Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 764
Скачиваний: 0
4.3. ъбдбюй 16 { 21 |
71 |
тБУУНПФТЙФЕ ˚("; p) ŒВМЙЪЙ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ " = p2=2m Й РТЙ НБМЩИ |p| mc. рПМХЮЙФЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ:
|
|
|
˚("; p) = "0 − ¸1 |
" − p2=2m − ¸2 p2=2m : |
(4.22) |
рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒЕМЙЮЙОБ ¸2 ПРТЕДЕМСЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ НБУУЩ m, ŒЕМЙЮЙОБ ¸1 | РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ БНРМЙФХДЩ Z ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (4.14), Б "0 ДБЕФ ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ. оБКДЙФЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОХА НБУУХ РПМСТПОБ.
ъБДБЮБ 17. (юЕТЕОЛПŒУЛПЕ ЙЪМХЮЕОЙЕ ЪŒХЛБ.) œЕМЙЮЙОБ ˚("; p), ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 16, ЙНЕЕФ ПФМЙЮОХА ПФ ОХМС НОЙНХА ЮБУФШ РТЙ v = p=m > c, РПУЛПМШЛХ УŒЕТИ-
ЪŒХЛПŒПК ЬМЕЛФТПО НПЦЕФ ЙУРХУЛБФШ ЖПОПОЩ.
Б) ъБРЙЫЙФЕ Im ˚ ЛБЛ W („)d„, ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ ОБРТБŒМЕОЙЕН ŒЩМЕФБ ЖП-
ОПОБ Й ЙНРХМШУПН p. оБКДЙФЕ ХЗМПŒПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЙЪМХЮБЕНПЗП ЪŒХЛБ.
В) ьФХ ЦЕ ЪБДБЮХ ТЕЫЙФЕ У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. оБКДЙФЕ ŒЕТПСФОПУФШ ЙЪМХЮЕОЙС ЖПОПОБ Œ ЕДЙОЙГХ ŒТЕНЕОЙ РПД ХЗМПН „, ЙУРПМШЪХС ĂЪПМПФПЕ РТБŒЙМПĄ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ РЕТЕИПДБ Œ ОЕРТЕТЩŒОЩК УРЕЛФТ:
dWi→f = 2—hı | f|Hint|i |2 ‹(Ef − Ei) d f |
(4.23) |
(ÓÍ. [2], § 43, ЖПТНХМБ (43.1); [3], ЗМ. 8 ).
уТБŒОЙФЕ ТЕЪХМШФБФЩ. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ ЪБРЙУЙ ŒЕТПСФОПУФЙ ЙЪМХЮЕОЙС ЛБЛ Im ˚, ОЕ ОХЦОП ЪБВПФЙФШУС П ОПТНЙТПŒЛЕ УПУФПСОЙК Й П РТБŒЙМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ | ŒУЕ ХЦЕ РТЕДХУНПФТЕОП ПРТЕДЕМЕОЙЕН ЖХОЛГЙК зТЙОБ.
ъБДБЮБ 18. (уŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ДŒХИ ЮБУФЙГ.) рХУФШ ДŒЕ ЮБУФЙГЩ У НБУУБНЙ m1 É m2 ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ РП ЪБЛПОХ U (r1 − r2; t1 − t2), Ф. Е. ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ НБМП. уЙФХБГЙЙ, Œ ЛПФПТЩИ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС УМБВП ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН, НПЗХФ ВЩФШ УБНЩНЙ ТБЪМЙЮОЩНЙ. оБРТЙНЕТ, ЬЛУЙФПО Œ РПМХРТПŒПДОЙЛЕ | ŒПДПТПДПРПДПВОПЕ УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ Й ДЩТЛЙ. йМЙ, УЛБЦЕН, ДЕКФТПО | УМБВП УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ РТПФПОБ Й ОЕКФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ РПУТЕДУФŒПН СДЕТОЩИ УЙМ.
пВЭБС ЪБДБЮБ П УŒСЪБООПН УПУФПСОЙЙ ДŒХИ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ ТЕЫБЕФУС У РПНПЭША ХТБŒОЕОЙС вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ ДМС ДŒХИЮБУФЙЮОПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС (4.20). тБУУНПФТЙН, ЛБЛЙЕ ХРТПЭЕОЙС ŒПЪОЙЛБАФ, ЕУМЙ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ПФУХФУФŒХЕФ, ЙМЙ ЕУМЙ ПОП ОЕŒЕМЙЛП.
Б) (нЗОПŒЕООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ: ЪБДБЮБ УŒПДЙФУС Л ПДОПЮБУФЙЮОПК.) рХУФШ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ОЕФ: U12 = U (r1 − r2) ‹(t1 − t2). рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ДБАФ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЮБУФПФБН,
Б УМЕДПŒБФЕМШОП `0p1;p2;p1+q;p2−q = U (q).
œЩРПМОЙŒ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ Œ ХТБŒОЕОЙЙ вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20), РЕТЕКДЙФЕ Л ЙН-
РХМШУБН ПФОПУЙФЕМШОП ГЕОФТБ НБУУ: |
|
|
|
|
||
|
P = p1 + p2 = p3 + p4 ; |
|
(4.24) |
|||
k = |
m2p1 |
− m1p2 ; |
k = |
m2p3 |
− m1p4 ; |
(4.25) |
|
m1 |
+ m2 |
|
m1 |
+ m2 |
|
72 |
змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ |
|||
Й РТЙŒЕДЙФЕ (4.20) Л ŒЙДХ |
˙0 −q2=2— + i0 |
(2ı)3 : |
|
|
|
`P (k; k ) = U (k − k ) + |
(4.26) |
||
|
|
U (k q)`P (q; k ) |
d3q |
|
−
ъДЕУШ РТЙŒЕДЕООБС НБУУБ — = m1m2=(m1 + m2), ЮБУФПФБ ˙0 = ˙ −P 2=2M , ЗДЕ РПМОБС НБУУБ M = m1 + m2 É ˙ = !1 + !2 = !3 + !4. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ОБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ ПФОПУЙФЕМШОПЗП ДŒЙЦЕОЙС, ЗДЕ ˙0 = k2=2— = k 2=2—, ХТБŒОЕОЙЕ (4.26) УПŒРБДБЕФ У ХТБŒОЕОЙЕН ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС F (3.13) У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ НБУУЩ ОБ РТЙŒЕДЕООХА (УН. [1], § 25, ÐÐ. 3, 4).
В) (уМБВПЕ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ.) рХУФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ:
U12 = U (r1 − r2) e−|t1−t2|=fi =(2fi ) ; |
(4.27) |
ОП fi НОПЗП НЕОШЫЕ ŒУЕИ ДТХЗЙИ ИБТБЛФЕТОЩИ ŒТЕНЕО. фПЗДБ ДЙБЗТБННЩ, ŒИПДСЭЙЕ Œ ОЕРТЙŒПДЙНХА ЮБУФШ `0, ВХДХФ ФЕН НЕОШЫЕ РП РБТБНЕФТХ fi , ЮЕН ВПМШЫЕ Œ ОЙИ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС МЙОЙК.
рПЛБЦЙФЕ, ЮФП УФЕРЕОШ fi , ЛПФПТПК РТПРПТГЙПОБМШОБ ЛБЦДБС ДЙБЗТБННБ, ПРТЕДЕМСЕФУС ФПМШЛП ЮЙУМПН МЙОЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œЕТОП МЙ ЬФП ДМС ДЙБЗТБНН, ДБАЭЙИ РПМОХА БНРМЙФХДХ `?
ъБДБЮБ 19*. (ьЖЖЕЛФЙŒОБС НБУУБ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС.) йЪ ЪБДБЮЙ 18 Б УМЕДХЕФ, ЮФП, ЕУМЙ УПУФБŒОБС ЮБУФЙГБ НБУУЩ M СŒМСЕФУС УŒСЪБООЩН УПУФПСОЙЕН ДŒХИ ЮБУФЙГ НБУУЩ m, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВЕЪ ЪБРБЪДЩŒБОЙС, ФП M = 2m. (рПЮЕНХ?)
рХУФШ ФЕРЕТШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПВМБДБЕФ ОЕВПМШЫЙН ЪБРБЪДЩŒБОЙЕН, Й ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (4.27) ЪБДБЮЙ 18 В. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП НБУУБ УПУФБŒОПК ЮБУФЙГЩ Œ ЬФПН УМХЮБЕ
ÅÓÔØ: |
2fi |
2 |
|
|
|
|
M = 2m − |
02(r) 2U (r) d3r ; |
(4.28) |
||||
3 |
|
ÇÄÅ 0(r) | ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ЮБУФЙГЩ НБУУЩ m=2, ДŒЙЦХЭЕКУС Œ РПФЕОГЙБМЕ U (r). нПЦОП МЙ РПОСФШ ЛБЮЕУФŒЕООП, РПЮЕНХ РПРТБŒЛБ ПФТЙГБФЕМШОБ?
дМС ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ РЕТЕКДЙФЕ Œ УЙУФЕНХ ГЕОФТБ НБУУ, ДŒЙЦХЭХАУС УП УЛПТПУФША
v = P=2m. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ ЬФПК УЙУФЕНЕ ЙНЕЕФ ŒЙД |
|
||
U12(q; !) = |
U (q) |
: |
(4.29) |
1 + fi 2(! − vq)2 |
|||
œ ПВМБУФЙ !fi 1 НПЦОП РПМПЦЙФШ ! = 0, Ф. Е. УЮЙФБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЗОПŒЕООЩН, Й ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ТЕЪХМШФБФПН ЪБДБЮЙ 18 Б.
рТЙНЕТПН ТЕБМШОПК УЙУФЕНЩ, Л ЛПФПТПК РТЙНЕОЙН ЙЪМПЦЕООЩК НЕФПД, СŒМСЕФУС ЬЛУЙФПО Œ РПМХРТПŒПДОЙЛЕ, ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛБС РТПОЙГБЕНПУФШ ЛПФПТПЗП ПВМБДБЕФ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЕК "(!). йЪ-ЪБ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ (4.4), (4.5) НЕЦДХ ПВТБЪХАЭЙНЙ ЬЛУЙФПО ЬМЕЛФТПОПН Й ДЩТЛПК УФБОПŒЙФУС ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН, ЮФП РТЙŒПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ ЬЛУЙФПОБ.
4.3. ъбдбюй 16 { 21 |
73 |
жПТНХМБ (4.29) РПДТБЪХНЕŒБЕФ, ЮФП РЕТЕОПУСЭЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЮБУФЙГЩ | ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛЙЕ, Ф. Е. РПДЮЙОСАФУС РТЕПВТБЪПŒБОЙА зБМЙМЕС, Б ОЕ мПТЕОГБ. œ ТЕМСФЙŒЙУФУЛПК ДЙОБНЙЛЕ ЙОЕТФОБС НБУУБ, ПРТЕДЕМСЕНБС У РПНПЭША p = Mv, ФПЦДЕУФŒЕООБ НБУУЕ РПЛПС M = 2m − ´E=c2, ÇÄÅ ´E | ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ.
йОФЕТЕУОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП ЪОБЛ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ НБУУЩ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС, ДБŒБЕНПК ОБЫЙН ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛЙН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН, УПЗМБУХЕФУС У ПФŒЕФПН ДМС ТЕМСФЙŒЙУФУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. (уЛБЦЕН, НБУУБ ДЕКФТПОБ md = mp + mn − ´d=c2, ÇÄÅ ´d | ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ ДЕКФТПОБ.) оП, ЛПОЕЮОП ЦЕ, ТБУУНБФТЙŒБЕНЩК ОБНЙ ЬЖЖЕЛФ ОЕ ЙНЕЕФ ОЙЛБЛПЗП ПФОПЫЕОЙС Л ФЕПТЙЙ ПФОПУЙФЕМШОПУФЙ. œ ЮБУФОПУФЙ, ЙЪНЕОЕОЙЕ НБУУЩ ЪБ УЮЕФ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЛБЛ РТБŒЙМП ПЛБЪЩŒБЕФУС ЪБНЕФОП ВПМШЫЕ, ЮЕН ТЕМСФЙŒЙУФУЛЙК ДЕЖЕЛФ НБУУЩ ´E=c2.
ъБДБЮБ 20. (жХОЛГЙЙ зТЙОБ ДМС ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЙ.) уРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(p) ДБЕФУС РПМАУБНЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G("; p). йУРПМШЪХС ЬФПФ ЖБЛФ, ТЕЫЙН ЪБДБЮХ 2 ДТХЗЙН УРПУПВПН. рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО (1.20) Œ ŒЙДЕ УХННЩ ĂОЕŒПЪНХЭЕООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБĄ Й ĂŒПЪНХЭЕОЙСĄ, H = H0 + Hint, ÇÄÅ
∞ |
J1ai+ai+1 |
+ J1ai++1ai − 2Bai+ai ; |
|
−∞ |
|
||
H0 = i= |
(4.30) |
||
∞ |
|
+ J2ai++1ai+ : |
|
−∞ |
|
||
Hint = i= |
J2aiai+1 |
(4.31) |
|
оБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G0("; p) ДМС ЪБДБЮЙ, ПРЙУЩŒБЕНПК ЗБНЙМШФПОЙБОПН H0. оБТЙУХКФЕ ЗТБЖЙЛЙ, УХННБ ЛПФПТЩИ ДБčФ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ФПМШЛП ЮЕФОЩЕ РПТСДЛЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РП Hint ДБАФ ŒЛМБД. œЩЮЙУМЙФЕ ЛБ-
ЦДХА ЙЪ ДЙБЗТБНН, ЛБЛ ЖХОЛГЙА " Й p, Й РТПУХННЙТХКФЕ ТСД.
ъБДБЮБ 21*. (фСЦЕМБС ЮБУФЙГБ Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ.) тБУУНПФТЙН БФПН НБУУЩ M , ДŒЙЦХЭЙКУС Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГБНЙ. œ ХУМПŒЙСИ, ЛПЗДБ НБУУБ БФПНБ M НОПЗП ВПМШЫЕ НБУУЩ ЖЕТНЙПОПŒ m, ТБУУЕСОЙЕ МЕЗЛЙИ ЖЕТНЙПОПŒ ОБ ФСЦЕМПК ЮБУФЙГЕ ЛŒБЪЙХРТХЗПЕ, РПУЛПМШЛХ РТЙ НБЛУЙНБМШОП ŒПЪНПЦОПН РЕТЕДБООПН РТЙ УФПМЛОПŒЕОЙЙ ЙНРХМШУЕ ´p = 2p0 ŒЕМЙЮЙОБ РЕТЕДБООПК ЬОЕТЗЙЙ
"M = ´p2=2M EF .
œ ПФУХФУФŒЙЕ ТБУУЕСОЙС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЮБУФЙГЩ ДБЕФУС ПВЩЮОЩН ŒЩТБЦЕОЙЕН:
G("; p) = |
1 |
: |
(4.32) |
" − p2=2M + i0 |
юФПВЩ ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЖЕТНЙПОБНЙ ŒМЙСЕФ ОБ ДЙОБНЙЛХ ЮБУФЙГЩ,
ОБКДЕН ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЮБУФЙГЩ Œ РТЙУХФУФŒЙЙ УМБВПЗП ЛПОФБЛФОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС U (r − r ) = –‹(r − r ).
Б) рПУЛПМШЛХ ЖЕТНЙПОЩ ДŒЙЦХФУС ОБНОПЗП ВЩУФТЕЕ ЮБУФЙГЩ, ЕУФЕУФŒЕООП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ĂБДЙБВБФЙЮЕУЛЙНĄ РТЙВМЙЦЕОЙЕН, Œ ЛПФПТПН ДЙОБНЙЛБ ЖЕТНЙПОПŒ ЙУЛМАЮЕОБ Й ЪБНЕОЕОБ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩН ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН ЮБУФЙГЩ УБНПК У УПВПК. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ŒПЪОЙЛБЕФ ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА У ЖЕТНЙПОБНЙ – Й РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.
В) оБКДЙФЕ УПВУФŒЕООП{ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЮБУФЙГЩ Œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ РП ЬЖЖЕЛФЙŒОПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. йЪХЮЙФЕ ТЕЪХМШФБФ РТЙ ЬОЕТЗЙЙ ЮБУФЙГЩ " "M É
74 |
змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ |
" "M . рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ ОЕ УМЙЫЛПН НБМПН – Й " ≈ "M РЕТЕОПТНЙТПŒЛБ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦЕФ ВЩФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ŒЕМЙЛБ. рПМШЪХСУШ ФЕПТЙЕК ŒПЪНХЭЕОЙК, РТПУХННЙТХКФЕ ŒУЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ВПМШЫЙЕ ŒЛМБДЩ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК "M " EF ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЙНЕЕФ УФЕРЕООПК ŒЙД
a0
G("; p) = ¸ ; (4.33) (" − p2=2M + i0)1+
ЗДЕ РПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ ¸ ЪБŒЙУЙФ ПФ УЙМЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС –.
4.4. тЕЫЕОЙС
тЕЫЕОЙЕ 16. œЩЮЙУМСЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ
˚("; p) = ig2 |
G0(" − !; p − k) D0(!; k) (2ı)3 |
2ı ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3k |
d! |
||
ÇÄÅ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
c2k2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
G0("; p) = " − p2=2m + i‹ ; |
D0(!; k) = !2 − c2k2 + i‹ : |
||||||||||||
йОФЕЗТБМ РП ! ВЕТЕН, ЪБНЩЛБС ЛПОФХТ Œ ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ: |
|||||||||||||
+∞ |
|
|
1 |
|
|
c2k2 |
d! |
i |
ck |
|
i0 ; |
||
|
"~ |
− |
! + i0 !2 |
− |
c2k2 + i0 2ı |
= 2 ck |
− |
"~ |
− |
||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ÇÄÅ "~ = " − (p − k)2=2m; k = |k|. рПМХЮБЕН |
Ókk)2=2m + i0 |
(2ı)3 : |
|||||||||||
˚("; p) = 2 |
" ck (p |
||||||||||||
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
d3k |
||
|
|
|
|
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
(4.34)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
юБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП d3k НПЦОП ŒЩРПМОЙФШ ФПЮОП, ЕУМЙ ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ЙЪŒЕУФОПК ЪБНЕОПК РЕТЕНЕООЩИ ([1], § 21, Р. 3) Й РЕТЕКФЙ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП |k|
É3 |
q |
= |p |
−2 |
k|. |
пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ x ЛПУЙОХУ ХЗМБ НЕЦДХ ŒЕЛФПТБНЙ k Й p, ФПЗДБ |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
= |p − k| |
2 |
= |
p |
2 |
+ k |
2 |
− 2pkx, Й РПФПНХ q dq = |
−pk dx. ðÏÌÕ- |
|||||||||
d |
k = 2ık |
dk dx, Á q |
|
|
|
|
|||||||||||||||
ÞÁÅÍ |
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ (2ı)2p |
|
p+k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f (|k|; |p − k|) (2ı)3 |
k dk |
f (k; q) q dq : |
(4.38) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|p−k| |
|
|
|
||
üÔÏ ÄÁÅÔ |
|
|
|
|
|
|
kD |
|
|
p+k |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" q2=2m |
|
ck + i0 |
: |
(4.39) |
||||||
|
|
|
|
|
|
˚ = 2(2ı)2p |
k dk |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
ck q dq |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|p−k| |
|
− |
|
− |
|
|
|
|
4.4. теыеойс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
йОФЕЗТЙТХЕН РП x = q2: |
|
|
|
|
$ |
" − (p + k)2=2m ck $ |
|
− |
|
|||
|
8ı2p |
|
|
|
||||||||
˚ = g2mc |
kD |
|
$ |
" (p |
− k)2=2m − ck |
$ |
|
|
|
|||
0 |
ln |
k2 dk |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
$ |
|
− |
− |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
2 |
|
$ |
|
|
|
|
g2mc |
kD |
|
$ |
|
(p+k) |
|
$ |
|
|
|
|
−i |
8ıp |
|
k2 dk |
2 |
‹ (x − 2m(" − ck)) dx : |
(4.40) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
(p−k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рТЙ p < mc УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ˚ ŒЕЭЕУФŒЕООБ, Ф. Е. РПМСТПО УФБВЙМЕО. ьЖЖЕЛФЩ, УŒСЪБООЩЕ У ТБУРБДПН РПМСТПОБ РТЙ p > mc, НЩ ТБУУНПФТЙН Œ УМЕДХАЭЕК ЪБДБЮЕ.
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ˚ ŒВМЙЪЙ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ " = p2=2m Й РТЙ НБМЩИ p. рТЙ НБМПН p mc ŒЩЮЙУМСЕН ˚, ТБУЛМБДЩŒБС РП НБМЩН РБТБНЕФТБН ´ = " − p2=2m É v = p=m:
˚ = g2mc |
kD |
|
$ |
k2=2m + (c − v)k − ´ |
$ |
k2 dk = g2mc |
|
||||
|
|
ln |
× |
||||||||
|
8ı2p |
|
|
k2=2m + (c + v)k ´ |
|
8ı2p |
|||||
|
|
0 |
|
|
$ |
|
− |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
$ |
|
|
|
|
kD |
|
|
|
|
$ |
4´vk |
|
$ |
|
2v3k3 |
|
|
|
|
2vk$ |
|
$ |
|
|
||||
× −ck + k2=2m − 2(ck + k2=2m)2 |
− |
3(ck + k2=2m)3 + : : : k2dk : (4.41) |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фТЙ ЮМЕОБ Œ УЛПВЛБИ ДБАФ ЙУЛПНПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ ˚ = "0 − ¸1´ − ¸2 p2=2m, РТЙЮЕН ЙОФЕЗТБМЩ РП k МЕЗЛП УЮЙФБАФУС, ФБЛ ЛБЛ c kD =m, Й РПЬФПНХ ck Œ ЪОБНЕОБФЕМСИ РТЕОЕВТЕЦЙНП НБМП РП УТБŒОЕОЙА У k2=2m РПЮФЙ ŒП ŒУЕК ПВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС. рПМХЮБЕН
|
"0 = −4ı2 |
kD |
ck + k2=2m = − |
4ı2 |
|
|
(4.42) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
g2c |
|
|
k3 dk |
|
|
g2ckD2 m |
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Й, У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
g2m2c |
kD |
|
k3 dk |
g2m2c |
|
kD |
|
|
|
|||
¸1 = |
|
|
|
|
; |
|
(4.43) |
||||||
ı2 |
(k2 + 2mck)2 = |
ı2 |
ln mc |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸2 = |
3ı2 |
|
m |
kD |
(k2 + 2mck)3 = |
|
3ı2 |
ln mc |
= 3 ¸1 : |
(4.44) |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
2g2m3c |
2 |
|
|
|
k5 dk |
4g2m2c |
kD |
4 |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЙУРЕТУЙПООПЕ УППФОПЫЕОЙЕ ДБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН G0−1 − ˚ = 0. рПМХЮБЕН РЕТЕОПТНЙ- |
|||||||||||||
ТПŒЛХ НБУУЩ |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + ¸2 |
> 1 : |
|
|
|
|
(4.45) |
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЬМЕЛФТПО ДЕКУФŒЙФЕМШОП ĂПДЕŒБЕФУСĄ, Б ОЕ ĂТБЪДЕŒБЕФУСĄ | РПРТБŒЛБ Л НБУУЕ РПМПЦЙФЕМШОБ.