Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 809

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

146змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ъБДБЮБ 37. (нБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.)

Б) дПЛБЦЙФЕ ФЕПТЕНХ ПВ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ, УЖПТНХМЙТПŒБООХА Œ Р. 7.2.1. ъБРЙЫЙФЕ НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Й ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ Œ ВБЪЙУЕ ФПЮОЩИ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК ОЕŒПЪНХЭЕООПК УЙУФЕНЩ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒФПТПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ РПМХЮБЕФУС ЙЪ РЕТŒПЗП БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН ЮБУФПФЩ ! У ДЙУЛТЕФОЩИ ЪОБЮЕОЙК 2ıinT ОБ ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ (n > 0) ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ (УН. [1], § 17, § 37, Ð. 2; [6], § 91).

В) йУРПМШЪХС ФЕПТЕНХ ПВ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ, ТЕЫЙФЕ УОПŒБ ЪБДБЮХ 24 В, Œ ЛПФПТПК ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ ДЙОБНЙЮЕУЛХА УРЙОПŒХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЙДЕБМШОПЗП

ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

Œ) (ĂрБТБДПЛУĄ.) тБУУНПФТЙН УŒПВПДОЩК УРЙО s = 1=2 РТЙ ФЕНРЕТБФХТЕ T Й ОБКДЕН ЕЗП ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ РП ПФОПЫЕОЙА Л УМБВПНХ ŒОЕЫОЕНХ РПМА ДŒХНС ТБЪМЙЮОЩНЙ УРПУПВБНЙ: РП ЖПТНХМЕ лХВП Й НЕФПДПН БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС. рПУЛПМШЛХ Œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒОЕЫОЙИ РПМЕК ЗБНЙМШФПОЙБО H0 = 0, Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПРЕТБФПТ УРЙОБ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒТЕНЕОЙ. рПЬФПНХ ЛПННХФБФПТ Œ ЖПТНХМЕ лХВП ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, [s¸(t); s¸(t )] = 0 Й, ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД, = 0. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ДБЕФ ЪБЛПО лАТЙ: = ˛—2, ЗДЕ — | НБЗОЙФОЩК

НПНЕОФ. тБЪТЕЫЙФЕ ŒПЪОЙЛБАЭЙК РБТБДПЛУ.

ъБДБЮБ 38. (жМХЛФХБГЙЙ УНЕЭЕОЙК ТЕЫЕФЛЙ.) жМХЛФХБГЙЙ УНЕЭЕОЙК (6.1) БФПНПŒ ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЙ, ŒПЪОЙЛБАЭЙЕ ŒУМЕДУФŒЙЕ ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК Й ФЕРМПŒПЗП ДŒЙЦЕОЙС, ПРЙУЩŒБАФУС ЛПТТЕМСГЙПООПК ЖХОЛГЙЕК u¸(r)u˛ (r ) Ô. œЩТБЪЙФЕ

ЛПТТЕМСФПТ РТПДПМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК

 

|

 

 

|

1

(kuk)eikr ;

 

CÔ(r) = u (r)u (0) Ô ; u (r) =

k

 

(7.33)

k

 

 

 

 

ЮЕТЕЪ ФЕНРЕТБФХТОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ D(i!n; k) (УН. (7.15), (7.19)), Й РПМХЮЙФЕ ДМС CÔ(r) ПВЭХА ЖПТНХМХ, УРТБŒЕДМЙŒХА РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН ЪБЛПОЕ ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ.

оБКДЙФЕ ЛПТТЕМСФПТ УНЕЭЕОЙК CÔ(r) ДМС ПДОПТПДОПК ЙЪПФТПРОПК ХРТХЗПК УТЕДЩ Œ ТБЪНЕТОПУФСИ D = 1; 2; 3, УЮЙФБС ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ МЙОЕКОЩН. тБУУНПФТЙФЕ CT(r) РТЙ T =0 Й T = 0, ŒЩДЕМСС ´CT(r) = CÔ(r) − C0(r). оБКДЙФЕ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ ЪБŒЙУЙНПУФШ C0(r) É ´CÔ(r) ÏÔ T É r ÐÒÉ T → 0, r → ∞. пРТЕДЕМЙФЕ УРПУПВ ПВТЕЪБОЙС ЙОФЕЗТБМПŒ, ТБУИПДСЭЙИУС ЙОЖТБЛТБУОП (ОБ ВПМШЫЙИ ТБУУФПСОЙСИ)

Й ХМШФТБЖЙПМЕФПŒП (ОБ НБМЩИ ТБУУФПСОЙСИ).

ъБДБЮБ 39. (рЕТЕИПД рБКЕТМУБ: ЛТЙФЙЮЕУЛБС ФЕНРЕТБФХТБ Й ЖМХЛФХБГЙЙ.) œЕТОЕНУС Л ЪБДБЮЕ 32, ЗДЕ ЙЪХЮБМБУШ РБКЕТМУПŒУЛБС ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ{ ЗБЪБ, ŒПЪОЙЛБАЭБС ŒУМЕДУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. тБУУНПФТЙН ФЕНРЕТБФХТОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ D(i!n; k) У ХЮЕФПН ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

a) оБКДЙФЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(i!n; k) ÐÒÉ |k| ≈ 2p0 É T EF . тБУУНПФТЙФЕ ЛПТТЕМСГЙПООХА ЖХОЛГЙА ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК:

CÔ(k) = uk (t) u−k (t) Ô

(7.34)

7.3. ъбдбюй 34 { 42

147

РТЙ k ВМЙЪЛЙИ Л ±2p0. оБКДЙФЕ ФЕНРЕТБФХТХ Tc, РТЙ ЛПФПТПК CÔ(k) → ∞.

В) œВМЙЪЙ ФЕНРЕТБФХТЩ РЕТЕИПДБ T = Tc УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ ĂУНСЗЮБЕФУСĄ. йЪ-ЪБ ЬФПЗП ŒПЪТБУФБАФ ФЕРМПŒЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ ЗБТНПОЙЛ РПМС УНЕЭЕОЙК u(r; t) У |k| ≈ 2p0.

йОФЕТЕУХАЭХА ОБУ ЮБУФШ РПМС У k ŒВМЙЪЙ

±2p0 НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ:

 

u(r; t) = Re

Q(r; t) e2ip0r

(7.35)

ЗДЕ Q(r; t) | РМБŒОП ЪБŒЙУСЭБС ПФ ЛППТДЙОБФ ЖХОЛГЙС. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ T ОЕНОПЗП

ŒÙÛÅ Tc УРЕЛФТ ЖМХЛФХБГЙК Q(r; t) ЙНЕЕФ МПТЕОГЕŒ ŒЙД

 

 

Qk (t)Q−k (t) =

A

; fi ≡ (T − Tc)=Tc 1 ;

|k| Tc=vF :

(7.36)

ak2 + fi

оБКДЙФЕ РТПУФТБОУФŒЕООХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ЛПТТЕМСФПТБ УНЕЭЕОЙК CÔ(r), ПРТЕДЕМЕООПЗП ŒЩТБЦЕОЙЕН (7.33). пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ ŒЩДЕМЕОЙЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ ДМС CÔ(r) УЙМШОП ЖМХЛФХЙТХАЭЕК ЮБУФЙ, ЙЪ ŒУЕК УХННЩ РП !n = 2ınT ПУФБЕФУС ФПМШЛП

ЮМЕО У n = 0. ьФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕИПДХ Л ЛМБУУЙЮЕУЛПК ФЕТНПДЙОБНЙЛЕ. œЩТБЦЕОЙЕ (7.36) ОБЪЩŒБАФ ЪБЛПОПН пТОЫФЕКОБ{гЕТОЙЛЕ. пОП ПРЙУЩŒБЕФ ЛПТ-

ТЕМСГЙПООХА ЖХОЛГЙА РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ ŒВМЙЪЙ Tc Œ ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС ДМС

МАВПЗП ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ.

ъБДБЮБ 40. (уŒСЪШ НЕЦДХ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ, ПРЕТЕЦБАЭЙНЙ Й НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ.)

Б) дПЛБЦЙФЕ УППФОПЫЕОЙС (7.23), УŒСЪЩŒБАЭЙЕ НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ОБ ŒЕТИОЕК (ОЙЦОЕК) НОЙНПК РПМХПУЙ У БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК (ПРЕТЕЦБАЭЕК) ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ Œ УППФŒЕФУФŒХАЭХА РПМХРМПУЛПУФШ ЛПНРМЕЛУОПК ЮБУФПФЩ.

В) уХЭЕУФŒХЕФ ŒЕУШНБ РПМЕЪОЩК НЕФПД ŒЩЮЙУМЕОЙС НБГХВБТПŒУЛЙИ ДЙБЗТБНН, ПРЙТБАЭЙКУС ОБ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ ЖХОЛГЙК зТЙОБ 6. у РПНПЭША ЬФПЗП НЕФПДБ НПЦОП ĂБŒФПНБФЙЪЙТПŒБФШĄ РТПГЕДХТХ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС, ОЕПВИПДЙНХА ДМС РЕТЕИПДБ ПФ НБГХВБТПŒУЛЙИ Л ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН Й ПРЕТЕЦБАЭЙН ЖХОЛГЙСН. лТПНЕ ФПЗП, ПО РПЪŒПМСЕФ ŒЩРПМОЙФШ Œ СŒОПН ŒЙДЕ УХННЙТПŒБОЙЕ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН Œ МАВПК ДЙБЗТБННЕ.

œ ЛБЮЕУФŒЕ РТЙНЕТБ ТБУУНПФТЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚(i"n; p) ÍÁ-

ГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП У ЖПОПОБНЙ:

 

˚(i"n; p) = −g2T i"m

 

G(i"m; p1)D(i"n − i"m; p − p1)

dp1

:

(7.37)

(2ı)3

 

 

 

 

 

 

уППФŒЕФУФŒХАЭБС ДЙБЗТБННБ ЙЪПВТБЦЕОБ ОБ ТЙУ. 4.10.

œЩРПМОЙФЕ УХННЙТПŒБОЙЕ Œ (7.37) Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ, РПМШЪХСУШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК (7.23), (7.24). рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ 7

˚R("; p) = 2ı2

(2ı)13

 

d! th

2T

+ cth 2T

×

g2

d3p

∞

∞

"

!

 

 

−∞

−∞

 

 

 

×

Im GR(" ; p1) Im DR(!; p − p1) d" ;

(7.38)

 

" − " − ! + i0

 

 

6УН. ТБВПФХ: з. н. ьМЙБЫВЕТЗ// цьфж.1960.Ф.39.У.1437, Б ФБЛЦЕ [1], § 21, Ð. 3; [6], § 96.

148змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ŒЕЭЕУФŒЕООЩН " Й !. œЩТБЦЕОЙЕ (7.38) РП УŒПЕК УФТХЛФХТЕ ОБРПНЙОБЕФ РПМХЮЕООЩЕ Œ ЪБДБЮЕ 24 В ЖПТНХМЩ (5.57), (5.53), ДБАЭЙЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ РТЙ T = 0 Й СŒОП ХЮЙФЩŒБАЭЙЕ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ, УМЕДХАЭЙЕ ЙЪ

РТЙОГЙРБ РТЙЮЙООПУФЙ.

ъБДБЮБ 41. (дЙОБНЙЛБ ŒВМЙЪЙ РЕТЕИПДБ.) тБУУНПФТЙН ДЙОБНЙЛХ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ Œ ПДОПНЕТОПК УЙУФЕНЕ РТЙ ФЕНРЕТБФХТЕ ŒВМЙЪЙ РЕТЕИПДБ рБКЕТМУБ. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП T ОЕУЛПМШЛП ŒЩЫЕ Tc. рТЙ ЬФПН, ЛБЛ НЩ ŒЩСУОЙМЙ Œ ЪБДБЮЕ 39, Œ УЙУФЕНЕ

ЙНЕАФУС УЙМШОЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ РПМС УНЕЭЕОЙК ТЕЫЕФЛЙ У k ŒВМЙЪЙ ±2p0. еУФЕУФŒЕООП ПЦЙДБФШ, ЮФП ДЙОБНЙЛБ ЖПОПОПŒ У ФБЛЙНЙ k СŒМСЕФУС НЕДМЕООПК.

Б) оБКДЙФЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ, ЙУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ОБКДЕООПЕ Œ ЪБДБЮЕ 39.

В) оБКДЙФЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ, ПРЙУЩŒБАЭХА ЬЖЖЕЛФ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ ОБ ЖМХЛФХБГЙСИ РПМС УНЕЭЕОЙК ŒВМЙЪЙ Tc. уЮЙФБКФЕ ТБУУЕСОЙЕ УМБВЩН Й ОБКДЙФЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (7.38) ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА c ĂНСЗЛЙНЙĄ ЖПОПОБНЙ, ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЛПФПТЩИ РПМХЮЕОБ Œ ЮБУФЙ

Á).

ъБДБЮБ 42*. (œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ŒБО-ДЕТ-œББМШУБ РТЙ T > 0.) тБУУНПФТЙН ДŒБ БФПНБ ОБ ТБУУФПСОЙЙ r ДТХЗ ПФ ДТХЗБ. рТЙ r НОПЗП ВПМШЫЕН ТБЪНЕТБ БФПНПŒ aB = h—2=me2

ПВНЕООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ, ПВСЪБООПЕ УŒПЙН УХЭЕУФŒПŒБОЙЕН ФХООЕМЙТПŒБОЙА ЬМЕЛФТПОПŒ, УФБОПŒЙФУС ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМЩН, Й ПУОПŒОЩН СŒМСЕФУС ŒБО-ДЕТ-ŒББМШУПŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ ВМБЗПДБТС ЖМХЛФХБГЙСН ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП РПМС.

рПФЕОГЙБМ ЬФПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЛБЛ РТЙ ОХМЕŒПК, ФБЛ Й РТЙ ЛПОЕЮОПК ФБНРЕТБФХТЕ, НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ РПМСТЙЪХЕНПУФЙ БФПНПŒ.

рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ПВМБУФШ РТПУФТБОУФŒБ, Œ ЛПФПТПК ОБИПДСФУС ДŒБ БФПНБ, ЪБРПМОЕОБ ТБŒОПŒЕУОЩН ЙЪМХЮЕОЙЕН У ФЕНРЕТБФХТПК T . оБ ЛБЦДЩК ЙЪ БФПНПŒ УП ŒУЕИ УФПТПО РБДБЕФ УŒЕФ Й, ТБУУЕЙŒБСУШ, ПЛБЪЩŒБЕФ ДБŒМЕОЙЕ. дМС ПДОПЗП БФПНБ УЙМЩ ДБŒМЕОЙС ЛПНРЕОУЙТХАФУС, РПУЛПМШЛХ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЙЪМХЮЕОЙС РП ХЗМБН ЙЪПФТПРОП. еУМЙ ЦЕ ЙНЕЕФУС ŒФПТПК БФПН, ФП ПО ЬЛТБОЙТХЕФ ЮБУФШ ЙЪМХЮЕОЙС, РБДБАЭЕЗП ОБ РЕТŒЩК БФПН, Й РПСŒМСЕФУС ТЕЪХМШФЙТХАЭБС УЙМБ РТЙФСЦЕОЙС 8.

œЩТБЪЙФЕ ЬФХ УЙМХ ЮЕТЕЪ РПМСТЙЪХЕНПУФЙ БФПНПŒ, УЮЙФБС ЙИ ПУОПŒОЩЕ УПУФПСОЙС ЙЪПФТПРОЩНЙ, Ф. Е. ИБТБЛФЕТЙЪХАЭЙНЙУС ПТВЙФБМШОЩН ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН L = 0. йУРПМШЪХКФЕ ФЕНРЕТБФХТОЩЕ ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЖПФПОПŒ D¸˛ (r1; r2; fi1 − fi2) = − Tfi A¸(r1; fi1)A˛ (r2; fi2) Ô Œ ЛХМПОПŒУЛПК ЛБМЙВТПŒЛЕ A0 = ˘ = 0. œ НБГХВБТПŒУЛПН ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПОЙ ЙНЕАФ ŒЙД

D¸˛ (i!n; k) = −

4ıh—

‹¸˛ +

c2k¸k˛

 

(7.39)

!n2=c2 + k2

!n2

(ÓÍ. [1], § 28, ЖПТНХМБ (28.27 В); [6], § 79)

7нОЙНБС ЮБУФШ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (7.38) ПРТЕДЕМЕОБ УФБОДБТФОЩН ПВТБЪПН. œ ЮБУФОПУФЙ, ДМС УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ Im(" − ‰ + i0)−1 = −ı‹(" − ‰).

8еУМЙ ВЩ ŒНЕУФП БФПНПŒ Œ РТПУФТБОУФŒЕ, ЪБРПМОЕООПН ЙЪМХЮЕОЙЕН, ОБИПДЙМЙУШ ДŒБ ПДЙОБЛПŒЩИ НБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙИ РПЗМПЭБАЭЙИ ЫБТБ, ФП УЙМБ РТЙФСЦЕОЙС НЕЦДХ ОЙНЙ УРБДБМБ ВЩ ЛБЛ 1=r2. ьФП УРТБŒЕДМЙŒП РТЙ ДЙБНЕФТЕ ЫБТПŒ a r T a2=ch—. œ XVIII Œ. РПДПВОЩК НЕИБОЙЪН РТЕДМБЗБМУС ДМС ПВ СУОЕОЙС ЪБЛПОБ ФСЗПФЕОЙС.

7.4. теыеойс

149

œБО-ДЕТ-ŒББМШУПŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЕУФШ ЮБУФОЩК УМХЮБК ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ, УПУФПСЭЕК ЙЪ ДŒХИ ЙМЙ ВПМШЫЕЗП ЮЙУМБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ РПДУЙУФЕН. лПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС, ОБКДЕООБС Œ ОЙЪЫЕН ОЕЙУЮЕЪБАЭЕН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА, ŒУЕЗДБ ПФТЙГБФЕМШОБ, РПУЛПМШЛХ ПОБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК РПРТБŒЛХ Л ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ŒФПТПЗП РПТСДЛБ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. дТХЗПК РТЙНЕТ УЙУФЕНЩ, Œ ЛПФПТПК ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС ЙЗТБЕФ ŒБЦОХА ТПМШ

|ЬМЕЛФТПООБС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ (УН. ЪБДБЮЙ 48 В) Й 49).

7.4.тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 34 Б. вХДЕН ТЕЫБФШ ЬФХ ЪБДБЮХ РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 8. тБУУНПФТЙН НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ

G(fi; x; x ) = − Tfi

(x; 0) +(x ; fi ) Ô

(7.40)

Й ЪБРЙЫЕН РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ n(x) Œ ŒЙДЕ

 

 

n(x) = 2 lim

G(fi; x; x)

(7.41)

fi →−0

(НОПЦЙФЕМШ 2 ХЮЙФЩŒБЕФ УРЙО). лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 8, ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ ОБМЙЮЙЙ УФЕОЛЙ РПМХЮБЕФУС НЕФПДПН ЙЪПВТБЦЕОЙК:

G(fi; x; x ) = G0(fi; x; x ) − G0(fi; x; −x ) ;

(7.42)

ÇÄÅ G0(fi; x; x ) | ЗТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ОБ РТСНПК −∞ < x < ∞. пФУАДБ РПМХЮБЕФУС ФБЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ:

n(x) = 2 G0(fi = −0; x = 0) − G0(fi = −0; 2x) :

(7.43)

юФПВЩ ОБКФЙ G0(fi; x), ŒУРПНОЙН, ЮФП ЕЕ ЖХТШЕ-ПВТБЪ ЕУФШ G0(i!n; p) = 1=(i!n − ‰p). рПЬФПНХ

G0

(fi; x) = T !n

eipx i!nfi dp

:

(7.44)

i!n

−

‰p 2ı

 

 

 

−

 

 

 

рЕТЕКДЕН Œ (7.44) Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰, ŒЩДЕМСС ПВМБУФЙ ЙНРХМШУПŒ p ≈ ±p0:

 

T

 

e−i!nfi eip0x

ei‰x=vF

 

 

 

e−i‰x=vF

 

 

G0(fi; x) =

2ıvF

!n

i!n

‰ d‰ + e−ip0x

i!n ‰ d‰

(7.45)

 

 

 

−

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тБУУНПФТЙН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e−i!nfi

ei‰x=vF

 

 

 

 

 

 

 

i!n

−

‰ d‰ :

 

 

 

(7.46)

 

 

 

I(fi; x) = !n

 

 

 

 

œЩЮЙУМЙН I(fi; x) РТЙ x > 0. ъБНЩЛБС ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ‰ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, РПМХЮБЕН

 

 

 

vF

 

 

 

I(fi; x) = 2ıi

e−!n(x+ivF fi )=vF =

 

−ıi

 

:

(7.47)

−

!n>0

sh ıT ( x + ifi )

 

 

 

150змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.47) УРТБŒЕДМЙŒП Й РТЙ x < 0. œ ТЕЪХМШФБФЕ

G0(fi; x) = −i

T

eip0x

 

e−ip0x

 

ifi ))

;

(7.48)

2vF

sh (ıT (x=vF

+ ifi )) − sh (ıT (x=vF

−

ПФЛХДБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T sin p0x

 

 

 

 

 

 

G0(fi → −0; x) =

:

 

 

 

(7.49)

 

vF sh (ıT x=vF )

 

 

 

фЕРЕТШ, РПМШЪХСУШ (7.43), НПЦОП ОБКФЙ РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ:

 

2T

 

vF p

 

sin (2p0x)

 

 

ıT sin (2p0x)

;

 

n(x) =

vF

ıT

0

− sh (2ıT x=vF )

= n0

1 − vF p0 sh (2ıT x=vF )

(7.50)

ÇÄÅ n0 = 2p0=ı | РМПФОПУФШ ЗБЪБ ŒДБМЙ ПФ УФЕОЛЙ. рТЙ T → 0 ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ПЮЕŒЙДОП, ŒПУРТПЙЪŒПДЙФ ПФŒЕФ ЪБДБЮЙ 8. ъБНЕФЙН ФБЛЦЕ, ЮФП РТЙ x vF =2ıT ПУГЙММСГЙЙ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ЪБФХИБАФ. иБТБЛФЕТОПЕ ЮЙУМП ПУГЙММСГЙК N ≈ p0vF =ıT ŒЕМЙЛП РТЙ ФЕНРЕТБФХТБИ, НОПЗП НЕОШЫЙИ ЬОЕТЗЙЙ жЕТНЙ.

тЕЫЕОЙЕ 34 В. ьЖЖЕЛФ тХДЕТНБОБ{лЙФФЕМС ТБУУНПФТЙН РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 23. œ РЕТŒХА ПЮЕТЕДШ ОБН РПОБДПВЙФУС НБГХВБТПŒУЛБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. œЩЮЙУМЙН ЕЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 22:

G(i!n; r) =

(2ı)3 i!n − ‰p

= pr

 

i!n − ‰

d‰ =

 

 

 

d3p eipr

0

sin(p0 + ‰=vF )r

=

0

 

ei(p0+‰=vF )r − e−i(p0+‰=vF )r

d‰ =

−

m

eir(p0+i!n=vF )sign !n : (7.51)

 

2ipr

i!n − ‰

 

 

2ır

 

фПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 23, ŒЩТБЪЙН РМПФОПУФШ УРЙОБ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ. œУЕ ŒЩЛМБДЛЙ ПФМЙЮБАФУС МЙЫШ ЪБНЕОПК −i ÎÁ −1 Œ ПРТЕДЕМЕОЙСИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Й Œ ПРЕТБФПТЕ ŒПЪНХЭЕОЙС. рПЬФПНХ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(r) = 2J Si T

G02(i!n; r) ;

 

(7.52)

 

 

 

 

 

 

!n

 

 

 

 

ÞÔÏ ÐÒÉŒÏÄÉÔ Ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(r) = 2J SiT

m

 

2

 

 

 

 

 

 

(7.53)

 

 

e2ip0r−2!nr=vF +

e−2ip0r+2!nr=vF

:

 

2ır

 

 

!n>0

 

 

!n<0

 

 

œЩРПМОСС УХННЙТПŒБОЙЕ РП !n, РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

i

(r) = J S

i m2T

cos(2p0r)

 

(7.54)

 

 

2ı2r2

 

:

 

 

 

 

 

 

 

sh(2ıT r=vF )

 

 

ðÒÉ T → 0 ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РЕТЕИПДЙФ Œ РПМХЮЕООПЕ ТБОЕЕ. дМЙОБ, ОБ ЛПФПТПК ЪБФХИБАФ ПУГЙММСГЙЙ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОПК vF =(2ıT ), ЛБЛ Й ДМС ЖТЙДЕМЕŒУЛЙИ ПУГЙММСГЙК (7.50).

Смотрите также файлы