Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 795
Скачиваний: 1
4.4. теыеойс |
81 |
рТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ УДŒЙЗБ ЬОЕТЗЙЙ, ŒЩЪŒБООПЗП ДŒЙЦЕОЙЕН, РПТСДПЛ ДЕКУФŒЙК ВХДЕФ УМЕДХАЭЙН. уОБЮБМБ НЩ РЕТЕКДЕН Œ УЙУФЕНХ ГЕОФТБ НБУУ, ДŒЙЦХЭХАУС УП УЛПТПУФША v = P=M , Б ЪБФЕН РПМПЦЙН ! = 0, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РТЕДЕМХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ВЕЪ ЪБРБЪДЩŒБОЙС. рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ (4.75) ДБУФ РПРТБŒЛХ Л РПФЕОГЙБМХ, ŒПЪОЙЛБАЭХА ЙЪ-ЪБ ДŒЙЦЕОЙС. ъОБС ЕЕ, НПЦОП ОБКФЙ УДŒЙЗ ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ДМС ПФОПУЙФЕМШОПЗП ДŒЙЦЕОЙС. б ЬФПФ УДŒЙЗ, Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, Й ПРТЕДЕМСЕФ РПРТБŒЛХ Л НБУУЕ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН, ФБЛПК НЕФПД СŒМСЕФУС ЛПТТЕЛФОЩН, ЕУМЙ fi h="— 0, ÇÄÅ "0 | ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ.
нПЦЕФ РПЛБЪБФШУС, ЮФП РТЕОЕВТЕЗБФШ Œ (4.76) ЪБŒЙУЙНПУФША ПФ !, УПИТБОСС РТЙ ЬФПН ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ v, ОЕ ŒРПМОЕ РТБŒЙМШОП, РПУЛПМШЛХ Й ФБ Й ДТХЗБС ЪБŒЙУЙНПУФЙ ЙНЕАФ ПДЙОБЛПŒХА НБМПУФШ РП fi . оБ УБНПН ДЕМЕ ОБЫЙ ДЕКУФŒЙС ПРТБŒДБОЩ, Й РТПЭЕ ŒУЕЗП Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС НПЦОП УМЕДХАЭЙН УРПУПВПН. ъБРЙЫЕН ЖПТНБМШОП УЛПТПУФШ ЛБЛ v = –=fi , Й ВХДЕН УЮЙФБФШ РБТБНЕФТПН ТБЪМПЦЕОЙС –, Б ОЕ v. рТЙ ЬФПН Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.76) ХЦЕ НПЦОП РЕТЕКФЙ Л РТЕДЕМХ fi = 0, ОЕ ОБТХЫЙŒ РТЙ ЬФПН ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ –:
Uv (q; !) = |
U (q) |
≈ U (q) − –2qx2U (q) + O(–4) : |
(4.77) |
1 + (fi ! − –qx)2 |
рТЕОЕВТЕЦЕОЙЕ !fi ПРТБŒДБОП, РПУЛПМШЛХ ЮБУФПФБ ! Œ ХТБŒОЕОЙЙ вЕФЕ{ уПМРЙФЕТБ (4.20) ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ "0, Б У ДТХЗПК УФПТПОЩ,
fi h="— 0.
рПМХЮЕООПЕ Œ ТЕЪХМШФБФЕ РТЙВМЙЦЕОЙС (4.77) ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЮБ-
УФПФЩ, Й, УПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 18 Б, ХТБŒОЕОЙЕ ОБ ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД |
|
`P = U + U G0`P : |
(4.78) |
ъДЕУШ `P , U É G0 | ПРЕТБФПТЩ, ДЕКУФŒХАЭЙЕ ОБ УПУФПСОЙЕ ЮБУФЙГЩ НБУУЩ m=2 Œ
ÐÏÌÅ |
U |
, Á |
ЖХОЛГЙС зТЙОБ G |
0 |
= 1=(˙ |
|
q2 |
=m +i0). рПМОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ, ЪБРЙУБООБС |
||||||
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
||||
Œ ПРЕТБФПТОПН ŒЙДЕ, ЕУФШ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
G = G |
0 |
+ G0`P G |
0 = |
˙0 |
− q2 |
1 |
+ i0 |
: |
(4.79) |
||
|
|
|
=m + Uv |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œЪСŒ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ |0v ХТБŒОЕОЙС ыТЕДЙОЗЕТБ У РПФЕОГЙБМПН Uv (4.77) Й НБУУПК m=2, ОБИПДЙН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ:
|
|
|
q2 |
| |
|
|
|
|
˙0 = |
0v |
| |
0v |
: |
(4.80) |
|||
|
m |
+ Uv |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дМС РЕТŒПК РПРТБŒЛЙ Л ХТПŒОА ЬОЕТЗЙЙ ДПУФБФПЮОП ŒЪСФШ НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ РП ОЕŒПЪНХЭЕООПНХ УПУФПСОЙА |0v v=0. рПДУФБŒМСС ˙0 = ˙ − P 2=4m, Б ŒНЕУФП Uv | ЖХТШЕПВТБЪ ŒЩТБЦЕОЙС (4.77), РПМХЮБЕН
|
P 2 |
|
˙ = "0 + |
2M − fi 2v2 0| qx2 U (q)|0 : |
(4.81) |
82 |
змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ |
дМС ГЕОФТБМШОП-УЙННЕФТЙЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС U (q) = U (|q|) ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ФПЦЕ УЙННЕФТЙЮОП, Й НПЦОП ХУТЕДОЙФШ qx2 РП ОБРТБŒМЕОЙСН:
|
|
qx2 = q2=3 : |
|
|
|
ъБНЕОСЕН v ОБ P=2m Й q2 ÎÁ − 2: |
4m + |
12m2 0| 2U |0 0 |
|
||
|
˙ = "0 + P 2 |
: |
|||
|
|
1 |
fi 2 |
|
|
фБЛЙН ПВТБЪПН, ЬЖЖЕЛФЙŒОБС НБУУБ ЕУФШ |
≈ 2m − (2fi 2 |
=3) 0| 2U |0 0 : |
|||
M = 2m |
+ 6m2 0| 2U |0 0 |
||||
1 |
fi 2 |
|
−1 |
|
|
(4.82)
(4.83)
(4.84)
фП ЮФП ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ, НПЦОП РПОСФШ ФБЛ. œ ДŒЙЦХЭЕКУС УЙУФЕНЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ĂПФУФБЕФĄ ПФ ЮБУФЙГ, Й ЬЖЖЕЛФЙŒОП ХНЕОШЫБЕФУС. рПФЕОГЙБМШОБС СНБ УФБОПŒЙФУС ВПМЕЕ НЕМЛПК Й ХТПŒЕОШ ŒЩФБМЛЙŒБЕФУС ŒŒЕТИ. рПЬФПНХ ПВБ ЬЖЖЕЛФБ, ŒПЪОЙЛБАЭЙИ ŒУМЕДУФŒЙЕ ДŒЙЦЕОЙС, | ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС ГЕОФТБ НБУУ Й ŒЩФБМЛЙŒБОЙЕ ХТПŒОС ЙЪ-ЪБ ПУМБВМЕОЙС РПФЕОГЙБМБ, ЙНЕАФ ПДЙОБЛПŒЩК ЪОБЛ.
œ ДЕКУФŒЙФЕМШОПУФЙ, ЪБДБЮХ НПЦОП ТЕЫЙФШ ŒППВЭЕ ВЕЪ ДЙБЗТБНН. йЪ-ЪБ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ЮБУФЙГБ ĂŒЙДЙФĄ ŒФПТХА ЮБУФЙГХ ОЕ Œ ФПЮЛЕ r, Б Œ ФПЮЛЕ r = r − vt. рПЬФПНХ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩК РПФЕОГЙБМ, ДЕКУФŒХАЭЙК ОБ ОЕЕ, ОЕУЛПМШЛП ПФМЙЮБЕФУС ПФ U (r). рПРТБŒЛХ Л РПФЕОГЙБМХ, НБМХА РТЙ vfi r0, ÇÄÅ r0 | ТБЪНЕТ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС, ОЕФТХДОП ОБКФЙ, ТБЪМБЗБС U (|r − vt|) Œ ТСД РП НБМПНХ t. рТЙ ЬФПН ŒЛМБД ПФ ЮМЕОБ ТБЪМПЦЕОЙС РЕТŒПЗП РПТСДЛБ УПЛТБЭБЕФУС РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ХЗМБН, Й ОЕПВИПДЙНП ТБУУНПФТЕФШ ŒФПТПК ЮМЕО ТБЪМПЦЕОЙС:
|
1 |
@2U |
|
‹U (r) = |
2 |
@r¸@r˛ v¸v˛ t2 : |
(4.85) |
хУТЕДОСС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РП t (РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА (2fi )−1 exp(−|t|=fi )) Й РП r (РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА | (r)|2), УОПŒБ РПМХЮБЕН (4.83).
йОФЕТЕУОП УТБŒОЙФШ ТЕЪХМШФБФ (4.83) У НБУУПК РПМСТПОБ, ЛПФПТБС ŒУЕЗДБ ВПМШЫЕ НБУУЩ ЬМЕЛФТПОБ. œ ПВПЙИ УМХЮБСИ ЙЪНЕОЕОЙЕ НБУУЩ РТПЙУИПДЙФ ВМБЗПДБТС ЪБРБЪДЩŒБОЙА ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. тБЪОЩЕ ЪОБЛЙ РПРТБŒЛЙ Л НБУУЕ ПФŒЕЮБАФ ТБЪОПК ЖЙЪЙЛЕ. œ УМХЮБЕ РПМСТПОБ, УПУФПСОЙЕ, П НБУУЕ ЛПФПТПЗП ЙДЕФ ТЕЮШ, УХЭЕУФŒХЕФ Й ВЕЪ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. уŒСЪБООПЕ ЦЕ УПУФПСОЙЕ ДŒХИ ЮБУФЙГ УБНП ŒПЪОЙЛБЕФ ВМБЗПДБТС ФПНХ УБНПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА, ЛПФПТПЕ РЕТЕОПТНЙТХЕФ НБУУХ.
тЕЫЕОЙЕ 20. рЕТЕКДЕН Œ ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЕ Й, УПЗМБУОП (1.36), ЪБРЙЫЕН ЗБ-
НЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ = + , ÇÄÅ
H H0 Hint
H0 = |
ı |
"q aq+aq 2dqı ; |
Hint = |
ı |
iJ2 sin q (a−q aq + a−+q aq+) 2dqı ; |
(4.86) |
|
−ı |
|
|
−ı |
|
|
4.4. теыеойс |
83 |
ÇÄÅ "q = 2(J1 cos q − B). жХОЛГЙС зТЙОБ ĂОЕŒПЪНХЭЕООПКĄ ЪБДБЮЙ: |
|
G0("; q) = 1=(" − "q + i‹ sign ") : |
(4.87) |
œ УППФŒЕФУФŒЙЙ УП УФТХЛФХТПК , Œ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ ЕУФШ ДŒЕ ŒЕТЫЙОЩ ĂŒЪБ-
Hint
ЙНПДЕКУФŒЙСĄ, УПРТСЦЕООЩЕ ДТХЗ ДТХЗХ (ТЙУ. 4.12):
V = |
+ |
010011 |
òÉÓ. 4.12
ьФЙН ДŒХН ŒЕТЫЙОБН УППФŒЕФУФŒХАФ ŒЩТБЦЕОЙС 2iJ2 sin q É −2iJ2 sin q УППФŒЕФУФŒЕООП. рПРТБŒЛЙ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ŒЩЮЙУМЕООЩЕ РП ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ЙНЕАФ ŒЙД (ТЙУ. 4.13)
|
+ |
101100 |
|
|
E,p |
E,p −E,−p |
E,p |
+ |
01 |
01 |
+... |
|
01 |
01 |
|
|
01 |
01 |
|
E,p −E,−p E,p −E,−p E,p
òÉÓ. 4.13
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЪОБЛЙ " ЮЕТЕДХАФУС. фБЛ РПМХЮБЕФУС РПФПНХ, ЮФП РП РТБŒЙМХ УПИТБОЕОЙС 4-ЙНРХМШУБ Œ ŒЕТЫЙОЕ, УХННБ "¸ ŒУЕИ ŒИПДСЭЙИ МЙОЙК ТБŒОБ УХННЕ "¸ ŒЩИПДСЭЙИ МЙОЙК, ЕУМЙ ПОЙ ЕУФШ, ЙМЙ ОХМА, ЕУМЙ ŒЩИПДСЭЙИ МЙОЙК ОЕФ. фП ЦЕ УБНПЕ УРТБŒЕДМЙŒП ДМС ЙНРХМШУПŒ.
йЪ-ЪБ ЮЕТЕДПŒБОЙС ЪОБЛПŒ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС ФПМШЛП РПРТБŒЛЙ ЮЕФОПЗП РПТСДЛБ, РТЙЮЕН Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ 2n ЙНЕЕФУС ŒУЕЗП ПДЙО ЗТБЖЙЛ. ьФПНХ ЗТБЖЙЛХ УППФŒЕФУФŒХЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ
(−4J22 sin2 q)n G0n+1("; q)G0n(−"; −q) : |
|
(4.88) |
|
уХННБ РП n РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛХА РТПЗТЕУУЙА. рПМХЮБЕН |
|
||
G("; q) = |
G0("; q) |
|
|
1 + 4J22 sin2qG0(";q)G0(−";−q) |
|
|
|
= |
" + 2(J1 cos q −B) |
: |
(4.89) |
"2 − 4((J1 cos q − B)2 + J22 sin2 q) + i‹ |
|
|
|
уРЕЛФТ ПРТЕДЕМСЕФУС РПМАУБНЙ: " = ±2 (J1 cos q − B)2 + J22 sin2 q. ъОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ i‹ Œ (4.89) ХЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ŒЕТИОСС ŒЕФŒШ УППФŒЕФУФŒХЕФ РХУФЩН УПУФПСОЙСН, Б
84 |
змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ |
ОЙЦОСС | ЪБРПМОЕООЩН.
тЕЫЕОЙЕ 21 Б. ьЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ ŒЩТБЦЕОП ЮЕТЕЪ ДŒХИЮБУФЙЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖЕТНЙПОПŒ:
˝(!; r) = 2i |
G("+; r)G("−; r) 2d"ı ; |
"± = " ± !=2 : |
(4.90) |
|
жХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОП-ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, |
|
|||
m |
|
|
|
|
G("; r) = −2ı|r|ei sign " κ(")|r| ; |
κ(") = (p02 + 2m")1=2 |
(4.91) |
||
ВЩМБ ОБКДЕОБ Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 22 (УН. (5.25)), Б НОПЦЙФЕМШ 2 Œ (4.90) ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС.
œЩТБЦЕОЙЕ (4.90) ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ ЛБЛ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ЖЕТНЙЗБЪБ ˝(!; k) Œ ЛППТДЙОБФОП-ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. рПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) ВХДЕФ ОБКДЕО Œ ЪБДБЮЕ 24 Б РТЙ НБМЩИ ! EF É |k| p0 (УН. ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.39)). пДОБЛП, ИПФС ИБТБЛФЕТОБС ЬОЕТЗЙС ПФДБЮЙ РТЙ ТБУУЕСОЙЙ ФСЦЕМПК ЮБУФЙГЩ ОБ ЖЕТНЙПОБИ ПЛБЪЩŒБЕФУС НОПЗП НЕОШЫЕ EF , ИБТБЛФЕТОЩК РЕТЕДБООЩК ЙНРХМШУ НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС РПТСДЛБ p0. рПЬФПНХ ОБН РПФТЕВХЕФУС ВПМЕЕ ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ˝(!; k), УРТБŒЕДМЙŒПЕ РТЙ НБМЩИ ! EF Й РТПЙЪŒПМШОЩИ k. œ РТЙОГЙРЕ ДМС ПФЩУЛБОЙС ˝(!; r) НПЦОП ВЩМП ВЩ ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ФПЮОЩН ŒЩТБЦЕОЙЕН (8.53) ДМС ˝(!; k), ЛПФПТПЕ ВХДЕФ РПМХЮЕОП Œ ЪБДБЮЕ 44, ПДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ ХДПВОЩН РЕТЕКФЙ Л РТЕДЕМХ ! EF ОЕРПУТЕДУФŒЕООП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.90).
юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УŒСЪШ НЕЦДХ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН Ve¸ (!; r) Й РПМСТЙЪБГЙПООЩН ПРЕТБФПТПН, ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ТПМШ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ Ve¸ (!; r). лБЛ ВЩМП ŒЩСУОЕОП Œ ЪБДБЮЕ 18, Œ ПФУХФУФŒЙЕ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ (Ф. Е. ДМС НЗОПŒЕООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФЙС) ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ У ЪБНЛОХФЩНЙ РЕФМСНЙ ПВТБЭБАФУС Œ ОХМШ Œ УЙМХ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮБУФЙГЩ, ŒЩТБЦБАЭЙИ РТЙОГЙР РТЙЮЙООПУФЙ. рПЬФПНХ Œ ПФУХФУФŒЙЕ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ ŒУЕ РПРТБŒЛЙ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮБУФЙГЩ ФПЦДЕУФŒЕООП ТБŒОЩ ОХМА. рТЙОЙНБС ŒП ŒОЙНБОЙЕ ЬФП ПВУФПСФЕМШУФŒП, Б ФБЛЦЕ ФП, ЮФП ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ НБМЩЕ РЕТЕДБООЩЕ ЮБУФПФЩ ! EF , ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН СŒОП ŒЩДЕМЙФШ ЪБŒЙУСЭХА ПФ ! ЮБУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ (4.90). œ ТЕЪХМШФБФЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Ve¸ (!; r) = –2 (˝(!; r) − ˝(! = 0; r)) : |
(4.92) |
œЕМЙЮЙОБ κ(") Œ ЙОФЕТЕУХАЭЕК ОБУ ПВМБУФЙ |"| EF РТБЛФЙЮЕУЛЙ РПУФПСООБ, РПЬФПНХ ЪБНЕОЙН κ(") Œ (4.91) ОБ κ(" = 0) = p0. йОФЕЗТБМ РП " Œ (4.90) РПУМЕ ЬФПЗП ŒЩЮЙУМСЕФУС ЬМЕНЕОФБТОП:
|
|
|
m2 sin2 p |
0| |
r |
(sign "+ sign " |
− − |
1) d" |
= −i|!|F (r) ; (4.93) |
Ve¸ (!; r) = 2i–2 |
|
|
| (2ı)2r2 |
2ı |
|||||
|
–2m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (r) = |
2ı3r2 sin2(p0|r|) : |
|
|
|
|
|
(4.94) |
||