Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 813
Скачиваний: 1
164змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ТЕЗХМСТОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k = ±2p0. рПЬФПНХ ЙНЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ РП УТБŒОЕОЙА У ПУПВЩН ŒЛМБДПН У n = 0.
рПЬФПНХ ТБУУНПФТЙН РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(i!n; k) ÐÒÉ !n = 0 Й k Œ ПЛТЕУФОПУФЙ 2p0. тБЪМБЗБС ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.119) РТЙ НБМПН q = k − 2p0, РПМХЮБЕН
˝(q) ≡ ˝(!n = 0; k = 2p0 + q) = − 1D |
ln 4ıT − aq2 |
|
; |
a = − (4ıT )22 ; |
(7.125) |
||||
|
|
|
|
E |
|
|
v2 |
( 1 ) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
F |
|
|
РТЙЮЕН, УПЗМБУОП (7.120), ŒЕМЙЮЙОБ |
(1=2) ÅÓÔØ |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(1=2) = −2 |
|
|
2 |
= −2(23 − 1)“ (3) = −14“ (3) : |
|
(7.126) |
|||
k=0 |
(k + 1 )3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПДУФБŒЙН ТБЪМПЦЕОЙЕ ˝(q) Œ ЛПТТЕМСФПТ УНЕЭЕОЙК (7.123), ПУФБŒМСС ФПМШЛП ЮМЕО УХННЩ У n = 0, Й РТЙНЕН ŒП ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ T = Tc ŒЩРПМОСЕФУС ТБŒЕОУФŒП 1 + g2˝(q = 0) = 0. рПМХЮБЕФУС УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:
uk (t)u−k (t) Ô = |
T |
(7.127) |
g2 1D j!02(2p0) (ln(T =Tc) + aq2) : |
рТЙ T ŒВМЙЪЙ Tc ТБЪМБЗБЕН fi ≡ ln(T =Tc) = (T − Tc)=Tc. рПМХЮБЕН ЙУЛПНЩК МПТЕОГЕŒ УРЕЛФТ (7.36) ЖМХЛФХБГЙК (7.33) РПМС Q(r; t):
Qq (t)Q−q (t) Ô = |
A |
; |
A = |
Tc |
: |
(7.128) |
fi + aq2 |
g2 1D j!02(2p0) |
юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЛПТТЕМСФПТ РПМС УНЕЭЕОЙК u(x; t), ЪБНЕФЙН, ЮФП ЪБŒЙУЙНПУФШ (7.128) ЙНЕЕФ НЕУФП ЛБЛ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k ≈ 2p0, ФБЛ Й Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k ≈ −2p0. рПЬФПНХ
CÔ(r) = |
A |
ei(q+2p0)r + ei(q−2p0)r |
dq |
|
A |
|
fi + aq2 |
2ı |
= |
fi bÔ e−|r|=bÔ cos(2p0r) ; |
(7.129) |
ÇÄÅ bÔ = (a=fi )1=2 | ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС ЛПТТЕМСГЙПООБС ДМЙОБ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ДМЙОБ bÔ ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ РТЙ РТЙВМЙЦЕОЙЙ Л Tc Й ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС CÔ(r) РЕТЕУФБЕФ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ХВЩŒБФШ. ьФП ФЙРЙЮОПЕ ДМС ЖБЪПŒЩИ РЕТЕИПДПŒ ŒФПТПЗП ТПДБ РТПСŒМЕОЙЕ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙС ДБМШОЕЗП РПТСДЛБ Œ УЙУФЕНЕ.
тБУУНПФТЕООБС ЪБДБЮБ ЙММАУФТЙТХЕФ ПВЭЙК НЕФПД ЙУУМЕДПŒБОЙС ЖБЪПŒЩИ РЕТЕИПДПŒ ŒФПТПЗП ТПДБ У РПНПЭША ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. œОБЮБМЕ ОХЦОП ЙУУМЕДПŒБФШ ЖМХЛФХБГЙЙ РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ Œ ЛŒБДТБФЙЮОПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ. (œ ДБООПН УМХЮБЕ РБТБНЕФТПН РПТСДЛБ СŒМСЕФУС ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФБ УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН k = 2p0.) еУМЙ ЖБЪПŒЩК РЕТЕИПД ДЕКУФŒЙФЕМШОП ЙНЕЕФ НЕУФП, ФП ДПМЦОБ УХЭЕУФŒПŒБФШ ФЕНРЕТБФХТБ, РТЙ ЛПФПТПК УЙУФЕНБ ĂТБЪНСЗЮБЕФУСĄ ОБУФПМШЛП, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ. ьФП Й ЕУФШ ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ, РПМХЮЕООБС Œ ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС.
7.4. теыеойс |
165 |
уМЕДХАЭЙН ЫБЗПН (ЛПФПТЩК НЩ ЪДЕУШ ОЕ УДЕМБМЙ) ДПМЦОП ВЩФШ ЙЪХЮЕОЙЕ ДМЙООПŒПМОПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЖМХЛФХБГЙК ДТХЗ У ДТХЗПН ПРЙУЩŒБЕФУС ДЙБЗТБННПК, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ. 7.4 (ЙОДЕЛУЩ ± ПВПЪОБЮБАФ ЬМЕЛФТПОЩ У ЙНРХМШУБНЙ ±p0), Б ФБЛЦЕ РПДПВОЩНЙ ЕК ВПМЕЕ УМПЦОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ. ьЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖМХЛФХБГЙК ŒБЦОЩ ДМС РТБŒЙМШОПЗП РПОЙНБОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЛЙ УЙУФЕНЩ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ.
−+
+ −
òÉÓ. 7.4
тЕЫЕОЙЕ 40 a. рПЛБЦЕН, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G(i!n; p) У ŒЕТИОЕК (ОЙЦОЕК) НОЙНПК РПМХПУЙ ДБЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА (ПРЕТЕЦБАЭХА) ЖХОЛГЙА зТЙОБ GR(A)(!; p). вХДЕН ДЕКУФŒПŒБФШ РП ФПК ЦЕ УИЕНЕ, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 37. нЩ ТБУУНПФТЙН МЙЫШ УМХЮБК ЖЕТНЙПОПŒ, ЙВП ДМС УМХЮБС ВПЪЕ-ЮБУФЙГ ДПЛБЪБФЕМШУФŒП РПМХЮБЕФУС БОБМПЗЙЮОП.
œЩТБЪЙН ЪБРБЪДЩŒБАЭХА Й ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (7.21), (7.22) ЮЕТЕЪ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ n| |m Œ ВБЪЙУЕ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК. œЩТБЦБС УТЕДОЙЕ Œ (7.21), (7.22) ЮЕТЕЪ УМЕД Й РТПЙЪŒПДС ФПЮОП ФБЛЙЕ ЦЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 37, РПМХЮЙН
|
e−˛En + e−˛Em |
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
± |
|
|
|
|||
GR(A)(!; r; r ) = Z−1 |
! |
|
! |
nm |
|
i0 |
n| |
|
+(r )|m m| (r)|n ; |
(7.130) |
m;n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ !nm = En − Em. œЩЮЙУМЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ |
|
|||||||||
G(i!n; r; r ) = −2 |
˛ |
ei!nfi Tfi |
M (r; fi ) M+ (r ; 0) Ô dfi |
(7.131) |
||||||
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−˛ |
|
|
|
|
|
|
||
ФБЛЦЕ УПŒЕТЫЕООП БОБМПЗЙЮОП ФПНХ, ЛПФПТПЕ ВЩМП РТПДЕМБОП Œ ЪБДБЮЕ 37. тЕЪХМШФБФ ФБЛПŒ:
G(i!n; r; r ) = Z−1 |
|
e−˛En + e−˛Em |
+(r )|m m| |
|
|
||||
|
|
− |
|
|
|
||||
m;n |
i! |
n |
|
! |
n| |
(r)|n : |
(7.132) |
||
|
|
|
|
nm |
|
|
|
||
уТБŒОЙŒБС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ У (7.130) |
Й ТБУУХЦДБС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 37, ХВЕЦДБЕНУС |
||||||||
Œ ФПН, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ G(i!n; r; r ) У ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ ДБЕФ GR(!; r; r ), Б У ОЙЦОЕК | GA(!; r; r ).
166змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 40 В. рЕТЕРЙЫЕН НБГХВБТПŒУЛХА УПВУФŒЕООП{ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (7.37), ŒЩТБЪЙŒ РТЙ РПНПЭЙ ЙОФЕЗТБМШОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС (7.24) НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮЕТЕЪ УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ. рПМХЮБЕН
˚(i" ; p) = |
g2T |
|
|
Im GnR(x; p1) Im DR(!; p − p1) dxd! d3p1 |
; |
(7.133) |
|||||
n |
− |
x |
− |
i"m |
! |
− |
i"n + i"m ı2 (2ı)3 |
|
|
||
"m |
|
|
|
|
|||||||
ЗДЕ ПВБ ЙОФЕЗТБМБ РП dx d! ВЕТХФУС РП ŒУЕК ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. нБГХВБТПŒУЛХА УХННХ РП "m НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША ТБЪМПЦЕОЙС ОБ РТПУФЕКЫЙЕ ДТПВЙ:
F = T "m x |
− |
i"m |
! |
− |
i"n + i"m |
= ! + x |
− |
i"n "m x |
− |
i"m + |
! |
− |
i"n + i"m |
: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
1 |
|
|
T |
|
1 |
|
|
|
|||||
(7.134) йУИПДОБС НБГХВБТПŒУЛБС УХННБ УИПДЙФУС, ОП ЛБЦДБС ЙЪ УХНН Œ (7.134) ТБУИПДЙФУС. рПЬФПНХ ДПВБŒЙН Œ (7.134) НОПЦЙФЕМШ УИПДЙНПУФЙ exp(i"mfi ), ÇÄÅ fi → +0. фПЗДБ ŒЕМЙЮЙОХ i"n ŒП ŒФПТПН УМБЗБЕНПН НПЦОП ЙУЛМАЮЙФШ, УДŒЙОХŒ РЕТЕНЕООХА УХННЙТПŒБОЙС. рПУМЕ ЬФПЗП УДŒЙЗБ УХННЙТПŒБОЙЕ ВХДЕФ РТПЙУИПДЙФШ ХЦЕ ОЕ РП ЖЕТНЙЕŒУЛЙН, Б РП ВПЪЕŒУЛЙН ЮБУФПФБН, ФБЛ ЛБЛ ПВЕ НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЮБУФПФЩ "n É "m ОЕЮЕФОЩ. лТПНЕ ФПЗП, ЛБЦДЩК ЙЪ ЮМЕОПŒ Œ (7.134) НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ЛБЛ ЪОБЮЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ УПŒРБДБАЭЙЕ НПНЕОФЩ ŒТЕНЕОЙ ДМС УЙУФЕНЩ У ПДОЙН ХТПŒОЕН (Œ РЕТŒПН УМБЗБЕНПН ЬОЕТЗЙС ХТПŒОС ТБŒОБ (−x), Б ŒП ŒФПТПН | !). рПЬФПНХ УХННБ (7.134) ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС:
F |
|
! + x − i"n |
2(! + x − i"n) |
2T |
2T |
|
|
= |
nF (−x) + nB (!) = |
1 |
th x |
+ cth ! |
(7.135) |
рТПДПМЦЕОЙЕ РПМХЮЕООПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ ŒЩРПМОСЕФУС У РПНПЭША ЪБНЕОЩ i"n → " + i0. фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ФТЕВХЕНПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЖХОЛГЙЙ
˚R("; p) = g2 |
|
Im GR(x; p ) Im DR(!; p |
− |
p ) |
th |
x |
+ cth |
! |
|
d3p1 d!dx |
: (7.136) |
|||||
n |
" |
1 |
! |
− |
x + i0 |
1 |
2T |
2T |
ı(2ı)4 |
|||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 40 В. юФПВЩ ЙУРПМШЪПŒБФШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК, РТЙНЕОЙН УФБОДБТФОЩК РТЙЕН, РПЪŒПМСАЭЙК РТЕПВТБЪПŒБФШ УХННХ (7.37) Œ ЛПОФХТОЩК ЙОФЕЗТБМ. тБУУНПФТЙН УХННХ
1 |
G("1; p1)D(" − "1; p − p1) ; |
(7.137) |
S = T |
"
ЗДЕ УХННЙТПŒБОЙЕ РТПЙУИПДЙФ РП "1 = (2n + 1) iıT . дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП " МЕЦЙФ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. пДОПŒТЕНЕООП ТБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА
f (z) = G(z; p1) D(" − z; p − p1) th |
z |
; |
(7.138) |
2T |
7.4. теыеойс |
|
167 |
ЙНЕАЭХА РПМАУЩ РТЙ z = ıT (2n + 1)i. œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ |
|
|
I = |
f (z) dz ; |
(7.139) |
C
ŒЪСФЩК РП ЛПОФХТХ C, ЙЪПВТБЦЕООПНХ ОБ ТЙУ. 7.5.
z |
Im (z−ε )=0 |
Im z=0 |
òÉÓ. 7.5
ъБНЕФЙН, ЮФП Œ ЛБЦДПК ЙЪ ФТЕИ ПВМБУФЕК Im z < 0, 0 < Im z < Im ", Im " < Im z ЖХОЛГЙС f (z) ДПРХУЛБЕФ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ У ДЙУЛТЕФОЩИ ФПЮЕЛ ОБ НОЙНПК ПУЙ ŒП ŒУА ПВМБУФШ. ьФП РПЪŒПМСЕФ ŒЩЮЙУМЙФШ ЛПОФХТОЩК ЙОФЕЗТБМ У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒЩЮЕФПŒ. œЩЮЕФ f (z) Œ РПМАУЕ zn = ıT i(2n + 1) ÒÁŒÅÎ
Res f (z) = 2 T G(z ; p ) D(" |
− |
z ; p |
− |
p ) : |
(7.140) |
|
z=zn |
n 1 |
n |
1 |
|
||
рПЬФПНХ I = 4ıiS.
œ ФП ЦЕ ŒТЕНС БОБМЙФЙЮОПУФШ f (z) РПЪŒПМСЕФ ДЕЖПТНЙТПŒБФШ ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТП-
168змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ŒБОЙС, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 7.6.
z
Im z−ε=0
Im ε =0
òÉÓ. 7.6
фБЛЙН ПВТБЪПН ЙОФЕЗТБМ РП ЛПОФХТХ C УŒПДЙФУС Л ДŒХН ЙОФЕЗТБМБН ŒРЕТЕД Й ОБЪБД РП ЗПТЙЪПОФБМШОЩН РТСНЩН z = x Й z = " + x, −∞ < x < ∞, Й НЩ РТЙИПДЙН Л ТБŒЕОУФŒХ:
∞
I = GR(x)−GA(x)
−∞
DR(" − x) th |
2T |
− GR(x + ") DR(x)−DA(x) th |
2T |
dx : |
|
|
x |
|
|
" + x |
|
|
|
|
|
||
(7.141) ъБŒЙУЙНПУФШ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ПФ ЙНРХМШУПŒ, ПРХЭЕООБС Œ (7.141) ДМС ЛТБФЛПУФЙ, ВХДЕФ ŒПУУФБОПŒМЕОБ ОЙЦЕ. ъБНЕФЙН, ЮФП РПУЛПМШЛХ " = iıT (2n + 1), Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.141) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ th[(" + x)=2T ] ОБ − cth[x=2T ].
œЩТБЪЙН ФЕРЕТШ ŒУЕ УФПСЭЙЕ ЪДЕУШ ŒЕМЙЮЙОЩ ЮЕТЕЪ НОЙНЩЕ ЮБУФЙ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. йЪ (7.130) ŒЙДОП, ЮФП ПРЕТЕЦБАЭБС Й ЪБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПФМЙЮБАФУС МЙЫШ ЪОБЛПН РЕТЕД i0, РПЬФПНХ
GR("; p) − GA("; p) = 2i Im GR("; p) : |
(7.142) |
лТПНЕ ФПЗП, ЙЪ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ ЖХОЛГЙК зТЙОБ УМЕДХЕФ, ЮФП ПОЙ ХДПŒМЕФŒПТСАФ УППФОПЫЕОЙСН ФЙРБ лТБНЕТУБ{лТПОЙЗБ:
GR("; p) = |
1 |
∞ |
Im GR(!; p) |
GA("; p) = |
1 |
∞ |
|
Im GR(!; p) |
d! : |
(7.143) |
|||||||||||||
ı |
|
! |
− |
" |
− |
i0 |
d! ; |
ı |
|
|
! |
− |
" + i0 |
||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
рПДУФБŒМСС ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС Œ (7.141), РПМХЮБЕН |
(" ) |
|
x |
|
i0 |
cth 2T dxd! : |
|||||||||||||||||
I = ı |
|
|
|
! |
|
" + x |
|
i0 |
th 2T + |
! |
|
|
|||||||||||
2i |
∞ |
∞ |
|
Im GR(x) Im DR(!) |
x |
Im GR |
! |
Im DR(x) |
|
x |
|
||||||||||||
|
−∞ −∞ |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
||||
(7.144)
7.4. теыеойс |
169 |
œПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ УППФОПЫЕОЙЕН Im DR(−x) = − Im DR(x), УДЕМБЕН ŒП ŒФПТПН УМБЗБЕНПН ЪБНЕОХ x → −x, РПУМЕ ЮЕЗП РПНЕОСЕН НЕУФБНЙ Œ ЬФПН УМБЗБЕНПН РЕТЕНЕООЩЕ x Й !. рПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОЩК ТЕЪХМШФБФ:
I = |
2i |
∞ |
∞ |
Im GR(x) Im DR(!) |
th |
x |
+ cth |
! |
dxd! : |
(7.145) |
||||
ı |
|
|
! |
− |
" + x |
− |
i0 |
2T |
2T |
|||||
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
фЕРЕТШ, РПМШЪХСУШ УППФОПЫЕОЙЕН I = 4ıiS, ОБИПДЙН S. œПУУФБОБŒМЙŒБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ЙНРХМШУПŒ p Й p1 Й ЙОФЕЗТЙТХС РП d3p1, РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ УПФОПЫЕОЙЕ (7.38).
лБЛ ХЦЕ ВЩМП ПФНЕЮЕОП, ТБŒЕОУФŒП (7.38) ЙНЕЕФ УПŒЕТЫЕООП ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЛПОЛТЕФОПЗП ŒЙДБ ЖХОЛГЙК зТЙОБ GR("; p) É DR(!; p). рТЙНЕОЕОЙЕ УППФОПЫЕОЙС (7.38), ПДОБЛП, ПЛБЪЩŒБЕФУС ПУПВЕООП ХДПВОЩН Œ УМХЮБЕ УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, РПУЛПМШЛХ РТЙ ЬФПН НОЙНЩЕ ЮБУФЙ ЪБФТБŒПЮОЩИ ЖХОЛГЙК GR("; p) É DR(!; p) РТПРПТГЙПОБМШОЩ ‹-ЖХОЛГЙСН | УН. ЪБДБЮХ 41 В.
тЕЫЕОЙЕ 41 Б. ъБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ ЙЪ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ (7.122) БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН У ДЙУЛТЕФОЩИ ЮБУФПФ !n 0. œЩРПМОСС ЪБНЕОХ i!n → ! Œ РПМСТЙЪБГЙПООПН ПРЕТБФПТЕ (7.119) Й ТБЪМБЗБС РП НБМЩН ! Й q = k − 2p0, РПМХЮБЕН 10
˝(i!n; k) = − 1D ln |
E0 |
− aq2 + ib! |
4ıT |
; b = |
( 1 ) |
|
|
v2 ( 1 ) |
|
|
2 |
|
a = − |
F |
|
|
|
4ıT |
; |
(4ıT )22 |
: |
(7.146) |
рПДУФБŒМСС ЬФП ТБЪМПЦЕОЙЕ Œ (7.122) Й ХЮЙФЩŒБС, ЮФП РТЙ T = Tc ЙНЕЕФ НЕУФП ТБŒЕОУФŒП 1 + g2˝0 = 0, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ:
D(!; k = 2p0 + q) = − g2 1D ln(T =Tc) + aq2 − ib! − !2=!02(k) − |
: |
(7.147) |
|
1 |
|
ðÒÉ T → Tc ТБЪМБЗБЕН ln(T =Tc) = (T − Tc)=Tc ≡ fi . рПУЛПМШЛХ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ИБТБЛФЕТОЩЕ ! НБМЩ, ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ ŒЩТБЦЕОЙС (7.147) ОЕУХЭЕУФŒЕООП, Й Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ
D(!; k = 2p0 |
+ q) = |
1 |
(7.148) |
; ‚(q) = (fi + aq2)=b : |
|||
|
g2 |
1D b (i! − ‚(q)) |
|
рПМАУЩ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ПРТЕДЕМСАФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ŒВМЙЪЙ Tc. лБЛ ŒЙДОП, ЮБУФПФБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЮЙУФП НОЙНПК: !(q) = −i‚(q). ьФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ТЕМБЛУБГЙПООПК ДЙОБНЙЛЕ: ŒПЪНХЭЕОЙЕ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН k = 2p0 + q ЪБФХИБЕФ РП ЪБЛПОХ e−‚(q)t , тЕЫЕОЙЕ 41 В. оБКДЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (7.38) ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПДОПНЕТОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ. дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ДŒЙЦХЭЙИУС ОБРТБŒП ЮБУФЙГБИ У МЙОЕБТЙЪПŒБООЩН ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ " = vF p. тБУУЕЙŒБСУШ ОБ НСЗЛЙИ ЖПОПОБИ У РЕТЕДБЮЕК ЙНРХМШУБ ВМЙЪЛПЗП Л −2p0, РТБŒЩЕ ĂЮБУФЙГЩĄ УФБОПŒСФУС ĂМЕŒЩНЙĄ У ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ " = −vF p. уППФŒЕФУФŒЕООП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.38) НОЙНБС
10уПЗМБУОП (7.120), (1=2) = 3“(2), (1=2) = −14“(3).