Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 806
Скачиваний: 1
6.4. ьжжелф рбкетмуб, фептйс утедоезп рпмс |
|
|
131 |
||||||||
ФПОЙБО УŒПВПДОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД |
|
@x − |
|
|
|
||||||
H0 |
|
− |
2m |
− 2m |
|
≈ − F |
1 |
2 |
@x |
||
|
= |
+(x) |
2 |
p02 |
(x)dx |
iv |
+(x) |
@ 1 |
+(x) |
@ 2 |
dx (6.72) |
рТЕДРПМПЦЙН ФЕРЕТШ, ЮФП Œ УЙУФЕНЕ ŒПЪОЙЛМБ УФБФЙЮЕУЛБС НПДХМСГЙС УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ u(x) = u0 cos(2p0x + ’). рТЙ ЬФПН ОБ ЬМЕЛФТПОЩ ДЕКУФŒХЕФ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ U (x) = g@u=@x. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК ŒЛМБД Œ ЗБНЙМШФПОЙБО ЕУФШ
Hint = |
U (x) +(x) (x) dx ≈ ´ |
1+(x) |
2(x) + h:c: |
dx ; |
(6.73) |
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ ´ = gu0p0ei’. оБН ВХДЕФ ХДПВОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС НБФТЙЮОПК ЖПТНПК ЪБРЙУЙ. вХДЕН УЮЙФБФШ ДŒХИЛПНРПОЕОФОЩН ŒЕЛФПТПН (ЕЗП ЛПНРПОЕОФЩ | 1 É 2). фПЗДБ ЗБНЙМШФПОЙБО НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ У РПНПЭША НБФТЙГЩ, ДЕКУФŒХАЭЕК ОБ ЬФПФ ŒЕЛФПТ:
|
|
− |
|
|
|
H = |
vF k |
|
´ |
: |
(6.74) |
´ |
|
vF k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъДЕУШ k = −i@=@x. рЕТЕКДС Л ЙНРХМШУОПНХ РТЕДУФБŒМЕОЙА, ОЕФТХДОП ОБКФЙ УПВ- |
|||||||||||||
УФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС Й УПВУФŒЕООЩЕ ŒЕЛФПТЩ ПРЕТБФПТБ (6.74): |
|
|
|
||||||||||
|
|
"±(k) = ± vF k |
+ ´ ; |
|±; k = |
|
v |
; |
|
|
(6.75) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
± |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
u± |
|
|
|
||
ÇÄÅ |
|
1 |
|
; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
u2 |
= 1 |
2 vF k |
v2 |
= 1 |
|
|
2 vF k |
: |
(6.76) |
||||
± |
2 |
|
± vF k2 + ´2 |
± |
2 |
|
vF k2 + ´2 |
|
|
|
|||
фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЫ ŒЩŒПД П ФПН, ЮФП Œ УРЕЛФТЕ ŒПЪВХЦДЕОЙК ПФЛТЩŒБЕФУС ЭЕМШ, ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒЩН, РТЙЮЕН ŒЕМЙЮЙОБ ЭЕМЙ ЕУФШ 2|´|.
йУРПМШЪХС ОБКДЕООЩЕ УПВУФŒЕООЩЕ УПУФПСОЙС Й ЙИ ЬОЕТЗЙЙ (6.75), ОБКДЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ РПМОПК ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ, ŒЩЪŒБООПЕ ĂŒОЕЫОЙНĄ ДЕЖПТНБГЙПООЩН РПФЕОГЙБМПН U (x). œУЕ ЬМЕЛФТПООЩЕ УПУФПСОЙС (6.75) У " > 0 РТЙ T = 0 ВХДХФ РХУФЩНЙ, Б УПУФПСОЙС У " < 0 | ЪБОСФЩНЙ. рПЬФПНХ ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ ТБŒОБ
EÜÌ = −2 |
|
vF2 k2 + |´|2 |
(6.77) |
k |
(НОПЦЙФЕМШ 2 ХЮЙФЩŒБЕФ УРЙОПŒПЕ ŒЩТПЦДЕОЙЕ). ьФБ УХННБ ТБУИПДЙФУС УФЕРЕООЩН ПВТБЪПН РТЙ k → ±∞, ВМБЗПДБТС ЬМЕЛФТПООЩН УПУФПСОЙСН, ТБУРПМПЦЕООЩН ЗМХВПЛП РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. пДОБЛП РПУЛПМШЛХ ЬОЕТЗЙС ЬФЙИ УПУФПСОЙК РПЮФЙ ОЕ НЕОСЕФУС
РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ РПФЕОГЙБМБ U (x), ПОЙ ДБАФ ПФОПУЙФЕМШОП ОЕВПМШЫПК ŒЛМБД Œ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ
‹EÜÌ = EÜÌ(´) − EÜÌ(´ = 0) = −2 |
k |
|
vF2 k2 |
+ |´|2 − vF |k| |
: |
(6.78) |
|
|
|
|
|
|
|
132 |
змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ |
ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒУЕ ЕЭЕ ТБУИПДЙФУС РТЙ ВПМШЫЙИ k, ОП ХЦЕ МЙЫШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ. пВТЕЪБС ЬФХ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ k ≈ ±p0, РПМХЮБЕН
‹EÜÌ = − |
L ´ |
2 |
ln |
2" |
− |
1 |
; |
|
|
ıv| | |
| |
´ |
2 |
(6.79) |
|||||
|
F |
|
|
| |
|
|
|
|
|
ÇÄÅ " = vF p0, Б L | ТБЪНЕТ УЙУФЕНЩ. оБЫЕ ŒЩЮЙУЙМЕОЙЕ ‹EÜÌ ЛПТТЕЛФОП, РПУЛПМШЛХ
|´| "F .
юФПВЩ ПРТЕДЕМЙФШ ПРФЙНБМШОХА ŒЕМЙЮЙОХ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЭЕМЙ ´, ОБКДЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ ТЕЫЕФЛЙ РТЙ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙЙ НПДХМСГЙЙ:
|
jc2 |
|
@u |
2 |
L ´ |
2 |
|
|
|
dx = jc2p02u02L = |
|
||||
EÒÅÛ = |
2 |
@x |
|g2 | |
: |
(6.80) |
œЙДОП, ЮФП РТЙ УБНЩИ НБМЩИ |´| ПФТЙГБФЕМШОПЕ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ (6.79) РТЕПВМБДБЕФ. œЕМЙЮЙОБ ´ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ ХУМПŒЙС НЙОЙНЙЪБГЙЙ РПМОПК ЬОЕТЗЙЙ ‹EÜÌ + EÒÅÛ ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ´, ЮФП ДБЕФ
´0 = " exp −ı vF =g2 : |
(6.81) |
œЕМЙЮЙОБ ´0 ПРТЕДЕМСЕФ ИБТБЛФЕТОЩК НБУЫФБВ ЬОЕТЗЙК, РТЙ ЛПФПТЩИ ЙНЕЕФ НЕУФП ЬЖЖЕЛФ рБКЕТМУБ. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ (6.75), ЙНЕООП РТЙ ЬОЕТЗЙСИ " ≈ ´0 РТПЙУИПДСФ ЙЪНЕОЕОЙС Œ УРЕЛФТЕ ЬМЕЛФТПОПŒ. œЕМЙЮЙОБ ´0 ФБЛЦЕ ПРТЕДЕМСЕФ ФЕНРЕТБФХТХ Tc ≈ ´0, РТЙ ЛПФПТПК РТПЙУИПДЙФ ЖБЪПŒЩК РЕТЕИПД Œ РБКЕТМУПŒУЛПЕ УПУФПСОЙЕ (УН. ЪБДБЮХ 39). œ ТЕБМШОЩИ НБФЕТЙБМБИ ФЕНРЕТБФХТБ Tc НПЦЕФ УПУФБŒМСФШ ПФ ОЕУЛПМШЛЙИ ЕДЙОЙГ ДП УПФЕО ЗТБДХУПŒ.
тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ. вМБЗПДБТС ОБМЙЮЙА РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ УПУФПСОЙК, ДМС ПРЙУБОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ, ТБУУЕЙŒБАЭЙИУС ОБ НПДХМСГЙЙ У k = 2p0, ОЕПВИПДЙНП ЙУРПМШЪПŒБФШ ЮЕФЩТЕ ЖХОЛГЙЙ:
G11(x; x ) = −i T |
1(x) |
1+(x ) ; |
G22(x; x ) = −i T |
2(x) |
2+(x ) ; |
G12(x; x ) = −i T |
1(x) |
2+(x ) ; |
G21(x; x ) = −i T |
2(x) |
1+(x ) : |
жХОЛГЙЙ G |
ij |
(x; x ) НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ, ПВТБФЙŒ НБФТЙГХ |
" |
− |
|
|
|
|
|||||||||||
|
H: |
|
|
|
|
||||||||||||||
G21 |
G22 |
|
= |
" − H |
− |
|
= "2 |
− |
v2 k2 |
´ 2 |
+ i0 |
|
|
´+ |
" |
− |
vF k |
: (6.82) |
|
G11 |
G12 |
";k |
|
|
|
1 |
|
F |
− | | |
|
|
" + vF k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
´ |
|
|||||||
рПМАУЩ ЬМЕЛФТПООЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ (6.82) ДБАФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(k) = ± (k2vF2 + ´2)1=2, Œ ФПЮОПУФЙ УПŒРБДБАЭЙК У (6.75). оБМЙЮЙЕ ЭЕМЙ Œ УРЕЛФТЕ РПДФŒЕТЦДБЕФ ОБЫ ŒЩŒПД П ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛПН ИБТБЛФЕТЕ ПУОПŒОПЗП УПФПСОЙС.
рЕТЕД ФЕН, ЛБЛ ЙУУМЕДПŒБФШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ, ПФНЕФЙН ОЕЛПФПТЩЕ ЛБЮЕУФŒЕООЩЕ ЮЕТФЩ РБКЕТМУПŒУЛПЗП УПУФПСОЙС. рТЙ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙЙ ŒПМОЩ ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ Œ УЙУФЕНЕ УРПОФБООП ОБТХЫБЕФУС ФТБОУМСГЙПООБС УЙННЕФТЙС ДŒЙЦЕОЙС
6.4. ьжжелф рбкетмуб, фептйс утедоезп рпмс |
133 |
ЬМЕЛФТПОПŒ ПФОПУЙФЕМШОП ТЕЫЕФЛЙ (ŒПЪОЙЛБАЭБС НПДХМСГЙС ТЕЫЕФЛЙ РПОЙЦБЕФ УЙННЕФТЙА ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС). рТЙ ЬФПН, ПДОБЛП, ЙУИПДОЩК НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙК ЗБНЙМШФПОЙБО УŒПЕК УЙННЕФТЙЙ ОЕ ФЕТСЕФ. рПЬФПНХ Œ УЙУФЕНЕ ДПМЦОБ РПСŒЙФШУС НСЗЛБС ŒЕФŒШ УРЕЛФТБ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК РПДПВОБС БЛХУФЙЮЕУЛЙН ЖПОПОБН 4, ЮБУФПФБ ЛПФПТПК ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ k = 0.
œ ДБООПН НСЗЛБС НПДБ ŒПЪОЙЛБЕФ ВМБЗПДБТС ФПНХ, ЮФП ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ ОЙЛБЛ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЖБЪЩ ŒПМОЩ ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ ’, ЕУМЙ РПУМЕДОСС РПУФПСООБ. еУМЙ ЦЕ ’ НЕДМЕООП ЙЪНЕОСЕФУС Œ РТПУФТБОУФŒЕ, ФП ЬФП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП ФПНХ, ЮФП ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ k(x) ПФЛМПОСЕФУС ПФ 2p0 ОБ @’=@x. нПДХМСГЙС У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН, ПФЛМПОСАЭЙН-
УС ПФ ПРФЙНБМШОПЗП ЪОБЮЕОЙС k = 2p0, РТЙŒПДЙФ Л ОЕЛПФПТПНХ ХŒЕМЙЮЕОЙА ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ. йЪ ЬФЙИ ТБУУХЦДЕОЙК ŒЙДОП, ЮФП ФПМШЛП ЙЪНЕОЕОЙЕ ЖБЪЩ НПДХМСГЙЙ ’(x; t)
Œ РТПУФТБОУФŒЕ (ЙМЙ ŒП ŒТЕНЕОЙ) НПЦЕФ РТЙŒЕУФЙ Л УПУФПСОЙА У В«ПМШЫЕК ЬОЕТЗЙЕК. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖБЪБ ’(x; t) Й ЕУФШ РЕТЕНЕООБС, ПРЙУЩŒБАЭБС Œ ДБООПН УМХЮБЕ НСЗЛХА НПДХ, ЮБУФП РПЬФПНХ ОБЪЩŒБЕНХА ĂЖБЪПООПК НПДПКĄ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН ОЙЦЕ, ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЖБЪПООБС НПДБ РТЙПВТЕФБЕФ УЛПТПУФШ vF c. лТПНЕ ЖБЪПООПК НПДЩ, Œ УЙУФЕНЕ ЕУФШ ФБЛЦЕ ДТХЗБС НПДБ, УŒСЪБООБС У ПФЛМПОЕОЙЕН |´| ÏÔ ´0 (ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ĂБНРМЙФХДПОĄ). рПУЛПМШЛХ ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ СŒОП ЪБŒЙУЙФ ПФ |´|, НПДБ ЛПМЕВБОЙК БНРМЙФХДЩ ´ ОЕ СŒМСЕФУС НСЗЛПК: УРЕЛФТ УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ ŒПЪВХЦДЕОЙК ПФДЕМЕО ПФ ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЭЕМША ЛПОЕЮОПК ŒЕМЙЮЙОЩ.
йНЕС Œ ŒЙДХ ŒЩЫЕУЛБЪБООПЕ, ТБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ D(!; k). хТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ЙНЕЕФ ŒЙД
D−1(!; k) = D0−1(!; k) − g2˝(!; k) ; D0(!; k) = !2 |
!2(k) |
|
|
||
0 |
!2 |
(k) |
; |
(6.83) |
|
|
− |
0 |
|
|
|
ÇÄÅ !0(k) = c|k|. рТЙ ЙОФЕТЕУХАЭЙИ ОБУ k ≈ 2p0 РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ‹k = k − 2p0. œ ЬФПК ПВМБУФЙ ПО ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ НБФТЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (6.82) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
˝(!; k) = −i |
Tr ( xG("+; q+) xG("−; q−)) (2ı)2 ; |
(6.84) |
|
d" dq |
|
ÇÄÅ "± = " ± 12 !, q± = q ± 12 ‹k, Б НБФТЙГБ рБХМЙ x Й УМЕД Tr ::: ПРТЕДЕМЕОЩ Œ ДŒХНЕТОПН РТПУФТБОУФŒЕ РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ УПУФПСОЙК ЬМЕЛФТПОПŒ, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У (6.82). йУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙС (6.82) ДМС НБФТЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПМХЮБЕН
− |
|
("+2 − vF2 q+2 |
− ´2 + i0)("−2 − vF2 q−2 − ´2 |
+ i0) (2ı)2 |
|
˝(!; k) = |
i |
("+ |
− vF q+)("− + vF q−) + ´2 |
d" dq ; |
(6.85) |
тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УМХЮБК ! = 0, ‹k = 0 (Ф. Е. k = 2p0). œЩТБЦЕОЙЕ (6.85) РТЙ ЬФПН
ÄÁÅÔ |
0 |
|
−vF |
("2 − q~2 − ´2 + i0)2 |
(2ı)2 |
|
0 ≡ |
|
|
||||
˝ |
˝(! = 0; k = 2p |
) = |
i |
"2 − q~2 + ´2 |
d" dq~ ; |
(6.86) |
4юЙФБФЕМШ, ЪОБЛПНЩК У ФЕПТЕНПК зПМДУФПХОБ, ЪОБЕФ, ЮФП Œ ЬФПН РТПСŒМСЕФУС ПВЭЙК РТЙОГЙР, ФТЕВХАЭЙК РПСŒМЕОЙС НСЗЛПК ЗПМДУФПХОПŒУЛПК НПДЩ РТЙ ОБТХЫЕОЙЙ ОЕРТЕТЩŒОПК УЙННЕФТЙЙ Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ УЙУФЕНЩ.
134 змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ
ÇÄÅ q~ = vF q. œЩЮЙУМЙФШ ЙОФЕЗТБМ Œ (6.86) НПЦОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. рЕТЕКДЕН ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ЮБУФПФЩ Л НОЙНПК РП ЖПТНХМЕ " −→ i". рТЙ ФБЛПН РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ОБРТБŒМЕОЙС ПВИПДБ РПМАУПŒ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.86) ПУФБАФУС РТЕЦОЙНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМ ПФ ЖХОЛГЙЙ, ПВМБДБАЭЕК ЛТХЗПŒПК УЙННЕФТЙЕК:
˝ |
= |
1 |
|
−"2 − q~2 + ´2 d" dq~ |
= |
1 |
"0 |
−r2 + ´2 |
rdr = |
− |
1 |
ln |
"0 ; |
0 |
|
vF |
("2 + q~2 + ´2 + i0)2 (2ı)2 |
|
2ıvF |
|
(r2 + ´2)2 |
|
2ıvF |
|
e´ |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(6.87) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ r |
= ("2 + q~2)1=2, Б ЪОБЮЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ "0, ОБ ЛПФПТПК ПВТЕЪБО МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ |
||||||||||||
ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ, ŒЩВТБОП РПТСДЛБ EF .
юБУФПФБ ЖПОПОПŒ У k = 2p0, УПЗМБУОП ТБУУХЦДЕОЙСН П НСЗЛПК НПДЕ, ДПМЦОБ ВЩФШ ТБŒОБ ОХМА. оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЙНЕООП ФБЛ Й РПМХЮБЕФУС, ЕУМЙ ЪБРЙУБФШ ЪБЛПО
ДЙУРЕТУЙЙ D−1(!; k)k=2p0 = 0 У РПНПЭША ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ (6.83): |
|
||
!02(k) − 1 − g2 |
˝(!; k) |
= 0 : |
(6.88) |
!2 |
|
|
|
k=2p0
хУМПŒЙЕ ФПЗП, ЮФП ДБООПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ОБ ! ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙЕ ! = 0, ЕУФШ 1 + g2˝0 = 0, ЮФП, УПЗМБУОП ТЕЪХМШФБФХ (6.87), ЬЛŒЙŒБМЕОФОП УППФОПЫЕОЙА (6.81) ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС, ПРТЕДЕМСАЭЕНХ ŒЕМЙЮЙОХ ЭЕМЙ ´.
у РПНПЭША ЙЪМПЦЕООПЗП НЕФПДБ НПЦОП ОБКФЙ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) РТЙ РТПЙЪŒПМШОЩИ ! Й k. дМС ЬФПЗП РЕТЕКДЕН Л НОЙНЩН ЮБУФПФБН " −→ i", ! −→ i! ОЕРПУТЕДУФŒЕООП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.85). рТЙ ЬФПН РПМХЮБЕН
|
2ivF |
(z+z+ + ´2)(z−z− |
+ ´2) (2ı)2 |
|
± |
|
± |
|
|
|
˝(w; w ) = |
1 |
−z+z− + ´2 |
dz dz ; |
z |
|
= z |
|
w=2 |
; |
(6.89) |
ÇÄÅ z = vF q +i", w = vF ‹k +i!. œ УЙМХ ЛТХЗПŒПК УЙННЕФТЙЙ ЙОФЕЗТЙТХЕНПК ЖХОЛГЙЙ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.89) ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ БВУПМАФОПК ŒЕМЙЮЙОЩ ЛПНРМЕЛУОПЗП w, РТЙЮЕН ˝(w = 0) = ˝0. рТЙ НБМЩИ w ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.89) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
g2 |
w w |
|
|
|
˝(w; w ) = ˝0 + ¸ vF |
´2 |
; |
|w| ´ ; |
(6.90) |
ЗДЕ ¸ > 0 | ЛПОУФБОФБ РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. йОФЕЗТБМ Œ (6.89) ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ ФПЮОП, ЕУМЙ УОБЮБМБ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ХЗМХ arg(z), Б ЪБФЕН | РП |z|. пДОБЛП ДМС БОБМЙЪБ ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ РТЙ k ≈ 2p0 ОБН ВХДЕФ ŒРПМОЕ ДПУФБФПЮОП ТБЪМПЦЕОЙС (6.90).
ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ D−1(!; k) = 0, У ХЮЕФПН ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ (6.83), Œ ЛПФПТПН НЩ ЙУРПМШЪХЕН РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ Œ ЖПТНЕ (6.90), ДБЕФ
!2 |
g2 |
w w |
|
|
!02(k)k=2p0 |
− ¸ vF |
´2 |
= 0 |
(6.91) |
6.4. ьжжелф рбкетмуб, фептйс утедоезп рпмс |
135 |
(ÍÙ ÕÞÌÉ, ÞÔÏ 1+g2˝0 = 0). рЕТЕИПДС Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.91) ПФ НОЙНПК ЮБУФПФЩ ПВТБФОП Л ŒЕЭЕУФŒЕООПК, ! −→ !=i, РПМХЮБЕН МЙОЕКОЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ŒВМЙЪЙ k ≈ 2p0:
!02(k)k=2p0 |
vF |
|
vF |
|
|
|
´2 |
+ ¸ g2 |
!2 |
= ¸ g2 v2 |
‹k2 |
: |
(6.92) |
|
|
|
F |
|
|
|
рТЙ НБМПК ЛПОУФБОФЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g ŒЕМЙЮЙОБ ´ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМБ, Й РПЬФПНХ ЖБЪПŒБС УЛПТПУФШ v = d!=dk ВМЙЪЛБ Л vF . лБЮЕУФŒЕООЩК ŒЙД ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ, РПМХЮБАЭЕЗПУС Œ ЙЪМПЦЕООПК ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС, ЙЪПВТБЦЕО ОБ ТЙУ. 6.6. йУИПДОЩК МЙОЕКОЩК ЖПОПООЩК УРЕЛФТ Й МЙОЕБТЙЪПŒБООЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ (6.91) Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k = 2p0 РПЛБЪБОЩ ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК.
1.5 |
w(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
w=ck |
|
1 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
k=2p |
k |
|
|
0 |
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
0 |
òÉÓ. 6.6
тБЪŒЙФЩК ŒЩЫЕ БРРБТБФ ŒП НОПЗПН БОБМПЗЙЮЕО ФЕПТЙЙ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ (УН. Р. 10.2.2). пУОПŒОПЕ ЖПТНБМШОПЕ ПФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП Œ ФЕПТЙЙ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ТБУУНБФТЙŒБАФУС РТПГЕУУЩ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ, Б Œ ДБООПК ЪБДБЮЕ | РТПГЕУУЩ РЕТЕВТПУБ ЬМЕЛФТПОПŒ У ПДОПК УФПТПОЩ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ ОБ ДТХЗХА (ЙМЙ, ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ, ТБУУЕСОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ДЩТПЛ, ДŒЙЗБАЭЙИУС Œ РТПФЙŒПРПМПЦОЩЕ УФПТПОЩ). рПЬФПНХ, ЛБЛ ЙОПЗДБ ЗПŒПТСФ, Œ РБКЕТМУПŒУЛПН ДЙЬМЕЛФТЙЛЕ ЙНЕЕФ НЕУФП УРБТЙŒБОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ДЩТПЛ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ.
œБЦОПЕ ПФМЙЮЙЕ ПФ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ЪБЛМАЮБЕФУС ПДОБЛП Œ ФПН, ОБУЛПМШЛП ФЕПТЙС УТЕДОЕЗП РПМС, РТЕОЕВТЕЗБАЭБС ЖМХЛФХБГЙСНЙ ´, УППФŒЕФУФŒХЕФ ТЕБМШОПНХ РПМПЦЕОЙА ŒЕЭЕК. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБИ ЖМХЛФХБГЙСНЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ ЙЪ-ЪБ НБМПУФЙ ФЕНРЕТБФХТЩ ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ РП УТБŒОЕОЙА У EF (ЬФБ НБМПУФШ УŒСЪБОБ У ФЕН, ЮФП ФЕНРЕТБФХТБ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП РЕТЕИПДБ РТПРПТГЙПОБМШОБ !D ). œ УМХЮБЕ ЦЕ У ЬЖЖЕЛФПН рБКЕТМУБ ŒУЕ ОЕ УФПМШ РТПУФП. œП-РЕТŒЩИ, ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ рБКЕТМУБ, ЛБЛ РТБŒЙМП, ŒЩЫЕ, ЮЕН Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБИ, Й РПЬФПНХ ЖМХЛФХБГЙЙ УЙМШОЕЕ. œП-ŒФПТЩИ, ДПРПМОЙФЕМШОПЕ ХУЙМЕОЙЕ ЖМХЛФХБГЙК РТПЙУИПДЙФ