФЙЮОПК ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛПК ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЙ, ТЕЫБЕНЩЕ НЕФПДПН ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. оБЫБ ГЕМШ | РТПДЕНПОУФТЙТПŒБФШ УŒСЪШ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК У ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ Й ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛПК.

дЙОБНЙЛБ ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛПК ЮБУФЙГЩ ŒП ŒОЕЫОЕН РПМЕ ПРЙУЩŒБЕФУС У РПНПЭША ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ, ХДПŒМЕФŒПТСАЭЕК ХТБŒОЕОЙА ыТЕДЙОЗЕТБ:

 

@ (r; t)

= −

h—2

 

ih—

@t

2m 2 (r; t) + V (r) (r; t) :

(3.1)

œ ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ ТБУУНБФТЙŒБАФ ДŒБ ПУОПŒОЩИ ФЙРБ ЪБДБЮ: ПФЩУЛБОЙЕ УРЕЛФТБ ЬОЕТЗЙК УЙУФЕНЩ Й ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ŒЕТПСФОПУФЕК РЕТЕИПДПŒ, ŒЩЪŒБООЩИ ТБУУЕСОЙЕН ЙМЙ ЪБŒЙУСЭЙН ПФ ŒТЕНЕОЙ ŒОЕЫОЙН РПМЕН.

тЕЫЕОЙЕ РЕТŒПК ЪБДБЮЙ ФТЕВХЕФ ПФЩУЛБОЙС УПВУФŒЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ЬОЕТЗЙЙ ДМС УФБГЙПОБТОПЗП ХТБŒОЕОЙС ыТЕДЙОЗЕТБ:

" (r) =

−2m 2

+ V (r)

(r) :

(3.2)

 

h—2

 

 

 

дЙУЛТЕФОЩК УРЕЛФТ УППФŒЕФУФŒХЕФ УŒСЪБООЩН УПУФПСОЙСН, Б ОЕРТЕТЩŒОЩК | УŒПВПДОЩН. œ ЪБДБЮБИ ŒФПТПЗП ФЙРБ (ДМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ТБУУЕСОЙЙ) ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ ТЕЫЕОЙЕ ХТБŒОЕОЙС (3.2), ПРЙУЩŒБАЭЕЕ РБДБАЭХА Й ТБУУЕСООХА ŒПМОЩ, Й ПРТЕДЕМЙФШ БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС Œ ДБООПЕ ЛПОЕЮОПЕ УПУФПСОЙЕ.

оБРПНОЙН, ЮФП РТПГЕУУХ ТБУУЕСОЙС РМПУЛПК ŒПМОЩ eikr ОБ РПФЕОГЙБМЕ V (r) ПФŒЕЮБЕФ ŒПМОПŒБС ЖХОЛГЙС

k(r) = eikr + k(r);

(3.3)

45

46

змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ

РТЙЮЕН k(r) ЙНЕЕФ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙ ŒЙД ТБУИПДСЭЕКУС УЖЕТЙЮЕУЛПК ŒПМОЩ:

k(r) = f (k; kn) (eik|r|=|r|) ; |r| → ∞ ; (3.4)

ÇÄÅ n = r=|r|. жХОЛГЙС f (k; k ) ОБЪЩŒБЕФУС БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС.

уХЭЕУФŒХЕФ ОЕУЛПМШЛП НЕФПДПŒ ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ П ТБУУЕСОЙЙ (Й ДТХЗЙИ РПДПВОЩИ ЕК ЪБДБЮ). нЩ ŒПУРПМШЪХЕНУС НЕФПДПН ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, РПУЛПМШЛХ Œ ОЕН УŒСЪШ У

ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛПК РТПСŒМСЕФУС МХЮЫЕ ŒУЕЗП. ъБРЙЫЕН ŒПМОПŒХА ЖХОЛГЙА

(r),

СŒМСАЭХАУС ТЕЫЕОЙЕН (3.2), Œ ŒЙДЕ ТСДБ РП УФЕРЕОСН РПФЕОГЙБМБ V (r):

 

(r) = (0)(r) +

(1)(r) + (2)(r) + : : : :

(3.5)

оЕФТХДОП ХВЕДЙФШУС, ЮФП ЮМЕОЩ ТСДБ (3.5) ХДПŒМЕФŒПТСАФ ХТБŒОЕОЙСН:

 

" + 2m 2

 

(0)

(r) = 0 ;

 

 

h—2

 

 

 

 

 

" + 2m 2

(1)

(r) = V (r)

(0)(r) ;

 

h—2

 

 

 

 

 

" + 2m 2

(2)

(r) = V (r)

(1)(r) ;

(3.6)

h—2

 

 

 

 

 

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

тЕЫЕОЙЕ УŒПВПДОПЗП ХТБŒОЕОЙС ыТЕДЙОЗЕТБ ПВЩЮОП ВЕТЕФУС Œ ŒЙДЕ РМПУЛПК ŒПМОЩ,

(0)(r) = exp(ikr). еУМЙ РПФЕОГЙБМ V (r) УМБВЩК, ДПУФБФПЮОП ПЗТБОЙЮЙФШУС ОЕУЛПМШЛЙНЙ РЕТŒЩНЙ ЮМЕОБНЙ ТСДБ (3.5). уЛБЦЕН, БНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС Œ ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ПРТЕДЕМСЕФУС ЖХОЛГЙЕК (1)(r).

у ЖПТНБМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ТСД (3.5) НПЦОП ТБУУНБФТЙŒБФШ ДБЦЕ Œ УМХЮБЕ УЙМШОПЗП РПФЕОГЙБМБ, ЕУМЙ ŒЩРПМОЙФШ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ РП " ЙЪ ПВМБУФЙ ВПМШЫЙИ ЬОЕТЗЙК |"| |V (r)|, Œ ЛПФПТПК ТСД (3.5) УИПДЙФУС. œППВЭЕ ЗПŒПТС, ФБЛЙН УРПУПВПН НПЦОП ОБКФЙ БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ЬОЕТЗЙЙ, ДБЦЕ ЕУМЙ РПФЕОГЙБМ ОЕ НБМ. пФНЕФЙН, ЮФП ПВЩЮОП ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ ХДПВОЩН ОЕ ŒЩРЙУЩŒБФШ ЮМЕОЩ ТСДБ РП-ПФДЕМШОПУФЙ, Б РЕТЕКФЙ ПФ (3.5) Л ЙОФЕЗТБМШОПНХ ХТБŒОЕОЙА ОБ БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС (УН. ЪБДБЮХ 11, Б ФБЛЦЕ [2], ЗМ. XVII, § 130).

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УŒСЪШ У ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛПК, ТБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА зТЙОБ ХТБŒОЕОЙС ыТЕДЙОЗЕТБ:

ih— @t

+ 2m 2

− V (r) G(r; t; r ; t ) = ‹(t − t ) ‹(r − r ) :

@

h—2

 

рТЙ V (r) = 0 ДŒЙЦЕОЙЕ УŒПВПДОПЕ:

G0(t − t ; r − r ) = G0("; p) eip(r−r )−i"(t−t ) d" d3p3 ;

2ı (2ı)

1

G0("; p) = " − p2=2m + i‹ :

(3.7)

(3.8)

(3.9)

3.2. ъбдбюй 11 { 15

47

ъОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ +i‹ ŒЩВТБО ФБЛ, ЮФПВЩ ЖХОЛГЙС G0("; p) ВЩМБ ТЕЗХМСТОБ Œ ŒЕТИ-

ОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ЛПНРМЕЛУОПК ". ьФП ХУМПŒЙЕ ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ УПВМАДЕОЙЕ РТЙЮЙООПУФЙ: G0(t − t ) = 0 ÐÒÉ t < t .

œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ НПЦОП ЪБРЙУБФШ ЛБЛ ПРЕТБФПТ:

 

 

G =

i @t − p2

=2m − V (r)

= (G0−1

− V )−1

= (1 − V G0)−1G0 :

(3.10)

 

 

@

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рТЙ НБМПН V ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.10) НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ Œ ТСД:

 

 

 

 

 

G = G0 + G0V G0 + G0V G0V G0 + : : : ;

 

(3.11)

РТЙЮЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙС G0 Й V УМЕДХЕФ РПОЙНБФШ Œ ПРЕТБФПТОПН УНЩУМЕ (ЛБЛ УŒЕТФЛХ).

äÌÑ ÎÁÓ

УХЭЕУФŒЕООП, ЮФП НЕЦДХ ТСДПН (3.11) ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Й ТСДПН ФЕП-

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК (3.5) ЙНЕЕФУС РПЮМЕООПЕ ŒЪБЙНОППДОПЪОБЮОПЕ УППФŒЕФУФŒЙЕ. рПМШЪХСУШ ЬФЙН УППФŒЕФУФŒЙЕН, НПЦОП УŒСЪБФШ БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ (3.7). рТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ДМС УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ЗТЙОПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ, У РПНПЭША ЛПФПТПЗП ПВЩЮОП УХННЙТХАФ ТСДЩ ФЙРБ (3.11), Œ ФПЮОПУФЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЙОФЕЗТБМШОПНХ ХТБŒОЕОЙА ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС (УН. ЪБДБЮХ 11, Б ФБЛЦЕ ЗМ. 4).

жХОЛГЙА зТЙОБ НПЦОП ЙУРПМШЪПŒБФШ ФБЛЦЕ Й ДМС ПФЩУЛБОЙС УРЕЛФТБ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК УЙУФЕНЩ. йЪŒЕУФОП, ЮФП БНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС, ЛБЛ ЖХОЛГЙС ЬОЕТЗЙЙ ", ЙНЕЕФ РПМАУЩ ŒП ŒУЕИ ФПЮЛБИ ДЙУЛТЕФОПЗП УРЕЛФТБ 1. фБЛЙН ЦЕ УŒПКУФŒПН ПВМБДБЕФ Й ЖХОЛГЙС зТЙОБ (3.7), ОЕРПУТЕДУФŒЕООП УŒСЪБООБС У БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС. рПЬФПНХ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЗХФ У ПДЙОБЛПŒЩН ХУРЕИПН РТЙНЕОСФШУС ЛБЛ Œ ЪБДБЮБИ, ЛБУБАЭЙИУС УŒСЪБООЩИ УПУФПСОЙК, ФБЛ Й Œ ЪБДБЮБИ П ТБУУЕСОЙЙ. рТЙНЕТЩ ФБЛПЗП ТПДБ РТЙŒЕДЕОЩ

Œ ЪБДБЮБИ 12 Й 13.

мЙФЕТБФХТБ: нЕФПД ТЕЫЕОЙС ХТБŒОЕОЙС ыТЕДЙОЗЕТБ, ЙУРПМШЪХАЭЙК РПФЕОГЙБМШОХА ЬОЕТЗЙА Œ ЛБЮЕУФŒЕ ŒПЪНХЭЕОЙС, ЙЪМПЦЕО Œ [2], § 45. пРТЕДЕМЕОЙЕ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, Б ФБЛЦЕ ДПЛБЪБФЕМШУФŒП ФЕПТЕНЩ ХОЙФБТОПУФЙ Й ДТХЗЙИ РПМЕЪОЩИ УŒПКУФŒ НПЦОП ОБКФЙ Œ [2], § 123{126, 133. йОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЩŒЕДЕОП Œ [2], § 130.

3.2. ъБДБЮЙ 11 { 15

ъБДБЮБ 11. (дЙБЗТБННОЩК ТСД Й ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС.) рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ТБУУЕСОЙЕ ЮБУФЙГЩ Œ УФБФЙЮЕУЛПН ŒОЕЫОЕН РПМЕ V (r) ПРЙУЩŒБЕФУС УХННПК ЗТБЖЙЛПŒ (ТЙУ. 3.1):

0011 = + + +...

1ÓÍ. [2], ÇÌ. XVII, § 128, 129

48

змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ

 

òÉÓ. 3.1

лБЛЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС ОБДП УПРПУФБŒМСФШ ЗТБЖЙЮЕУЛЙН ЬМЕНЕОФБН? (йУРПМШЪХКФЕ ЙНРХМШУОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ.)

уŒСЦЙФЕ ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 3.1 У БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС f (k1; k2), ПРТЕДЕМЕООПК Œ (3.3),(3.4). рПМХЮЙФЕ УППФОПЫЕОЙЕ

 

m

 

 

 

f (k1; k2) = −2ıh—2 F (k1; k2) ;

 

 

ÇÄÅ F (k1; k2) ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА

 

2h—−2q2=2m + i‹

(2ı)3 ;

F (k1; k2) = V (k2 − k1) +

"

 

V

(k q) F (k1

; q)

d3q

−

(3.12)

(3.13)

" = h—2k21=(2m) = h—2k22=(2m).

пРТЕДЕМЕООХА ФБЛ БНРМЙФХДХ F (k1; k2) ОБЪЩŒБАФ БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС Œ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ОПТНЙТПŒЛЕ. рПМШЪПŒБФШУС ЕА ЮБУФП ВЩŒБЕФ ХДПВОЕЕ, ЮЕН ПВЩЮОПК БН-

РМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС. йНЕООП ФБЛБС БНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС ЕУФЕУФŒЕООП ŒПЪОЙЛБЕФ Œ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ (УН. ДТХЗЙЕ ЪБДБЮЙ ЬФПК ЗМБŒЩ, Б ФБЛЦЕ ЪБДБЮЙ ЗМБŒ 9 { 11). рП УТБŒОЕОЙА У ПВЩЮОПК ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС f (k1; k2), ÏÎÁ

НЕОЕЕ РТПЙЪŒПМШОБ, РПУЛПМШЛХ ОЙЛБЛ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒЩВПТБ ОПТНЙТПŒЛЙ РМПУЛЙИ ŒПМО.

ъБДБЮБ 12. (уМБВП УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ Œ НЕМЛПК СНЕ.) нЕМЛПК ОБЪЩŒБЕФУС РПФЕОГЙБМШОБС СНБ, ЗМХВЙОБ ЛПФПТПК U0 h—2=2ma2, ЗДЕ a | ТБДЙХУ СНЩ. тБЪНЕТ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС Œ ФБЛПК СНЕ НОПЗП ВПМШЫЕ ЕЕ ТБДЙХУБ, Б ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ | НОПЗП НЕОШЫЕ ЗМХВЙОЩ СНЩ U0. тБУУНПФТЙН НЕМЛХА СНХ Œ РТПУФТБОУФŒЕ РТПЙЪŒПМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ D, Й ŒЩСУОЙН, Œ ЛБЛЙИ УМХЮБСИ Œ ОЕК НПЦЕФ ПВТБЪПŒБФШУС УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ.

тЕЫЙФЕ ЬФХ ЪБДБЮХ, ЙУРПМШЪХС УŒСЪШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС (3.13) УП УŒСЪБООЩНЙ УПУФПСОЙСНЙ: ЬОЕТЗЙС ЛБЦДПЗП УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС УППФŒЕФУФŒХЕФ РПМАУХ БНРМЙФХДЩ F (k1; k2) ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЬОЕТЗЙЙ ". рПЛБЦЙФЕ, ЮФП УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ Œ НЕМЛПК СНЕ УХЭЕУФŒХЕФ ФПМШЛП РТЙ D 2.

œПУРПМШЪХКФЕУШ ФЕН, ЮФП Œ РТПУФТБОУФŒЕ ТБЪНЕТОПУФЙ D БНРМЙФХДБ F (k1; k2) ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА, РПМХЮБАЭЕНХУС ЙЪ (3.13) ЪБНЕОПК d3q=(2ı)3 → dD q=(2ı)D. œ ХТБŒОЕОЙЙ (3.13) ЪБНЕОЙФЕ РПФЕОГЙБМ СНЩ ОБ ‹-ЖХОЛГЙА | РТЙ ЬФПН ŒУЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ЙНРХМШУБН УФБОХФ ОЕЪБŒЙУЙНЩНЙ. уТБŒОЙФЕ ТЕЪХМШФБФЩ, РПМХЮБАЭЙЕУС РТЙ D = 1; 2, У ЙЪŒЕУФОЩНЙ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙН ŒЩТБЦЕОЙСНЙ (УН. ЪБДБЮЙ Œ [2],

§ 45).

ъБДБЮБ 13. (дŒХНЕТОПЕ ТБУУЕСОЙЕ: МПЗБТЙЖН Й ТЕОПТНЗТХРРБ.) тБУУНПФТЙН РПДТПВОЕЕ ТБУУЕСОЙЕ Œ ТБЪНЕТОПУФЙ ДŒБ ОБ ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЕН РПФЕОГЙБМЕ. ьФП НПЦЕФ ВЩФШ СНБ, РТЙЮЕН ОЕ ПВСЪБФЕМШОП НЕМЛБС, ЙМЙ РПФЕОГЙБМ РПМПЦЙФЕМШОПЗП ЪОБЛБ. пРТЕДЕМЙН ЪБŒЙУЙНПУФШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС F ПФ ЬОЕТЗЙЙ Œ ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ПВМБУФЙ.

3.2. ъбдбюй 11 { 15

49

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ПВМБУФШ ЬОЕТЗЙК НОПЗП НЕОШЫЙИ "a = h—2=2ma2, ЗДЕ a | ТБДЙХУ СНЩ. сУОП, ЮФП ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ЬОЕТЗЙЙ " ŒПЪОЙЛБЕФ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 12, ПФ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП |q| a−1. дМС РТБŒЙМШОПЗП ПРЙУБОЙС ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЙ, ЛБЛ Й РТЙ ПФЩУЛБОЙЙ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС (ЪБДБЮБ 12), ЛБЦЕФУС ДПУФБФПЮОЩН ЪБНЕОЙФШ РПФЕОГЙБМ ОБ ‹-ЖХОЛГЙА. рТЙ ЬФПН ЙОФЕЗТБМЩ РП q ОБЮЙОБАФ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФШУС РТЙ q → ∞, Й ЙИ РТЙДЕФУС ĂПВТЕЪБФШ ТХЛБНЙĄ РТЙ q ≈ a−1. фБЛПК ĂТЕНЕУМЕООЩКĄ РПДИПД, ИПФС Й РТЙŒПДЙФ Л ЛБЮЕУФŒЕООП РТБŒЙМШОПНХ ПФŒЕФХ, СŒМСЕФУС УМЙЫЛПН ЗТХВЩН, Ф. Л. РПМОПУФША ЙЗОПТЙТХЕФ, ОБРТЙНЕТ, ЗМХВПЛЙЕ ХТПŒОЙ Œ РПФЕОГЙБМЕ, ЕУМЙ ФБЛПŒЩЕ ЕУФШ.

вПМЕЕ ТБЖЙОЙТПŒБООЩК НЕФПД ЪБЛМАЮБЕФУС Œ УМЕДХАЭЕН. œЩЮЙУМЙН РТПЙЪŒПДОХА @F (")=@". дЙЖЖЕТЕОГЙТХС ДЙБЗТБННЩ ТЙУ. 3.1 РП " Й УПВЙТБС ЮМЕОЩ, РПМХЮЙН ХТБŒОЕОЙЕ 2

@

m

F 2(") ;

 

F (") =

2

(3.14)

@"

2ıh—

"

 

ÓÐÒÁŒÅÄÌÉŒÏÅ ÐÒÉ |"| "a. тЕЫЙŒ ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ, НПЦОП УŒСЪБФШ ПВТЕЪЛХ МПЗБТЙЖНБ

Й БНРМЙФХДХ F РТЙ ВПМШЫПК ЬОЕТЗЙЙ.

ъБДБЮБ 14. (рПМСТЙЪХЕНПУФШ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС.) ъБТСЦЕООБС ЮБУФЙГБ ОБИПДЙФУС Œ НЕМЛПК ДŒХНЕТОПК СНЕ Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ. пРТЕДЕМЙН РПМСТЙЪХЕНПУФШ УЙУФЕНЩ Œ УМБВПН ŒОЕЫОЕН РПМЕ 3.

Б) йУРПМШЪХС ТЕЪХМШФБФ ЪБДБЮЙ 13, ЪБРЙЫЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. уЖПТНХМЙТХКФЕ РТБŒЙМП ПВИПДБ РПМАУПŒ, ŒЩТБЦБАЭЕЕ, ЮФП УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ЪБОСФП, Б УПУФПСОЙС ОЕРТЕТЩŒОПЗП УРЕЛФТБ УŒПВПДОЩ.

В) œЩТБЪЙФЕ ДЙРПМШОЩК НПНЕОФ УЙУФЕНЩ ЮЕТЕЪ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ (УН. [1], У. 75 Й ДБМЕЕ).

Œ) тБУУНПФТЙФЕ РПРТБŒЛХ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, МЙОЕКОХА РП ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПНХ РПМА. оБТЙУХКФЕ ЗТБЖЙЛЙ, ПРТЕДЕМСАЭЙЕ РПМСТЙЪХЕНПУФШ. лБЛЙЕ ЙЪ ОЙИ ПВТБЭБАФУС Œ

ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЬОЕТЗЙЙ ЙМЙ ЙНРХМШУБН?

ъБДБЮБ 15. (фЕПТЕНБ ХОЙФБТОПУФЙ ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС.) бНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС f (k; k ) ЮБУФЙГЩ ŒП ŒОЕЫОЕН РПМЕ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ФЕПТЕНЕ ХОЙФБТОПУФЙ:

 

 

f (k; k ) − f (k ; k) = 2ı

f (k; k ) f (k ; k ) do ;

(3.15)

 

 

ik

 

 

(ÓÍ. [2],

§

125). нЩ ŒЙДЕМЙ, ЮФП F (k; k ) = (2ıh—2=m) f (k; k ) ДБЕФУС РТПУФПК УХННПК

 

−

 

 

ЗТБЖЙЛПŒ (ЪБДБЮБ 11). рПЬФПНХ РПМЕЪОП ХНЕФШ РПМХЮБФШ (3.15) ОБ ЗТБЖЙЮЕУЛПН СЪЩЛЕ. лБЛ ЬФП УДЕМБФШ? тБУУНПФТЙФЕ ДЙБЗТБННЩ, ЙЪПВТБЦЕООЩЕ ОБ ТЙУ. 3.2, ЗДЕ

 

GR(A)("; p) =

1

 

(3.16)

2

" − p2

=2m±i‹

хТБŒОЕОЙЕ ФБЛПЗП ФЙРБ ОБЪЩŒБЕФУС Œ ФЕПТЙЙ РПМС Й УФБФЙУФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЕ ХТБŒОЕОЙЕН ТЕОПТ-

НЗТХРРЩ.

 

3

ъБДБЮЙ 11 { 13 НПЦОП ТЕЫЙФШ Й ВЕЪ ДЙБЗТБНН. б ЪБДБЮХ 14? рПРЩФБКФЕУШ. . .

50

змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ

| ЪБРБЪДЩŒБАЭБС Й ПРЕТЕЦБАЭБС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рПМХЮЙФЕ МЕŒХА Й РТБŒХА ЮБУФЙ (3.15), РТПУХННЙТПŒБŒ ЬФЙ ЗТБЖЙЛЙ ДŒХНС ТБЪОЩНЙ УРПУПВБНЙ.

01

10

 

01

10

 

10

10

 

G R

G R

G R− G A

G A

 

G A

òÉÓ. 3.2

бОБМПЗЙЮОП РПМХЮЙФЕ УППФОПЫЕОЙЕ ХОЙФБТОПУФЙ Œ ДŒХНЕТОПН УМХЮБЕ. лБЛПŒБ УŒСЪШ ДŒХНЕТОПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС f (k; k ) У F (k; k )? хВЕДЙФЕУШ, ЮФП БНРМЙФХДБ F , ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 13, ПВМБДБЕФ УŒПКУФŒПН ХОЙФБТОПУФЙ.

ьФБ ЪБДБЮБ ŒЕУШНБ ŒБЦОБ ДМС ДБМШОЕКЫЕЗП, РПУЛПМШЛХ Œ ОЕК ОБ РТПУФЕКЫЕН РТЙНЕТЕ РПЛБЪБО РТЙЕН, ПВПВЭБАЭЙКУС ОБ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ УМХЮБЙ. дМС МАВПЗП РТПГЕУУБ ТБУУЕСОЙС, ТБУРБДБ, РЕТЕИПДБ Й Ф. Д. ЙНЕЕФУС УŒСЪШ НЕЦДХ ЕЗП ŒЕТПСФОПУФША Й НОЙНПК ЮБУФША БНРМЙФХДЩ. ьФБ УŒСЪШ ПРЙУЩŒБЕФУС

ФЕПТЕНПК ХОЙФБТОПУФЙ. œ ЗТБЖЙЮЕУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, НОЙНБС ЮБУФШ ЛБЛПК-МЙВП БНРМЙФХДЩ НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕОБ РХФЕН ТБЪВЙЕОЙС УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ ДЙБЗТБНН ЛБЛЙН{МЙВП УЕЮЕОЙЕН, Й ЪБНЕОПК ЖХОЛГЙК зТЙОБ РП ПДОХ УФПТПОХ УЕЮЕОЙС ОБ ЛПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ. рТЙ ЬФПН УМЕДХЕФ РТПУХННЙТПŒБФШ РП ŒУЕН ŒПЪНПЦОЩН УРПУПВБН ŒЩВПТБ УЕЮЕОЙС ДЙБЗТБННЩ. уПУФПСОЙС Œ УЕЮЕОЙЙ ЙНЕАФ УНЩУМ ЛПОЕЮОЩИ УПУФПСОЙК ТБУРБДБ, ТБУУЕСОЙС, Й Ф. Р.

3.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 11. нЩ ВХДЕН ПВТБЭБФШУС У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ ОЕУЛПМШЛП ВПМЕЕ ŒПМШОП, ЮЕН ЬФП РТЙОСФП Œ ХЮЕВОЙЛБИ РП ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ. рЕТЕД ФЕН, ЛБЛ ЮЙФБФШ ТЕЫЕОЙЕ, РПМЕЪОП ŒУРПНОЙФШ УФБОДБТФОЩК ŒЩŒПД ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, ЙУРПМШЪХАЭЙК ХТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ (УН. [2], § 130).

юФПВЩ ОБКФЙ УПУФПСОЙЕ ТБУУЕСОЙС (3.3),(3.4), ЪБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ

ДМС ДŒЙЦЕОЙС Œ РПФЕОГЙБМЕ V (r) ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ:

 

 

 

 

 

 

 

G−1 k(r) = 0

ÉÌÉ

(G0−1 − V )

k(r) = 0 :

2

 

 

(3.17)

вХДЕН ЙУЛБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ (3.3). оБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ, РТЙ " = k

=2m, ÐÏÌÕ-

ЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ ДМС k(r):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(G0−1 − V ) k(r) = V |k :

|k , Й ТБЪМБЗБЕН

 

(3.18)

ÐÏ V :

 

 

 

 

 

k(r) = r|

Œ ÒÑÄ

ъБРЙУЩŒБЕН ТЕЫЕОЙЕ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ,

 

GV

 

 

G

 

 

k(r) =

 

r G0V + G0V G0V + : : :

k

:

 

 

 

(3.19)

 

 

|

 

 

 

|

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы