Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 760
Скачиваний: 0
4.2. рпмаущ жхолгйй зтйоб | урелфт лœбъйюбуфйг |
67 |
||
ОЕДБМЕЛП ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ: |
|
|
|
G("; p) = |
a |
+ Greg("; p) : |
(4.14) |
" − ‰(p) + i‚(p) |
|||
(Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.14) ŒЩДЕМЕО ŒЛМБД Greg("; p), ТЕЗХМСТОЩК ŒВМЙЪЙ " = ‰(p) − i‚(p)). уРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕК РПМАУХ Œ (4.14), ДБЕФУС ЖХОЛГЙЕК ‰(p), Б ЪБФХИБОЙЕ ‚(p) НПЦОП ЪБРЙУБФШ ЛБЛ 1=(2fip), ÇÄÅ fip | ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙ-
ГЩ. œЩЮЕФ a ОБЪЩŒБАФ БНРМЙФХДПК ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. дЙУРЕТУЙПООПЕ
УППФОПЫЕОЙЕ " = ‰(p) ПРТЕДЕМСЕФ Œ 4-НЕТОПН РТПУФТБОУФŒЕ ("; p) ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА НБУУПŒХА РПŒЕТИОПУФШ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ ([1], § 7, Ð. 3; [4], ÇÌ. 5, Ð. 1).
œППВЭЕ ЗПŒПТС, РПОСФЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ ЙНЕЕФ УНЩУМ ФПМШЛП ЕУМЙ ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ŒЕМЙЛП: ‚(p) ‰(p). еУМЙ ПОП НБМП, ЗПŒПТСФ П ĂЪБФХИБАЭЕН ŒПЪВХЦДЕОЙЙĄ. œ СДЕТОПК ЖЙЪЙЛЕ ФЕТНЙОПМПЗЙС ОЕУЛПМШЛП ЙОБС: ŒНЕУФП ĂЛŒБЪЙЮБУФЙГЩĄ ЗПŒПТСФ П ĂТЕЪПОБОУЕĄ.
пУФБОПŒЙНУС ОБ ЖЙЪЙЮЕУЛПН УНЩУМЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ˚("; p). йЪ ДЙУРЕТУЙПООПЗП ХТБŒОЕОЙС (4.10) ŒЙДОП, ЮФП ЙНЕООП УПВУФŒЕООП ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ПРТЕДЕМСЕФ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. тБУУНБФТЙŒБС РП ПФДЕМШОПУФЙ ŒЕЭЕУФŒЕООХА Й НОЙНХА ЮБУФЙ (4.10) Й УТБŒОЙŒБС У (4.14), ОБИПДЙН
‰(p) = ‰0(p) + Re ˚( ‰(p); p ) ; ‚(p) = Im ˚( ‰(p); p ) : |
(4.15) |
лБЛ ŒЙДОП ЙЪ (4.15), ŒЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ ˚("; p) ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. œ ЮБУФОПУФЙ, ˚("; p) ПРЙУЩŒБЕФ ФБЛПК ЬЖЖЕЛФ, ЛБЛ ЙЪНЕОЕОЙЕ НБУУЩ ЮБУФЙГЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ Œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. рТЙЮЙОБ ЙЪНЕОЕОЙС НБУУЩ Œ ФПН, ЮФП ЮБУФЙГБ ŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ ПЛТХЦБЕФ УЕВС
ĂРПМСТЙЪБГЙПООЩН ПВМБЛПНĄ, ДŒЙЦХЭЙНУС ŒНЕУФЕ У ЮБУФЙГЕК. йОЕТГЙС ФБЛПК ĂПДЕФПКĄ ЮБУФЙГЩ ПРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУПК. рТЙНЕТ, ДЕНПО-
УФТЙТХАЭЙК ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ Œ УМХЮБЕ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ВХДЕФ ТБУУНПФТЕО Œ ЪБДБЮЕ 16 (УН. ФБЛЦЕ ЪБДБЮЙ 19, 21 Й 33).
юФП ЛБУБЕФУС НОЙНПК ЮБУФЙ ˚("; p), ФП ПОБ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ ЪБФХИБОЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. œЕМЙЮЙОБ fip = 1=(2‚(p)) ЕУФШ ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЮБУФЙГЩ Œ УПУФПСОЙЙ У ДБООЩН ЙНРХМШУПН p. оБРТЙНЕТ, ЬМЕЛФТПО, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У ЖПОПОБНЙ, ЕУМЙ ПО ДŒЙЦЕФУС ДПУФБФПЮОП ВЩУФТП, НПЦЕФ ЙЪМХЮБФШ ЖПОПОЩ. œ ТЕЪХМШФБФЕ ДŒЙЦЕОЙЕ ФБЛПЗП ЬМЕЛФТПОБ ЪБНЕДМЙФУС, ЮФП ЖПТНБМШОП РТПСŒЙФУС Œ РПСŒМЕОЙЙ ЛПОЕЮОПК НОЙНПК ЮБУФЙ Х ˚("; p) (УН. ЪБДБЮХ 17). тБЪХНЕЕФУС, ЛПОЕЮОПЕ ЪБФХИБОЙЕ ‚ = Im ˚("; p) ОЕ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УБН ЬМЕЛФТПО ТБУРБДБЕФУС. рТБŒЙМШОБС ЙОФЕТРТЕФБГЙС ЪБФХИБОЙС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП У ŒЕТПСФОПУФША P (t) = | (t)| (0) |2 = exp(−2‚t) УПУФПСОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ ЪБ ŒТЕНС t ОЕ ЙЪНЕОСЕФУС.
йОФЕТЕУОП, ЮФП Œ УЙМХ РТЙЮЙООПУФЙ Re ˚ Й Im ˚ УŒСЪБОЩ НЕЦДХ УПВПК УППФОПЫЕОЙСНЙ, БОБМПЗЙЮОЩНЙ УППФОПЫЕОЙСН лТБНЕТУБ-лТПОЙЗБ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЪОБС Re ˚, НПЦОП ОБКФЙ Im ˚, Й ОБПВПТПФ.
4.2.1. дŒХИЮБУФЙЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ
йЪ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G("; p), ПРЙУЩŒБАЭЕК ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ПДОПК ЮБУФЙГЩ, ОЕŒПЪНПЦОП РПМХЮЙФШ ЙОЖПТНБГЙА П УŒСЪБООЩИ УПУФПСОЙСИ ЮБУФЙГ. рПЬФПНХ ŒŒПДЙФУС
68 |
змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ |
|
ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС ДŒХИЮБУФЙЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ |
|
|
|
Kab(x1; x2; x3; x4) = ± T a(x1) b(x2) a+(x3) b+(x4) : |
(4.16) |
ъОБЛ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ ВПЪПОБН, Б ЪОБЛ Ă−Ą | ЖЕТНЙПОБН. йОДЕЛУЩ a Й b ОХНЕТХАФ ЮБУФЙГЩ (ЪДЕУШ ТЕЮШ ЙДЕФ П ТБЪМЙЮЙНЩИ ЮБУФЙГБИ).
œ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ ЖХОЛГЙС Kab(x1; :::; x4) ТБУРБДБЕФУС ОБ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПДОПЮБУФЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ЮБУФЙГ a Й b:
Kab(x1; x2; x3; x4) = Ga(x1 − x3) Gb(x2 − x4) |
(4.17) |
(ЕУМЙ ЮБУФЙГЩ ФПЦДЕУФŒЕООЩ, ФП ОХЦОП Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ФЙРБ УФБФЙУФЙЛЙ РТЙВБŒЙФШ ЙМЙ ŒЩЮЕУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ У РЕТЕУФБŒМЕООЩНЙ БТЗХНЕОФБНЙ).
фЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС ЖХОЛГЙЙ Kab УФТПЙФУС ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ПДОПЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рЕТŒЩЕ ОЕУЛПМШЛП ДЙБЗТБНН ФБЛПŒЩ (ТЙУ. 4.6):
|
a |
a |
|
a |
a |
|
Kab= |
b |
+ b |
+ |
b |
+ b |
+... |
òÉÓ. 4.6
рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ЬФЙИ ДЙБЗТБННБИ | ФПЮОЩЕ (Ф. Е. ŒУЕ МЙОЙЙ
ЮБУФЙГ | ЦЙТОЩЕ).
рТЙОСФП ЙУЛМАЮБФШ ЙЪ Kab(x1; x2; x3; x4) ФТЙŒЙБМШОЩЕ УМБЗБЕНЩЕ, ŒŒПДС ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ `ab(x1; x2; x3; x4):
Kab(x1; x2; x3; x4) = Ga(x1 − x3) Gb(x2 − x4) + i |
Ga(x1 − x1) Ga(x3 − x3) × |
|
×Gb(x2 − x2) Gb(x4 − x4) `ab(x1; x2; x3; x4) d4x1 d4x2 d4x3 d4x4 : |
(4.18) |
|
œЕМЙЮЙОБ `ab ПРЙУЩŒБЕФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЮБУФЙГ, ЕЕ ЙОПЗДБ ОБЪЩŒБАФ ДŒХИЮБУФЙЮОПК БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС.
œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЕМЙЮЙОБ `ab ЙНЕЕФ ŒЙД
`ab(p1; p2; p3; p4) = `ab(x1; x2; x3; x4) e−i(p1x1+:::+ip4x4) d4x1:::d4x4 ; (4.19)
4.2. рпмаущ жхолгйй зтйоб | урелфт лœбъйюбуфйг |
69 |
ÇÄÅ pi | 4{ЙНРХМШУЩ. дЙБЗТБННЩ ДМС `ab ŒЩЗМСДСФ ФБЛ (ТЙУ. 4.7):
Γ = + + + +...
òÉÓ. 4.7
уХННБ 4{ЙНРХМШУПŒ pi УПИТБОСЕФУС: p1 + p2 = p3 + p4. зТБЖЙЮЕУЛЙН ЬМЕНЕОФБН УППФŒЕФУФŒХАФ ПВЩЮОЩЕ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС: ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G(p), МЙОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС U (p), ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ЛБЦДПНХ ŒОХФТЕООЕНХ ЙНРХМШУХ.
дМС ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, ЛБЛ Й ДМС ПДОПЮБУФЙЮОЩИ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪ-
НПЦОЩН УХННЙТПŒБОЙЕ ВЕУЛПОЕЮОЩИ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЕК ДЙБЗТБНН. оБЪПŒЕН ДЙБЗТБННХ ДŒХИЮБУФЙЮОП-ОЕРТЙŒПДЙНПК, ЕУМЙ ПОБ ОЕ ТБУРБДБЕФУС РТЙ ТБЪТЕЪБОЙЙ МАВПК
РБТЩ МЙОЙК G(p). уХННБ ŒУЕИ ДŒХИЮБУФЙЮОП{ОЕРТЙŒПДЙНЩИ ДЙБЗТБНН ПРТЕДЕМСЕФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ОЕРТЙŒПДЙНХА ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ `0:
Γ 0 |
= |
+ |
+ |
+... |
òÉÓ. 4.8
рПМШЪХСУШ ЬФЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕН, РТЕДУФБŒЙН МАВХА ДЙБЗТБННХ ДМС `ab ЛБЛ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ОЕРТЙŒПДЙНЩИ ЮБУФЕК, УПЕДЙОЕООЩИ ДŒХНС МЙОЙСНЙ G(p). лМБУУЙЖЙГЙТХС
ДЙБЗТБННЩ РП ЛПМЙЮЕУФŒХ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙК, НПЦОП ХВЕДЙФШУС, ЮФП БНРМЙФХДБ `ab(pi) ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ:
`ab(pi) = `ab0 (pi) + i |
`ab0 (pi)Ga(1)(p1+)Gb(2)(p2−) `ab(pi ) (2ı)4 ; |
(4.20) |
|
d4k |
|
ÇÄÅ pi = {p1; p2; p3; p4}, pi = {p1; p2; p1+; p2−}, pi = {p1+; p2−; p3; p4}, Á pi± = pi±k. хТБŒОЕОЙЕ вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20) ЗТБЖЙЮЕУЛЙ ЙЪПВТБЦБАФ ФБЛ:
Γ0 |
= Γ + Γ |
Γ0 |
70 |
змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ |
òÉÓ. 4.9
йНЕС Œ ŒЙДХ ФБЛПЕ ЗТБЖЙЮЕУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ, ОЕРТЙŒПДЙНХА ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ `0(pi) Œ (4.20) ЮБУФП ОБЪЩŒБАФ ФБЛЦЕ ĂОЕТБЪТЕЪБЕНЩК ЛЙТРЙЮĄ.
лБЛ Й ПДОПЮБУФЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ДŒХИЮБУФЙЮОБС БНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС НПЦЕФ ЙНЕФШ РПМАУЩ. ьФЙ РПМАУЩ УППФŒЕФУФŒХАФ УŒСЪБООЩН УПУФПСОЙСН РБТЩ ЮБУФЙГ
(УН. ЪБДБЮЙ 18, 19, Б ФБЛЦЕ ЗМ. 3).
мЙФЕТБФХТБ: дПЛБЪБФЕМШУФŒП РТБŒЙМ РПУФТПЕОЙС ДЙБЗТБНН РТЙŒЕДЕОП Œ [1], § 8, 9 É Œ [6], § 13. п УХННЙТПŒБОЙЙ ДЙЗТБННОПЗП ТСДБ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У РПНПЭША УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ Й ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ НПЦОП РТПЮЙФБФШ Œ [1], § 10
ÉŒ [6], § 14. дŒХИЮБУФЙЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ, Еč УŒСЪШ У БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС, Б ФБЛЦЕ ХТБŒОЕОЙЕ вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ ТБУУНПФТЕОЩ Œ [6], § 15, 16. иПТПЫЕЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ПУОПŒ ФЕПТЙЙ РПМСТПОБ, ŒЛМАЮБС РТЙНЕОЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ УМХЮБЕ УМБВПК УŒСЪЙ
ÉŒБТЙБГЙПООПЗП РТЙОГЙРБ Œ УМХЮБЕ УЙМШОПК УŒСЪЙ НПЦОП ОБКФЙ Œ [3], ЗМ. 8.
4.3.ъБДБЮЙ 16 { 21
ъБДБЮБ 16. (рПМСТПО Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ УМБВПК УŒСЪЙ.) ьМЕЛФТПОЩ Œ ЪПОЕ РТПŒПДЙНПУФЙ РПМХРТПŒПДОЙЛБ ПВТБЪХАФ УЙМШОП ТБЪТЕЦЕООЩК ЗБЪ. рТЙ НБМПК ЛПОГЕОФТБГЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ ЙИ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН ДТХЗ У ДТХЗПН НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС, ЛБЦДЩК ПФДЕМШОЩК ЬМЕЛФТПО, ДŒЙЗБСУШ Œ ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЕ, РПМСТЙЪХЕФ УТЕ-
ДХ ŒПЛТХЗ УЕВС Й ŒЩЪЩŒБЕФ УПРХФУФŒХАЭХА ЕНХ ДЕЖПТНБГЙА. фБЛПК ПЛТХЦЕООЩК ЖПОПОБНЙ ЬМЕЛФТПО ОБЪЩŒБЕФУС РПМСТПОПН.
ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РПМСТПОБ "(p) | ОЕ ФБЛПК, ЛБЛ Х ЬМЕЛФТПОБ. рТЙ УЛПТПУФЙ ДŒЙЦЕОЙС, НБМПК РП УТБŒОЕОЙА УП УЛПТПУФША ЪŒХЛБ, РПМСТПО ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ЬОЕТЗЙЕК УŒСЪЙ "0 Й ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУПК m : "(p) = "0 + p2=2m .
оБКДЙФЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚("; p) Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА (4.6),(4.7). уППФŒЕФУФŒХАЭЙК ЗТБЖЙЛ ЙЪПВТБЦЕО ОБ ТЙУ. 4.10.
Σ =
òÉÓ. 4.10
ьМЕЛФТПООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ОБ ТЙУ. 4.10 ЙНЕЕФ ŒЙД
G("; p) = |
1 |
: |
(4.21) |
" − p2=2m + i‹ |
рПМПЦЙФЕМШОЩК ЪОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ ‹ ЗПŒПТЙФ ПВ ПФУХФУФŒЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ ЪПОЕ РТПŒПДЙНПУФЙ РПМХРТПŒПДОЙЛБ.