Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 810

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ÇÄÅ !nm

7.4. теыеойс

155

пФДЕМСС ŒЛМБД ˙0, РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙ-

ÁÌÁ:

 

ln 2 ch ˛ (J1 cos p − B)2 + J22 sin2 p dp :

(7.73)

˙ = −ı

T

ı

 

 

0

 

 

 

 

тЕЫЕОЙЕ 37 Б. дПЛБЦЕН, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (7.26) ДБЕФ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП (7.25). ъБРЙЫЕН ЖПТНБМШОЩЕ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ПВЕЙИ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЕК ВБЪЙУЕ ФПЮОЩИ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК |n ÒÁÓ-

УНБФТЙŒБЕНПК УЙУФЕНЩ: = . œП ЙЪВЕЦБОЙЕ ОЕДПТБЪХНЕОЙК ЪБНЕФЙН, ЮФП

H|n En|n

ТЕЮШ ЙДЕФ П НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ, Б ОЕ ПВ ПДОПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙСИ. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП:

 

 

 

 

 

AB (!) = i ∞ei!t [A(t)B(0)] Ôdt ;

 

 

(7.74)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

− H

H |

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ : : : Ô

= Tr(e−˛H : : :)=Tr e−˛H | ХУТЕДОЕОЙЕ РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА зЙВВУБ, Б

X(t) =

ÎÙÈ

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

e

it X eit

 

ПРЕТБФПТ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ. рЕТЕИПДС Л ВБЪЙУХ УПВУФŒЕО-

 

УПУФПСОЙК ЗБНЙМШФПОЙБОБ

 

, РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

 

i

∞

ei!t m;n e−˛En

 

 

 

 

 

 

 

 

AB (!) = Z

 

e−i!nmt n|A|m m|B|n − ei!nmt n|B|m m|A|n

dt ;

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= En − Em | ЮБУФПФБ РЕТЕИПДБ, a Z УХННБ. нЕОСС ЙОДЕЛУЩ m Й n ŒП ŒФПТПН ЮМЕОЕ ОБИПДЙН

(7.75)

= Tr exp( ) | УФБФЙУФЙЮЕУЛБС

−˛H

УХННЩ НЕУФБНЙ Й ЙОФЕЗТЙТХС РП t,

(!) =

 

e−˛En − e−˛Em

 

n A m

m B n :

(7.76)

 

 

−

 

 

|

 

|

 

|

 

AB

m;n

!

 

!nm + i0

|

 

 

нОЙНБС ЮБУФШ i0 ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ НОПЦЙФЕМС exp (−‹t), ЛПФПТЩК ОБДП ДПВБŒЙФШ Œ ЖПТНБМШОП ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ РП t ДМС ПВЕУРЕЮЕОЙС ЕЗП УИПДЙНПУФЙ.

фЕРЕТШ РТПДЕМБЕН БОБМПЗЙЮОПЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ДМС НБГХВБТПŒУЛПК ЛПТТЕМСГЙПООПК

ЖХОЛГЙЙ

 

 

 

 

 

 

1

 

˛

 

 

 

 

 

 

ABM (i!n) =

 

 

 

(7.77)

 

 

2

−

 

 

 

 

 

˛ ei!nfi Tfi AM (fi ) BM (0) Ô dfi :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъДЕУШ XM (fi ) = e

 

fi H X efi H | НБГХВБТПŒУЛЙК ПРЕТБФПТ. œ ВБЪЙУЕ УПВУФŒЕООЩИ УПУФП-

СОЙК РПМХЮБЕН

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABM (i!n) = 2Z 0

ei!nfi m;n e−˛Ene−!nmfi n|A|m m|B|n dfi +

 

 

 

 

 

1

0

˛

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2Z

−

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.78)

 

 

 

 

˛ ei!nfi m;n e−˛En e!nmfi n|B|m m|A|n dfi :

156змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

уОПŒБ РЕТЕУФБŒМСЕН ЙОДЕЛУЩ ŒП ŒФПТПК УХННЕ Й ŒЩЮЙУМСЕН ЙОФЕЗТБМ РП fi (РТЙ ЬФПН РПМЕЪОП ХЮЕУФШ, ЮФП !n˛ = 2ın):

ABM

 

e−˛En

(i!n) =

i!n

 

m;n

− e−˛Em

n A m m B n :

(7.79)

− !nm

| | | |

 

дПЛБЪБФЕМШУФŒП ЙОФЕТЕУХАЭЕЗП ОБУ ХФŒЕТЦДЕОЙС РПМХЮБЕФУС ЙЪ УТБŒОЕОЙС (7.76) Й (7.79). œУРПНОЙН, ЮФП ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ AB (!) | БОБМЙФЙЮЕУЛБС Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ЖХОЛГЙС ! (ЬФП УМЕДХЕФ ЙЪ ФПЗП, ЮФП ПОБ ЕУФШ ЖХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЖХОЛГЙЙ, ПФМЙЮОПК ПФ 0 МЙЫШ РТЙ t > 0). ъОБЮЙФ, ЕЕ НПЦОП РТПДПМЦЙФШ У ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ ОБ РПМПЦЙФЕМШОХА НОЙНХА РПМХПУШ Im ! > 0. рТЙ ЬФПН, УПЗМБУОП (7.76) Й (7.79), Œ ФПЮЛБИ i!n = 2ıinT , n > 0, ПВБ ŒЩТБЦЕОЙС УПŒРБДБАФ.

фЕРЕТШ РТЕДРПМПЦЙН, ЮФП УХЭЕУФŒХЕФ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ MAB (i!n) У ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ ОБ ŒУА ŒЕТИОАА РПМХРМПУЛПУФШ !. фПЗДБ ЬФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ДПМЦОП УПŒРБУФШ У AB (!), РПУЛПМШЛХ, УПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ ФЕПТЙЙ ЖХОЛГЙК ЛПНРМЕЛУОПЗП РЕТЕНЕООПЗП, ДŒЕ ЖХОЛГЙЙ, БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ Œ ОЕЛПФПТПК ПВМБУФЙ Й УПŒРБДБАЭЙЕ ОБ ВЕУЛПОЕЮОПН НОПЦЕУФŒЕ ФПЮЕЛ, ЙНЕАЭЕН РТЕДЕМШОХА ФПЮЛХ, УПŒРБДБАФ ŒП ŒУЕК ПВМБУФЙ.

тЕЫЕОЙЕ 37 В. оБКДЕН ДЙОБНЙЮЕУЛХА УРЙОПŒХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ РТЙ T EF . œ ЪБДБЮЕ 24 В ЬФБ ŒЕМЙЮЙОБ ВЩМБ ОБКДЕОБ ОЕРПУТЕДУФŒЕООЩН ХУТЕДОЕОЙЕН ПРЕТБФПТПŒ Œ ЖПТНХМЕ лХВП. юФПВЩ ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ У РПНПЭША НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЙ НЩ ŒЩЮЙУМЙН НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ. рПУЛПМШЛХ M¸˛ (i!n; k) | ИТПОПМПЗЙЮЕУЛЙ ХРПТСДПЮЕООБС ŒЕМЙЮЙОБ (РП ПФОПЫЕОЙА Л НОЙНПНХ ŒТЕНЕОЙ), ЕЕ НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ ЛБЛ РЕФМА, УПУФБŒМЕООХА ЙЪ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ:

¸˛M (i!n; k) = −2—B2 ‹¸˛ T

!m G(i!m; p) G(i!m + i!n; p + k)

 

d3p

:

(7.80)

(2ı)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

œЩЮЙУМЙН НБГХВБТПŒУЛХА УХННХ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

;

 

 

 

 

(7.81)

 

 

(i!m + i!n

 

 

‰p+k) (i!m

‰p)

 

 

 

 

 

!m;p

 

 

 

−

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТБЪМБЗБС РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ОБ РТПУФЕКЫЙЕ ДТПВЙ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

‰p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!m

(i!m + i!n

−

‰p+k ) (i!m

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= !m i!n

 

1

 

i!m

1

‰p

− i!m

1

 

 

‰p+k

:

 

−

‰p+k + ‰p

−

+ i!n

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъБНЕФЙН, ЮФП РПУЛПМШЛХ !m = (2m + 1)ıT É !n = 2ınT , ŒП ŒФПТПН ЮМЕОЕ Œ УЛПВЛБИ НПЦОП УДЕМБФШ УДŒЙЗ РЕТЕНЕООПК УХННЙТПŒБОЙС m → m − n, РТЙ ЛПФПТПН ЙЪ ОЕЗП ЙУЮЕЪБЕФ !n. œ ЛБЦДПН ЙЪ УМБЗБЕНЩИ Œ УЛПВЛБИ ŒЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ УХННЩ УИПДЙФУС, Б НОЙНБС ЖПТНБМШОП ТБУИПДЙФУС. пДОБЛП ПОБ ОЕЮЕФОБ РП m, Й РПФПНХ УПЛТБЭБЕФУС РТЙ РТЙŒЕДЕОЙЙ ЮМЕОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ m. пУФБЕФУС ОБКФЙ УХННХ ŒЙДБ

 

 

‰

 

S(‰) = T

!2

+ ‰2 ;

(7.82)

!m

m

 

 

7.4. теыеойс

 

 

 

 

 

 

 

157

ЮФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ У РПНПЭША ЙЪŒЕУФОПЗП УППФОПЫЕОЙС

 

 

 

 

1

 

=

ı th

ıa :

(7.83)

∞

 

 

 

n=−∞

(2n + 1)2 + a2

 

2a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рПЬФПНХ ЙОФЕТЕУХАЭБС ОБУ УХННБ ЕУФШ

 

 

 

 

 

1

 

˛‰

1

 

1

1

− nF (‰) ;

 

S(‰) = 2 th

2

= 2

− e˛‰ + 1 ≡ 2

(7.84)

ÇÄÅ nF (‰) | ЖЕТНЙ-ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ. œПЪŒТБЭБСУШ Л ŒЩТБЦЕОЙА (7.81), НЩ РПМХЮБЕН ŒЕУШНБ РПМЕЪОПЕ ФПЦДЕУФŒП

 

 

−

 

−

 

 

−

 

T

 

 

1

 

 

=

nF (‰p+k) − nF (‰p) ;

(7.85)

!m

(i!m + i!n

 

‰p+k ) (i!m

 

‰p)

 

i!n ‰p+k + ‰p

 

ЛПФПТПЕ ЮБУФП ЙУРПМШЪХЕФУС РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ РПМСТЙЪБГЙПООЩИ ПРЕТБФПТПŒ Й ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЕК ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

йУРПМШЪХС УППФОПЫЕОЙЕ (7.85), ЪБРЙЫЕН НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ФБЛ:

M (i!; k) = 2—2

‹

 

nF (‰p) − nF (‰p+k)

d3p

:

(7.86)

B

¸˛

i!n − ‰p+k + ‰p

(2ı)3

 

 

рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ДПУФБФПЮОП НБМЩЕ T EF É |k| p0, РЕТЕКДЕН Л ЙОФЕ-

ЗТЙТПŒБОЙА РП ‰. фБЛ ЛБЛ

 

(n (‰)

−

n

 

(‰ + vk))d‰ = vk (ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ

T ), РПМХЮБЕН

F

 

F

 

 

kvF

do

 

 

M (i!n; k) = 2—B2 0

:

(7.87)

i!n − kvF 4ı

œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП ФЕМЕУОПНХ ХЗМХ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 24 В, ОБИПДЙН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

M

(i!

; k) = 2—2

‹

 

 

1 +

i!n

ln i!n − kvF

:

(7.88)

¸˛

n

B

0

¸˛

 

2kvF

i!n + kvF

 

 

дМС ФПЗП ЮФПВЩ БОБМЙФЙЮЕУЛЙ РТПДПМЦЙФШ (7.88) ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ, ДПУФБФПЮОП УДЕМБФШ ЪБНЕОХ i!n → ! + i0. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС

B 0

 

2kvF

! + kvF + i0

 

(!; k) = 2—2

1 +

!

ln ! − kvF + i0

:

пФДЕМСС ŒЕЭЕУФŒЕООХА Й НОЙНХА ЮБУФЙ, ОБИПДЙН

B 0

 

2kvF

 

$

! + kvF

$

 

Re (!; k) = 2—2 1 +

!

ln

$

! − kvF

$

;

 

 

 

 

 

$

 

 

 

$

 

2

 

!

 

 

$

 

!

) :

$

 

Im (!; k) = ı—B 0

 

„ (kvF

 

$

 

$

 

 

kvF

 

− |

|

 

 

 

(7.89)

(7.90)

(7.91)

ъБНЕФЙН, ЮФП ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС, ŒЕТОЩЕ РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ 0 T EF , Œ ФПЮОПУФЙ УПŒРБДБАФ У ŒЕЭЕУФŒЕООПК Й НОЙНПК ЮБУФСНЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ОБКДЕООПК Œ ЪБДБЮЕ 24 В РТЙ T = 0.

158змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

тЕЫЕОЙЕ 37 Œ. уОБЮБМБ ТБУУНПФТЙН НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (7.26) УРЙОБ ŒП ŒОЕЫОЕН РПМЕ:

(!n) = 2

˛

Tfi sz (fi )sz (0) ei!nfi dfi ;

(7.92)

 

—2

 

 

 

 

−˛

 

ЗДЕ | НБЗОЙФОЩК НПНЕОФ УРЙОБ. рПУЛПМШЛХ ЗБНЙМШФПОЙБО УŒПВПДОПЗП УРЙОБ Œ

— H0

ПФУХФУФŒЙЕ ŒОЕЫОЕЗП РПМС ТБŒЕО ОХМА, ДЙОБНЙЛБ ПФУХФУФŒХЕФ. рПЬФПНХ sz (fi )sz (0) =s2z (fi ) = 1 Й, УМЕДПŒБФЕМШОП,

(!n) =

0

ÐÒÉ !n = 0

-

= 1 + fi !n ; fi0T 1 :

(7.93)

 

˛—2

ÐÒÉ !n = 0

 

˛—2

 

 

 

 

 

0

 

нЩ ЪБРЙУБМЙ ТЕЪХМШФБФ Œ ŒЙДЕ, РПЪŒПМСАЭЕН РТПДПМЦЙФШ (!n) У НОЙНЩИ ЪОБЮЕОЙК ЮБУФПФЩ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ. бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ДБЕФ (!) = ˛—2=(1 − ifi0!). рЕТЕИПДС Л УФБФЙЮЕУЛПНХ РТЕДЕМХ ! → 0, ХВЕЦДБЕНУС Œ ФПН, ЮФП НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ДБЕФ ЪБЛПО лАТЙ.

фЕРЕТШ ОБКДЕН ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ, ЙУРПМШЪХС ДЙОБНЙЛХ Œ ТЕБМШОПН ŒТЕНЕОЙ. уМЕДХС МПЗЙЛЕ, ПВЩЮОП РТЙŒПДСЭЕК Л ЖПТНХМЕ лХВП, ТБУУНПФТЙН УТЕДОЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ ОБНБЗОЙЮЕООПУФЙ Œ ЛБЛПК-ФП НПНЕОФ ŒТЕНЕОЙ:

—sz (t) = — Tr

eiH(t−t0)sz (t0)e−iH(t−t0)j

;

H = −—sz Bext ;

(7.94)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ j = Z−1 exp

−˛H . юФПВЩ РПМХЮЙФШ МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ, ОБДП ТБЪМПЦЙФШ ŒЩТБЦЕ-

ÎÉÅ (7.94) ÐÏ

B

 

, ŒЩДЕМЙŒ МЙОЕКОЩК ŒЛМБД. œ УФБОДБТФОПН ŒЩŒПДЕ ЖПТНХМЩ лХВП

ext

 

 

 

 

 

ТБЪМБЗБАФУС ПРЕТБФПТЩ ЬŒПМАГЙЙ e iH(t−t0), ЮФП ДБЕФ УТЕДОЕЕ ПФ

РП УФЕРЕОСН Bext

ЛПННХФБФПТБ ПРЕТБФПТПŒ УРЙОБ Œ ТБЪМЙЮОЩЕ НПНЕОФЩ

ŒТЕНЕОЙ. рТЙ ЬФПН ЪБŒЙУЙНП-

 

УФША НБФТЙГЩ РМПФОПУФЙ j ПФ Bext РТЕОЕВТЕЗБАФ ОБ ФПН ПУОПŒБОЙЙ, ЮФП Œ РТЕДЕМЕ t − t0 → ∞ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ОБЮБМШОЩИ ХУМПŒЙК Œ НПНЕОФ t0 ПФУХФУФŒХЕФ. пДОБЛП ЬФП УРТБŒЕДМЙŒП ФПМШЛП Œ ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЬŒПМАГЙС УЙУФЕНЩ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ĂРПФЕТЕК РБНСФЙĄ П ОБЮБМШОПН УПУФПСОЙЙ, МЙВП Œ УЙМХ ЬТЗПДЙЮОПУФЙ, МЙВП ЙЪ-ЪБ ТЕМБЛ-

УБГЙПООПЗП ИБТБЛФЕТБ ДЙОБНЙЛЙ. œ ОБЫЕН ЦЕ УМХЮБЕ, РПУЛПМШЛХ = 0, ЬŒПМАГЙС

H0

ОЕŒПЪНХЭЕООПК УЙУФЕНЩ ŒППВЭЕ ПФУХФУФŒХЕФ, Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЮЕЗП УЙУФЕНБ ВЕУЛПОЕЮОП ДПМЗП РПНОЙФ ОБЮБМШОПЕ УПУФПСОЙЕ. рПЬФПНХ РТЙ ОБИПЦДЕОЙЙ МЙОЕКОПЗП ПФЛМЙЛБ УМЕДХЕФ ТБЪМПЦЙФШ РП Bext ОЕ ФПМШЛП ПРЕТБФПТЩ ЬŒПМАГЙЙ, ОП Й НБФТЙГХ РМПФОПУФЙ j ОБЮБМШОПЗП УПУФПСОЙС. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЬФП РТЙŒПДЙФ Л ЪБЛПОХ лАТЙ = ˛—2.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖПТНХМБ лХВП Œ УŒПЕК ПВЩЮОПК ЖПТНЕ ДБЕФ РТБŒЙМШОЩК ПФŒЕФ ДМС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ ФПМШЛП Œ ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ РТЙ ЬŒПМАГЙЙ УЙУФЕНБ ĂЪБВЩŒБЕФĄ П ОБЮБМШОПН УПУФПСОЙЙ. еУМЙ ЦЕ ЬФП ОЕ ФБЛ, УМЕДХЕФ МЙВП РПРТБŒМСФШ ЖПТНХМХ лХВП, ŒŒПДС Œ ОЕЕ ЮМЕОЩ, ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ОБЮБМШОПЗП УПУФПСОЙС, МЙВП ЙУРПМШЪПŒБФШ НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.

тЕЫЕОЙЕ 38. зТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС ЮЕТЕЪ РПМЕ ДЕЖПТНБГЙЙ ’(r; t) (УН. (6.5)). уТБŒОЙŒБС ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.5) У ПРЕТБФПТПН (6.1) РПМС УНЕЭЕОЙК

7.4. теыеойс

159

ТЕЫЕФЛЙ u(r; t), ХВЕЦДБЕНУС Œ ФПН, ЮФП ДМС ДЕВБЕŒУЛЙИ ЖПОПОПŒ У МЙОЕКОЩН ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ !(k) = c|k| РПМЕ ДЕЖПТНБГЙЙ ’ ЕУФШ У√j div u. уМЕДПŒБФЕМШОП, ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЖПОПОПŒ

 

c2

 

 

(k

 

 

 

 

D(r; fi ) = − j Tfi ’(r; fi ) ’(0; 0) Ô =

(2ı)

 

 

−

!n

!n

+ !(k)

 

 

 

 

 

 

!

)2

2 e−i!nfi +ikr

dD k

 

=

T

2

 

 

 

D

(7.95)

РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЛПТТЕМСФПТ div u, ХНОПЦЕООЩК ОБ jc2. рПЬФПНХ ЛПТТЕМСФПТ УБНЙИ УНЕЭЕОЙК РПМХЮБЕФУС 9 ДЕМЕОЙЕН ЖПОПООПЗП РТПРБЗБФПТБ ОБ j!k2:

j

!n

!n

+ !k (2ı)

 

 

T

 

eikr

dDk

 

CÔ(r) =

2

2

 

D :

(7.96)

 

 

œЩРПМОЙН УХННЙТПŒБОЙЕ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН У РПНПЭША ЖПТНХМЩ:

∞

 

 

1

 

ı

 

 

 

n2

+ a2

= a cth(ıa) :

(7.97)

n=−∞

 

 

 

 

 

 

 

рПМХЮБЕН

 

 

!(k)

cth 2T

(2ı)D :

(7.98)

CÔ(r) = 2j

1

 

eikr

 

!(k)

dDk

 

хДПВОП ТБЪДЕМЙФШ ŒЛМБДЩ ФЕРМПŒЩИ Й ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.98), ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН

1

!

 

1

1

≡

1

+ nB (!) ;

 

2 cth

2T

=

2

+ e˛! − 1

2

(7.99)

ÇÄÅ nB (!) | ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС вПЪЕ. пЮЕŒЙДОП, ЮФП 1=2 ЕУФШ ŒЛМБД ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, Б nB (!) | ФЕРМПŒЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ. жПТНХМХ (7.98) Œ ФБЛЙИ ПВПЪОБЮЕОЙСИ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ОЕ РПМШЪХСУШ НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, Б РТПУФП ХУТЕДОСС ŒФПТЙЮОП ЛŒБОФПŒБООЩЕ ПРЕТБФПТЩ УНЕЭЕОЙК (6.1) РП ЗЙВВУПŒУЛПК НБФТЙГЕ РМПФОПУФЙ.

йУРПМШЪХС (7.99), РТЕДУФБŒЙН (7.98) Œ ŒЙДЕ CÔ(r) = C0(r) + ´CÔ(r), ÇÄÅ

 

1

 

 

eikr dD k

 

 

 

 

C0(r) =

2j

!(k) (2ı)D

;

 

 

(7.100)

 

 

1

 

eikr

 

dDk

 

 

´CÔ(r) =

j

!(k)nB (!(k))

(2ı)D

:

(7.101)

9уФТПЗП ЗПŒПТС, ЬФП ДБЕФ ЛПТТЕМСФПТ РТПДПМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК u k. пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ ЛПТТЕМСФПТЩ ŒУЕИ ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК ПДЙОБЛПŒЩ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ, НЩ ПЗТБОЙЮЙНУС ТБУУНПФТЕОЙЕН МЙЫШ РТПДПМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ.

Смотрите также файлы