Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 812
Скачиваний: 1
160змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
лПТТЕМСФПТ ´CÔ(r) ВХДЕФ ЙОФЕТЕУПŒБФШ ОБУ РТЙ r c=T . œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒБЦЕО ŒЛМБД МЙЫШ ПФ ДПУФБФПЮОП НБМЩИ k ≈ 1=r, ФБЛЙИ ЮФП !(k) T . уППФŒЕФУФŒЕООП, ТБЪМБЗБС ВПЪЕŒУЛХА ЖХОЛГЙА ТБУРТЕДЕМЕОЙС Œ (7.99) РТЙ НБМПН !, РПМХЮБЕН
´CÔ(r) ≈ j |
!2(k) (2ı)D : |
(7.102) |
|
T |
eikr |
dDk |
|
пФНЕФЙН, ЮФП (7.102) ЕУФШ РТСНПЕ УМЕДУФŒЙЕ ФЕПТЕНЩ П ТБŒОПТБУРТЕДЕМЕОЙЙ ЙЪ ЛМБУУЙЮЕУЛПК УФБФЙУФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЙ.
рПУМЕ РТПŒЕДЕООПК РПДЗПФПŒЛЙ РТЙУФХРЙН Л ŒЩЮЙУМЕОЙА C0(r) É ´CÔ(r) Œ ТБЪОЩИ
ТБЪНЕТОПУФСИ. œОБЮБМЕ ŒЩЮЙУМЙН C0(r). |
|
|
|
|
|
|
|||
á. D = 3: |
|
4ı |
∞ sin(kr) k2dk |
|
1 |
|
|
||
(3) |
|
|
|
|
|||||
C0 (r) = |
(2ı)3j |
|
kr |
ck |
= |
4ı2jcr2 |
: |
(7.103) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ъДЕУШ ЙУРПМШЪПŒБОБ ЖПТНХМБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiandon = 4ı(sin a)=a : |
|
|
(7.104) |
|||||
â. D = 2:
C0(2)(r) = 4ıjc |
|
|
2ı |
1 |
∞ 2ı d„ |
||
|
0 |
0 |
|
œ. D = 1:
∞
(1) 1
C0 (r) = 4ıjc
−∞
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
eikr cos „ dk |
= |
4ıjc |
|
J0(kr) dk |
= |
4ıjcr |
: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
|
|
1 |
∞ |
|
|
dk |
|
|
1 |
|
L |
|
||
eikr |
| |
k |
| |
= |
2ıjc |
|
cos kr |
k |
= |
2ıjc2 |
ln r |
: |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(7.105)
(7.106)
рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ РПУМЕДОЕЗП ЙОФЕЗТБМБ, ЛПФПТЩК ЖПТНБМШОП ТБУИПДЙФУС, ОЕПВИПДЙНП ПВТЕЪБФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ТБУИПДЙНПУФШ. лБЛ ПВЩЮОП, ПВТЕЦЕН ЙОФЕЗТБМ УŒЕТИХ ОБ k ≈ 1=r (РТЙ В«ПМШЫЙИ k ПУГЙММСГЙЙ cos kr ПВЕУРЕЮЙŒБАФ УИПДЙНПУФШ), Б УОЙЪХ | ОБ
k ≈ 1=L, ЗДЕ L | ТБЪНЕТ УЙУФЕНЩ (ЗБТНПОЙЛ У НЕОШЫЙНЙ k ОЕ УХЭЕУФŒХЕФ). |
|
||||||||
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ФЕРМПŒЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ. |
|
|
|
|
|
|
|||
á. D = 3: |
∞ |
|
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
dk |
|
|
|
||
´CÔ(3)(r) = 2ı2jcR |
|
sin(kr) |
k = |
4ıjcr |
: |
(7.107) |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
â. D = 2: |
|
∞ 2ı |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
dkd„ |
|
|
|
||
´CÔ(2)(r) = (2ı)2jc2 |
|
|
eikr cos „ |
k |
: |
|
(7.108) |
||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
ьФПФ ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ ŒЩЮЙУМСЕФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ЙОФЕЗТБМ ДМС C0(1)(r):
´CÔ(2)(r) = |
T |
ln |
L |
: |
(7.109) |
|
2ıjc2 |
|
r |
|
|
7.4. теыеойс |
161 |
фБВМ. 7.1. œЛМБД ФЕРМПŒЩИ Й ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК Œ ЛПТТЕМСГЙПООХА ЖХОЛГЙА
D |
C0(r) |
´CÔ(r) |
3 |
1=r2 |
T =r |
21=r T ln(L=r)
1 ln(L=r) |
T L |
œ. D = 1: |
T |
∞ |
dk |
T L |
|
|
|
|
|
|
|||||
´CÔ(1)(r) = |
ıjc2 |
|
1 |
cos(kr) k2 |
= ¸ jc2 |
: |
(7.110) |
|
|
≈L− |
|
|
|
|
|
œ ЬФПН УМХЮБЕ ЙОФЕЗТБМ РТЙ НБМЩИ k ТБУИПДЙФУС ОЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ, Б УФЕРЕООЩН ПВТБЪПН. рПЬФПНХ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ ¸ Œ ЬФПН УППФОПЫЕОЙЙ Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ ОЕŒПЪНПЦОП: Œ ЮБУФОПУФЙ, ŒЕМЙЮЙОБ ¸ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЗТБОЙЮОЩИ ХУМПŒЙК, Б ФБЛЦЕ ПФ ТБУРПМПЦЕОЙС ФПЮЕЛ, Œ ЛПФПТЩИ ЙЪНЕТСАФУС УНЕЭЕОЙС, РП ПФОПЫЕОЙА Л ЗТБОЙГЕ УЙУФЕНЩ.
рПМХЮЕООЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ РПЪŒПМСАФ ЙУУМЕДПŒБФШ ŒПРТПУ П ТБЪТХЫЕОЙЙ ДБМШОЕЗП РПТСДЛБ ЛŒБОФПŒЩНЙ Й ФЕРМПŒЩНЙ ЖМХЛФХБГЙСНЙ. дМС ЬФПЗП ОЕПВИПДЙНП ЙЪХЮЙФШ РПŒЕДЕОЙЕ CÔ(r) ÐÒÉ r → ∞. åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ CÔ(r) → 0, ФП ДБМШОЙК РПТСДПЛ ЖМХЛФХБГЙСНЙ ОЕ ТБЪТХЫБЕФУС | ДБЦЕ ЪОБЮЙФЕМШОПЕ ПФЛМПОЕОЙЕ u(r) ПФ УТЕДОЕЗП ЪОБЮЕОЙС ОЕ ПЛБЪЩŒБЕФ УХЭХУФŒЕООПЗП ŒМЙСОЙС ОБ u(r ) Œ ДБМЕЛЙИ ФПЮЛБИ r . б ŒПФ ЕУМЙ CÔ(r) → ∞, ФП ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ДБМШОЙК РПТСДПЛ ЙУЮЕЪБЕФ. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ РТПДЕМБООЩИ ŒЩЮЙУМЕОЙК, ФБЛБС УЙФХБГЙС ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК РТЙ D = 1, Б ДМС ФЕРМПŒЩИ | РТЙ D = 1; 2.
йЪХЮБС ТЕЪХМШФБФЩ, УŒЕДЕООЩЕ Œ ФБВМ. 7.1, НПЦОП ФБЛЦЕ УДЕМБФШ ОБВМАДЕОЙЕ, ЮФП У РПОЙЦЕОЙЕН ТБЪНЕТОПУФЙ УЙУФЕНЩ D УНЕЭЕОЙС u Œ ДБМЕЛЙИ ФПЮЛБИ УФБОПŒСФУС ВПМЕЕ УЛПТТЕМЙТПŒБООЩНЙ. пВ СУОЙФШ ЬФП НПЦОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. рТЕДУФБŒЙН УЕВЕ ПДОПНЕТОЩК ЛТЙУФБММ, Œ ЛПФПТПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ МЙЫШ ВМЙЦБКЫЙЕ УПУЕДЙ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЪБ УЮЕФ ЖМХЛФХБГЙК ПДЙО ЙЪ БФПНПŒ УМЕЗЛБ УНЕУФЙМУС. фПЗДБ УПУЕДОЙЕ У ОЙН БФПНЩ ОБЮОХФ РПДУФТБЙŒБФШУС РПД ЬФП ОПŒПЕ ĂОЕРТБŒЙМШОПЕĄ РПМПЦЕОЙЕ. ъБФЕН РЕТЕУФТПСФУС БФПНЩ, УПУЕДОЙЕ У ХЦЕ УНЕУФЙŒЫЙНЙУС, Й ФБЛ ДБМЕЕ. фБЛЙН ПВТБЪПН, УНЕЭЕОЙЕ ПДОПЗП БФПНБ ŒЩЪЩŒБЕФ РЕТЕУФТПКЛХ ŒУЕК ГЕРПЮЛЙ. рПЬФПНХ ОЕУЛПМШЛЙИ МПЛБМШОЩИ ЖМХЛФХБГЙК ПЛБЪЩŒБЕФУС ДПУФБФПЮОП, ЮФПВЩ ДБМШОЙК РПТСДПЛ ĂЪБВЩМУСĄ. пДОБЛП, У РПŒЩЫЕОЙЕН ТБЪНЕТОПУФЙ ТПМШ ЖМХЛФХБГЙК ХНЕОШЫБЕФУС, РПФПНХ ЮФП ЛБЦДЩК БФПН ĂУМЩЫЙФ РПДУЛБЪЛХĄ П ФПН, ЛБЛПЕ РПМПЦЕОЙС ПО ДПМЦЕО ВЩМ ВЩ ЪБОСФШ Œ ЙДЕБМШОПК ТЕЫЕФЛЕ, ПФ ŒУЕ ВПМШЫЕЗП ЮЙУМБ УПУЕДЕК Й ВПМЕЕ ДБМЕЛЙИ БФПНПŒ. рПЬФПНХ ЮЕН ŒЩЫЕ ТБЪНЕТОПУФШ, ФЕН ФТХДОЕЕ РЕТЕУФТПЙФШ УЙУФЕНХ, УНЕЭБС ПДЙО БФПН.
тЕЫЕОЙЕ 39 a. ъБРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС НБГХВБТПŒУЛПЗП РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕ-
162змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ТБФПТБ |
|
2T |
|
|
|
|
− |
dp |
− |
|
|
˝(i!n; k) = |
|
|
|
(7.111) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2ı !m |
(i!m + i!n |
|
‰p+k) (i!m |
|
‰p) |
||||||
Й ОБКДЕН УХННХ РП !m У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ (7.85), РПМХЮЕООПЗП Œ ЪБДБЮЕ 37 В: |
|||||||||||
|
n |
|
ı |
|
i!n − ‰p+k + ‰p |
|
|
|
|||
˝(i! |
|
; k) = |
1 |
|
nF (‰p+k ) |
− nF (‰p) dp : |
|
|
(7.112) |
||
оБУ ЙОФЕТЕУХАФ ЪОБЮЕОЙС k ŒВМЙЪЙ ±2p0. рПМШЪХСУШ ЮЕФОПУФША ˝(i!n; k) РП k, ТБУУНПФТЙН k ≈ 2p0 Й ŒŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙС:
|
k ≡ 2p0 + q ; |
|
p ≡ −p0 + x − q=2 ; |
p + k ≡ p0 + x + q=2 : |
(7.113) |
||||||||||
рТЙ НБМЩИ |x|; |q| p0 НПЦОП МЙОЕБТЙЪПŒБФШ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ. рТЙ ЬФПН |
|
||||||||||||||
˝(i! |
; k = 2p |
|
+ q) = |
1 |
∞ nF (vF (x + q=2)) |
nF (−vF (x − q=2)) dx : |
(7.114) |
||||||||
n |
|
0 |
|
|
|
ı |
|
|
|
|
i!n |
− 2vF x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
хДПВОП РЕТЕРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: |
|
|
|
||||||||||||
|
1D |
∞ |
|
˛‰ |
|
1 |
|
|
1 |
|
2‰ d‰ ; |
|
|||
|
2 |
|
|
th |
2 |
i!n |
− |
vF q |
− |
2‰ + i!n + vF q |
− |
(7.115) |
|||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÇÄÅ ‰ = vF x, 1D = 1=(ıvF ). йОФЕЗТБМ РП ‰ Œ (7.115) ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ЙЪŒЕУФОЩН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН
|
|
|
|
∞ |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th z = |
|
z |
ıi(m + 1=2) |
; |
z = ˛‰=2 : |
|
|
(7.116) |
|||||
|
|
|
|
m=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1D |
m |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
; |
w |
|
= |
!n |
± ivF q |
: |
(7.117) |
|
|
|
± |
|||||||||||||
2 m=0 |
m + 1=2 + w+ |
m + 1=2 + w |
|
|
| |
|4ıT |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
мПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ УХННЩ РП m ДПМЦОБ ВЩФШ ПВТЕЪБОБ ФБЛ, ЮФПВЩ НБЛУЙНБМШОБС ЬОЕТЗЙС E0 = 2ıT (2m + 1) ВЩМБ РПТСДЛБ EF . (рТЙ ЬОЕТЗЙСИ E > E0 МЙОЕБТЙЪПŒБООЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РЕТЕУФБЕФ ВЩФШ УРТБŒЕДМЙŒЩН.) рТЕПВТБЪХЕН УХННХ
(7.117), РТЙВБŒМСС Й ŒЩЮЙФБС ЪОБЮЕОЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС (7.117) РТЙ w± = 0: |
|
; (7.118) |
||||||
− 1D m=0 m + 1=2 − |
2 |
m=0 |
m + 1=2 + w+ |
+ m + 1=2 + w |
− m + 1=2 |
|||
m |
1 |
1D |
m |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
хДПВУФŒП ДБООПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС Œ ФПН, ЮФП РЕТŒБС УХННБ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ w±, Б ŒФПТБС | УИПДЙФУС, Й РПЬФПНХ Œ ОЕК НПЦОП ТБУРТПУФТБОЙФШ УХННЙТПŒБОЙЕ ОБ РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫЙЕ m. œЩЮЙУМСС РЕТŒХА УХННХ У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ
˝(i!n; k) = − 1D ln 4ıT + |
2 |
|
|
2 |
+ w+ + |
|
2 |
+ w− − 2 |
|
2 |
|
; (7.119) |
E0 |
1D |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
7.4. теыеойс |
|
|
|
|
|
ÇÄÅ |
|
= −‚ − k=0 |
k + z |
− k + 1 |
; |
(z) = `(z) |
|||||
` |
(z) |
∞ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
‚ = 0; 5772157::: | РПУФПСООБС ьКМЕТБ.
фЕРЕТШ ОБКДЕН НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ. ъБРЙЫЕН
ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−1 |
−1 |
2 |
|
|
!2 |
+ !2(k) |
2 |
|
|
˝(i!n; k) = − |
n |
0 |
|
|||||
D |
|
(i!n; k) = D0 |
(i!n; k) − g |
|
!02(k) |
− g |
˝(i!n; k) : |
||
рПМХЮБЕН |
|
|
1 + !n2=!02(k) + g2˝(i!n; k) : |
||||||
|
|
D(i!n; k) = −1= |
|||||||
163
(7.120)
ДМС ЬФПЗП
(7.121)
(7.122)
йОФЕТЕУХАЭБС ОБУ ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС УНЕЭЕОЙК uk (t)u−k (t) Ô ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË
|
|
|
|
1 |
|
|
|
uk (t)u−k (t) Ô = −T |
n j!02(k) D(i!; k) = |
|
|||||
|
|
|
|
n |
T |
|
(7.123) |
= |
j!2 |
(k) (1 + !2=!2(k) + g2 |
˝(i! |
||||
n |
; k)) |
||||||
0 |
|
|
|
0 |
n |
|
|
(УН. ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 38). рТЙ ДПУФБФПЮОП ŒЩУПЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ T Œ УХННЕ (7.123) РТЙ ŒУЕИ n ЪОБНЕОБФЕМШ ДТПВЙ ОЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ РТЙ ХНЕОШЫЕОЙЙ T РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(i!n; k) УФБОПŒЙФУС ŒУЕ ВПМЕЕ Й ВПМЕЕ ПФТЙГБФЕМШОЩН, РТЙ ДПУФЙЦЕОЙЙ ОЕЛПФПТПЗП ЪОБЮЕОЙС T = Tc ПДЙО ЙЪ ЮМЕОПŒ Œ УХННЕ РП n НПЦЕФ ОБЮБФШ ТБУИПДЙФШУС. тБУИПДЙНПУФШ ЖМХЛФХБГЙК uk(t)u−k (t) Ô УŒЙДЕФЕМШУФŒХЕФ П ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ УЙУФЕНЩ РП ПФОПЫЕОЙА Л ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙА НПДХМСГЙЙ У ДБООЩН k.
оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ЮЕН НЕОШЫЕ |!n|, ФЕН ŒЩЫЕ ФЕНРЕТБФХТБ, РТЙ ЛПФПТПК ЪОБНЕОБФЕМШ ŒЩТБЦЕОЙС (7.123) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. бОБМПЗЙЮОП, НБЛУЙНБМШОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ФЕНРЕТБФХТЩ, РТЙ ЛПФПТПК ТБУИПДСФУС ЖМХЛФХБГЙЙ, ДПУФЙЗБЕФУС РТЙ k = 2p0. рПЬФПНХ ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ НПДХМСГЙЙ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ŒУМЕДУФŒЙЕ ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ, ЕУФШ k = 2p0.
йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ФЕНРЕТБФХТБ ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ ХУМПŒЙС ПВТБЭЕОЙС Œ ОХМШ ЮБУФПФЩ ЖПОПОПŒ У k = 2p0. рПДУФБŒМСС !n = 0 Œ (7.122), РПМХЮБЕН ХУМПŒЙЕ ОБ ФЕНРЕТБФХТХ РЕТЕИПДБ: g2˝0 + 1 = 0, ÇÄÅ ˝0 = ˝(!n = 0; k = 2p0). тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ g2 1D ln(E0=Tc) = 1, ОБИПДЙН
Tc ≈ E0e−1=g2 1D : |
(7.124) |
ъБНЕФЙН, ЮФП ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ Tc РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ УПŒРБДБЕФ У ŒЩТБЦЕОЙЕН (6.81) ДМС ЭЕМЙ ´0 ÐÒÉ T = 0.
тЕЫЕОЙЕ 39 В. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ПЛТЕУФОПУФШ ФЕНРЕТБФХТЩ РЕТЕИПДБ Tc, РТЙ ЛПФПТПК Œ УХННЕ (7.123) ТБУИПДЙФУС ЮМЕО У n = 0. рТЙ ЬФПН УХЭЕУФŒЕООП ФП, ЮФП РПУЛПМШЛХ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ЮБУФПФ !n = 2ıT n ДЙУЛТЕФОБ, УМБЗБЕНЩЕ У n = 0 ЙНЕАФ