Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

тЕЫЕОЙЕ 35 Б. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, УХННЙТПŒБОЙЕ ТСДБ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ПУМПЦОСЕФУС ФЕН, ЮФП РП УТБŒОЕОЙА У ТСДПН ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЛБЦДБС ЙЪ ДЙБЗТБНН УПДЕТЦЙФ ДПРПМОЙФЕМШОЩК НОПЦЙФЕМШ 1=n, ЗДЕ n | РПТСДПЛ ДЙБЗТБННЩ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. лБОПОЙЮЕУЛЙК УРПУПВ РТЕПДПМЕОЙС ЬФПК ФТХДОПУФЙ | ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЕ ДЙБЗТБНН РП ЛПОУФБОФЕ УŒСЪЙ, ХУФТБОСАЭЕЕ НОПЦЙФЕМЙ 1=n. œ УМХЮБЕ ЦЕ ДЙБЗТБНН, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 7.1, Œ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ РПДПВОПЗП РТЙЕНБ ОЕФ ОЕПВИПДЙНПУФЙ, РПУЛПМШЛХ ЙНЕАЭЙКУС ТСД МЕЗЛП УХННЙТХЕФУС. дЕКУФŒЙФЕМШОП, n-К ЮМЕО ТСДБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЪБНЛОХФХА РЕФМА ЙЪ n ЖХОЛГЙК G0;¸(i"n; p) Й n ЖХОЛГЙК ˚¸(i"n; p). еЗП ŒЛМБД Œ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ЕУФШ

уХННБ ЬФЙИ ŒЛМБДПŒ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ ЛБЛ

˙ − ˙0 = −T ln (1 − G0;¸(i"m; p)˚¸(i"m; p)) =

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, НПЦОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ДМС УŒПВПДОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ

m;p;¸

юФПВЩ ДПЛБЪБФШ УППФОПЫЕОЙЕ (7.57), ТБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ

m=−∞

ÇÄÅ "m = ıT (2m + 1), fi → +0. дЙЖЖЕТЕОГЙТХС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РП a, РПМХЮБЕН

œ УРТБŒЕДМЙŒПУФЙ РПУМЕДОЕЗП ТБŒЕОУФŒБ НПЦОП ХВЕДЙФШУС, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП РПМАУЩ ŒЩТБЦЕОЙС 1=(e˛a + 1) Й ŒЩЮЕФЩ Œ ОЙИ УПŒРБДБАФ У РПМАУБНЙ Й ŒЩЮЕФБНЙ ŒЩТБЦЕОЙС РПД ЪОБЛПН УХННЩ Œ (7.59). ьФП ХУМПŒЙЕ ПРТЕДЕМСЕФ ЪБŒЙУЙНПУФШ F ПФ a У ФПЮОПУФША ДП ОЕЙЪŒЕУФОПК ГЕМПК ЖХОЛГЙЙ a. юФПВЩ ОБКФЙ ЬФХ ГЕМХА ЖХОЛГЙА (Й ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ПОБ ТБŒОБ ОХМА) НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.59) РТЙ ВПМШЫЙИ Re a. œ РТЕДЕМЕ | Re a| T УХННХ Œ (7.59) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ЙОФЕЗТБМПН

рПМХЮБАЭБСУС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ a УПŒРБДБЕФ У БУЙНРФПФЙЛПК ŒЩТБЦЕОЙС −(e˛a + 1)−1.

152змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ъОБС F (a), ОЕФТХДОП ОБКФЙ F (a) РТСНЩН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН:

дБООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ПДОПЗП ЖЕТНЙПОБ У ЬОЕТЗЙЕК ‰. пФУАДБ ФТЕВХЕНПЕ УППФОПЫЕОЙЕ (7.57) РПМХЮБЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕН РП УПУФПСОЙСН ŒУЕИ ЖЕТНЙПОПŒ УЙУФЕНЩ.

тЕЫЕОЙЕ 35 В. тБУУНПФТЙН ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.30) ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ Й, ОЕ ЛПОЛТЕФЙЪЙТХС РПЛБ ŒЙД ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, РТЕПВТБЪХЕН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Л ЖПТНЕ, ХДПВОПК ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК. рТЕДУФБŒЙН УХННХ РП "m = ıT (2m + 1) Œ ŒЙДЕ ЛПОФХТОПЗП ЙОФЕЗТБМБ:

ЗДЕ ЛПОФХТЩ C1 É C2 ПИŒБФЩŒБАФ ŒЕТИОАА Й ОЙЦОАА НОЙНЩЕ РПМХПУЙ Im z > 0 Й Im z < 0, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 7.2.

оБКДЕН ЬОФТПРЙА S = −@˙=@T , ДЙЖЖЕТЕОГЙТХС ЙОФЕЗТБМ (7.62) РП РБТБНЕФТХ T :

ÇÄÅ G¸(z; p) ЕУФШ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У РПМПЦЙФЕМШОПК Й ПФТЙГБФЕМШОПК НОЙНПК РПМХПУЙ УППФŒЕФУФŒЕООП Œ ПВМБУФЙ Im z > 0 Й Im z < 0.

œЩТБЦЕОЙЕ (7.63) ŒЕУШНБ ХДПВОП ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙК, РПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙС 1= ch2(z=2T ) ЬУРПОЕОГЙБМШОП ВЩУФТП ХВЩŒБЕФ РТЙ ХДБМЕОЙЙ z ПФ НОЙНПК ПУЙ. ьФП ПВУФПСФЕМШУФŒП РПЪŒПМСЕФ ТБЪŒЕТОХФШ ЛПОФХТЩ, ОБРТБŒЙŒ ЙИ ŒДПМШ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 7.2. œ РПМХЮЙŒЫЕНУС ŒЩТБЦЕОЙЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ НОПЦЙФЕМЕН ezfi , РПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙС 1= ch2(z=2T ) ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМБ РП z.

ъБНЕФЙН ФЕРЕТШ, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ Œ ПВМБУФЙ Im z > 0 ДБЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА GR(z; p), Б Œ ПВМБУФЙ Im z < 0 | ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙА GA(z; p) (УН. ЪБДБЮХ 40). рПЬФПНХ ЙОФЕЗТБМ РП ЛПОФХТБН C1 É C2 НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ ЙОФЕЗТБМБ РП ŒЕЭЕУФŒЕООЩН z ПФ ŒЩТБЦЕОЙС, УПДЕТЦБЭЕЗП ТБЪОПУФШ ln GR(z; p) − ln GA(z; p). ьФП ДБЕФ УМЕДХАЭХА РПМЕЪОХА ЖПТНХМХ:

пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ ŒЕЭЕУФŒЕООПН " ŒЕМЙЮЙОЩ GR¸ ("; p) É GA¸ ("; p) ЛПНРМЕЛУОП УПРТСЦЕОЩ, Й ЪОБЮЙФ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ УЛПВЛБИ Œ (7.64) ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ 2i arg GR¸ ("; p). рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.64) НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ ФБЛ:

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ, Œ ЛПФПТХА ŒЛМАЮЕОБ УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ, ПРЙУЩŒБАЭБС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЖПОПОБНЙ. лБЛ ВЩМП ŒЩСУОЕОП Œ ЪБДБЮЕ 29, Œ ДБООПН УМХЮБЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЙНРХМШУБ, СŒМССУШ ЖХОЛГЙЕК ПДОПК МЙЫШ ЬОЕТЗЙЙ. ъБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ЕУФШ GR("; p) = ("−˚(")−‰(p)+i0)−1. уЮЙФБС ДМС РТПУФПФЩ ˚(") ŒЕЭЕУФŒЕООЩН, РПМХЮБЕН

рТПУХННЙТХЕН ФЕРЕТШ (7.66) РП ЙРХМШУБН Й РТПЕЛГЙСН УРЙОБ. рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ŒЛМБД ПФ УПУФПСОЙК У ЬОЕТЗЙСНЙ ŒВМЙЪЙ EF , РЕТЕКДЕН Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰ Œ ЛПОЕЮОЩИ РТЕДЕМБИ −‰0 < ‰ < ‰0, ÇÄÅ ‰0 ≈ EF . œЩЮЙУМСЕН ЙОФЕЗТБМ:

нОПЦЙФЕМШ 2 ŒПЪОЙЛБЕФ Œ ТЕЪХМШФБФЕ УХННЙТПŒБОЙС РП УРЙОБН. рПДУФБŒЙН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (7.65) Й ЪБНЕФЙН, ЮФП УМБЗБЕНПЕ −2ı 0‰0 РТЙŒПДЙФ Л ЙОФЕЗТБМХ РП " ПФ ОЕЮЕФОПК ЖХОЛГЙЙ, ТБŒОПНХ ОХМА. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ОЕЪБŒЙУСЭЕЕ ПФ РБТБНЕФТБ ПВТЕЪЛЙ ‰0 ПЛПОЮБФЕМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

−∞

рПДУФБŒМСС Œ (7.68) УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Œ ŒЙДЕ ˚(") = −b", ОБИПДЙН

154змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ÇÄÅ “ (2) = ı2=6. пФУАДБ ФЕРМПЕНЛПУФШ C = T @S=@T = (1 + b)C0(T ), ÇÄÅ C0 = (2ı2=3) 0T | ФЕРМПЕНЛПУФШ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

рТЙŒЕДЕООПЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ УМХЮБК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ У РТПЙЪŒПМШОЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, ОЕ ТБЪТХЫБАЭЙН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОХА ЛБТФЙОХ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РТЙ НБМЩИ " Й ‰ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ЙНЕЕФ ŒЙД ˚("; ‰) = a‰ −b". лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, РТЙ ЬФПН ЖПТНХМБ (7.65) РТЙŒПДЙФ Л МЙОЕКОПК РП T ЬОФТПРЙЙ Й ТБŒОПК ЕК ФЕРМПЕНЛПУФЙ C(T ) = [(1 + b)=(1 + a)]C0(T ). пФНЕФЙН, ЮФП ФБ ЦЕ УБНБС ЛПОУФБОФБ ДБЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ: m =m = (1 + b)=(1 + a).

тЕЫЕОЙЕ 36. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 20, ВХДЕН ЙУРПМШЪПŒБФШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЗБНЙМШФПОЙБОБ ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЙ (1.20) Œ ŒЙДЕ УХННЩ H0 É Hint, ÇÄÅ H0 УПДЕТЦЙФ ŒУЕ ЮМЕОЩ, УПИТБОСАЭЙЕ ЮЙУМП ЖЕТНЙПОПŒ, Б Hint | ŒУЕ ЮМЕОЩ, НЕОСАЭЙЕ ЮЙУМП ЖЕТНЙОПŒ ОБ

±2. зТБЖЙЮЕУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПМХЮБАЭЙИУС Œ ЬФПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, ВЩМП ОБКДЕОП Œ ЪБДБЮЕ 20. уППФŒЕФУФŒХАЭБС РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБНН ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ РПЛБЪБОБ ОБ ТЙУ. 7.3.

уХННЙТХС РП n = 1; 2; :::, РПМХЮБЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ РПФЕОГЙБМБ ŒУМЕДУФŒЙЕ РТЙУХФУФŒЙС