Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 815

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

170змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ ЕУФШ −ı‹("1 + vF p1). йОФЕЗТЙТХС ‹-ЖХОЛГЙА РП "1, РПМХЮБЕН

 

−

2ı

2ı

 

" + vF p1

 

 

! + i0

2T −

2T

 

 

 

˚R("; p) =

 

g2

dp1

∞

Im DR(!; p − p1)

cth !

th vF p1

d! :

(7.149)

 

 

 

−∞

 

−

 

 

 

 

 

 

нОЙНБС ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ, УПЗМБУОП (7.148), ЕУФШ

 

(q)) :

 

Im DR(!; q) = −2bg2 1D

! + i‚(q) +

! − i‚(q) = −bg2 1D (!2

+ ‚2

(7.150)

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

!

 

 

рПУЛПМШЛХ ‚(q = 0) = fi =b T , ПУОПŒОПК ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ (7.149) ДБЕФ ПВМБУФШ |!| T . рПЬФПНХ НПЦОП ЪБНЕОЙФШ cth !=2T ОБ 2T =!, ЮФП ЖЙЪЙЮЕУЛЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕИПДХ ПФ ТБУУЕСОЙС ОБ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОБИ Л ТБУУЕСОЙА ОБ ЛМБУУЙЮЕУЛПН РПМЕ. рПМХЮБАЭЙКУС Œ ТЕЪХМШФБФЕ УДЕМБООПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС ЙОФЕЗТБМ РП ! ОБИПДЙФУС У РПНПЭША НЕФПДБ ŒЩЮЕФПŒ:

˚R("; p) = bg2 1D 2ı

"~ + vF q + i‚(q)

2ıi g2

1

2T

 

v

(q + p)

 

dq

 

 

i‚(q)

+ th

F

2T

2ı

;

(7.151)

"

" + v

 

p, q = p

1 −

p. йОФЕЗТБМ РП q Œ (7.151) ПРТЕДЕМСЕФУС ПВМБУФША

ÇÄÅ ~ =

 

1=2

 

F

 

 

|q| (fi =a)

 

vF =T . рПЬФПНХ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ УМБЗБЕНЩН th(vF (q + p)=2T ) ÐÏ

УТБŒОЕОЙА У ЮМЕОПН 2T =‚(q), Б ФБЛЦЕ | ЪБНЕОЙФШ i‚(q) Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ РЕТŒПЗП УП-

НОПЦЙФЕМС (7.151) ОБ i0. œ ТЕЪХМШФБФЕ

= −a 1D –(~" + ivF –) ;

 

˚R("; p) = ı 1D

(~" + vF q + i0)(fi + aq2)

(7.152)

2T

dq

2T

 

ÇÄÅ – = (fi =a)1=2.

рТЕДУФБŒМСЕФ ЙОФЕТЕУ НОЙНБС ЮБУФШ ŒЩТБЦЕОЙС (7.152), ПРЙУЩŒБАЭБС ЪБВЩŒБОЙЕ

ЬМЕЛФТПОБНЙ УŒПЕЗП ЙНРХМШУБ ЙЪ-ЪБ ТБУУЕСОЙС ОБ НСЗЛЙИ ЖПОПОБИ:

 

Im ˚R("; p) = −

2ıT

;

(7.153)

(a(p + "=vF )2 + fi )

œТЕНС ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У НБМПК ЬОЕТЗЙЕК " = vF p → 0, УПЗМБУОП (7.153), ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ ЛПТПФЛЙН, РПТСДЛБ fi =T = (T − Tc)=Tc2.

œППВЭЕ, ЛБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ (7.153), ТБУУЕСОЙЕ ОБ НСЗЛЙИ ЖПОПОБИ УХЭЕУФŒЕООП НЕОСЕФ ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ПВМБУФЙ |"| Tc, |p| Tc=vF , РПУЛПМШЛХ РТЙ ФБЛЙИ " Й p ŒЕМЙЮЙОБ ˚R("; p) ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМШЫЕ ИБТБЛФЕТОПК ЬОЕТЗЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. рПЬФПНХ ОБЫЙ ŒЩŒПДЩ П РПŒЕДЕОЙЙ GR("; p) É ˚R("; p) Œ ЬФПК ПВМБУФЙ, ПУОПŒБООЩЕ ОБ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.38) ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ УŒПВПДОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕ ЙНЕАФ ЛПМЙЮЕУФŒЕООПЗП УНЩУМБ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ВПМЕЕ ОБДЕЦОЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ, УМЕДХЕФ ЙУРПМШЪПŒБФШ РЕТЕОПТНЙТПŒБООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ, Œ ЛПФПТХА ŒЛМАЮЕОБ УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ. рТЙ ЬФПН УППФОПЫЕОЙЕ (7.38) УФБОПŒЙФУС ХТБŒОЕОЙЕН УБНПУПЗМБУПŒБОЙС ДМС ˚R("; p).

7.4. теыеойс

171

тЕЫЕОЙЕ 42. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ БФПНПŒ, ОБИПДСЭЙИУС Œ ТБŒОПŒЕУЙЙ У ФЕРМПŒЩН ТБУРТЕДЕМЕОЙЕН ЖПФПОПŒ. зБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС БФПНПŒ У ŒОЕЫОЙН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН ЕУФШ

 

 

 

=1 2;

 

 

V

= −E(r1) d(1)

− E(r2) d(2) =

E¸(ri) d¸(i) ;

(7.154)

 

 

i

; ¸=x;y;z

 

 

ÇÄÅ d(1;2) | ПРЕТБФПТЩ ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ БФПНПŒ, Б E(r) | ПРЕТБФПТ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС Œ ФПЮЛЕ r.

йЪНЕОЕОЙЕ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ УЙУФЕНЩ, ŒЩЪŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН (7.154), НПЦОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:

U ≡ ˙ − ˙0

= −T n=1

(−n!

˛

˛

Tfi V (fi1) : : : V (fin) Ô dfi1 : : : dfin ;

(7.155)

 

: : :

 

∞

1)n

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

РТЙЮЕН ХУТЕДОЕОЙЕ РТПЙУИПДЙФ ЛБЛ РП ЖМХЛФХБГЙСН ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ, ФБЛ Й РП ЖМХЛФХБГЙСН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УМБЗБЕНПЕ Œ (7.155), ПФŒЕЮБАЭЕЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ДŒХИ БФПНПŒ. рПУЛПМШЛХ УТЕДОЙК ДЙРПМШОЩК НПНЕОФ БФПНБ ТБŒЕО ОХМА, ПЮЕŒЙДОП, ЮФП ЙОФЕТЕУХАЭЙЕ ОБУ ЮМЕОЩ ДПМЦОЩ УПДЕТЦБФШ ЛБЦДЩК ЙЪ ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ d(1) É d(2) ЮЕФОПЕ ЮЙУМП ТБЪ. рПЬФПНХ ОБЙНЕОШЫЙН РПТСДЛПН ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ДБАЭЙН ПФМЙЮОЩК ПФ ОХМС ŒЛМБД, ПЛБЪЩŒБЕФУС ЮЕФŒЕТФЩК:

˛

˛

Tfi

V (fi1) : : : V (fi4) Ô dfi1 : : : dfi4 :

(7.156)

U = −4!

: : :

T

 

 

 

 

 

0

0

 

 

дМС ŒЛМБДБ Œ ˙−˙0 РПТСДЛБ n ЙНЕЕФУС (n −1)! ЛПНВЙОБФПТОЩИ ŒПЪНПЦОПУФЕК ДМС ПВТБЪПŒБОЙС ОЕРТЙŒПДЙНПЗП УТЕДОЕЗП. œ ОБЫЕН УМХЮБЕ n = 4, Й ЛПНВЙОБФПТОЩК НОПЦЙФЕМШ ТБŒЕО 3! = 6. лТПНЕ ФПЗП, ЮФПВЩ ЙУЛМАЮЙФШ ЬЖЖЕЛФЩ УБНПДЕКУФŒЙС БФПНПŒ, НЩ ДПМЦОЩ ŒЩДЕМЙФШ УМБЗБЕНЩЕ, УПДЕТЦБЭЕЕ ЛБЦДЩК ЙЪ ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ d(1) É d(2) РП ДŒБ ТБЪБ. ьФП ДБЕФ ЕЭЕ ДŒЕ ŒПЪНПЦОПУФЙ ДМС ЛБЦДПЗП ЙЪ ХЮФЕООЩИ ОЕРТЙŒПДЙНЩИ УТЕДОЙИ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМОПЕ ЮЙУМП ŒЛМБДПŒ ЙОФЕТЕУХАЭЕЗП ОБУ ŒЙДБ ТБŒОП 3! ·2 = 12. лТПНЕ ФПЗП, ХУТЕДОЕОЙС РП ЖМХЛФХБГЙСН ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ ТБЪМЙЮОЩИ БФПНПŒ УФБФЙУФЙЮЕУЛЙ ОЕЪБŒЙУЙНЩ, Б ХУТЕДОЕОЙЕ РП ЖМХЛФХБГЙСН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС НПЦОП ŒЩРПМОЙФШ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ. фБЛЙН ПВТБЪПН,

U12

= − 2

˛

˛

Tfi d¸(1)(fi1) d˛(1)(fi2) Ô Tfi d‚(2)(fi3) d‹(2)(fi4) Ô ×

 

: : :

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

×

Tfi E¸(r1; fi1) E‚ (r2; fi3) Ô Tfi E˛ (r1; fi2) E‹ (r2; fi4) Ôdfi1 : : : dfi4 :

œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙС ДМС ЛПТТЕМСФПТБ ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ:

¸¸˛(j)(fi ) = Tfi d¸(j)(0) d˛(j)(fi ) Ô ;

j = 1; 2 ;

(7.157)

172змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

Й ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙИ РПМЕК:

 

D¸˛E (r; fi ) = Tfi E¸(0; 0) E˛ (r; fi ) Ô :

(7.158)

дМС РТПУФПФЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП БФПНЩ ОБИПДСФУС Œ УЙОЗМЕФОПН УПУФПСОЙЙ. фПЗДБ

 

 

 

¸¸˛(j)(fi ) = ¸j (fi ) ‹¸˛ ;

(7.159)

Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ U12 РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

 

U12 = − 2

˛

˛

¸1(fi1 −fi2) ¸2(fi3 −fi4) D¸˛E (r; fi1 −fi3) D¸˛E

(r; fi4 −fi2) dfi4 : : : dfi1 : (7.160)

 

· · ·

T

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

рЕТЕКДЕН Л НБГХВБТПŒУЛПНХ ЮБУФПФОПНХ РТЕДУФБŒМЕОЙА:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¸(fi ) = T

e−i!nfi ¸(i!n) :

(7.161)

!n

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП fi ДЕМБЕФ ŒУЕ ЮБУФПФЩ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.160) ТБŒОЩНЙ, Й НЩ РПМХ-

ÞÁÅÍ

T

 

2

 

 

 

 

!n ¸1(i!n) ¸2(i!n) D¸˛E (i!n; r)

 

U12 = −

2

:

(7.162)

(ъДЕУШ НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ЮЕФОПУФША НБГХВБТПŒУЛЙИ ЛПТТЕМСГЙПООЩИ ЖХОЛГЙК РП ЮБУФПФЕ.)

жХОЛГЙА D¸˛E (i!n; r) НПЦОП МЕЗЛП УŒСЪБФШ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ (7.39), РТЙŒЕДЕООПК Œ ХУМПŒЙЙ. рПУЛПМШЛХ Œ ŒЩВТБООПК ОБНЙ ЛБМЙВТПŒЛЕ ˘ = 0, ФП E = −A_ =c. рПЬФПНХ

!2

D¸˛E (i!n; r) = c2n D¸˛ (i!n; r) (7.163) Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬОЕТЗЙЙ РЕТЕРЙЫЕФУС ЛБЛ

T

 

!n4

2

 

 

U12 = − 2

c4 ¸1(i!n) ¸2(i!n) [D¸˛ (i!n; r12)]

 

:

(7.164)

!n

 

 

 

 

 

 

юФПВЩ ОБКФЙ ЖХОЛГЙА D¸˛ (i!n; r), РЕТЕКДЕН ЙЪ ЙНРХМШУОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС Œ ЛППТДЙОБФОПЕ, ЪБНЕОСС Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.39) ЛПНРПОЕОФЩ ŒЕЛФПТБ k ОБ РТПУФТБОУФŒЕООЩЕ РТПЙЪŒПДОЩЕ РП РТБŒЙМХ: k¸ → −i@=@x¸ . рПМХЮБЕН

D¸˛ (i!n; r) = −4ı ‹¸˛ −

c2

@2

eikr

d3k

 

 

!n2 @x¸@x˛

k2 + !n2=c2

(2ı)3

:

(7.165)

œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ

 

= 2ı2

 

kr k2 + a2 =

 

 

 

I =

k2 + a2

(2ı)3

 

 

 

 

eikr

d3k

1

∞ sin kr

k2 dk

 

 

 

0

7.4. теыеойс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

173

= −

1

@

∞ cos kr

dk = −

1

@ ı

1

 

2ı2r @r

k2 + a2

2ı2r @r 2a e−ar =

4ır e−ar :

(7.166)

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

оБЛПОЕГ, ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЕ ДБЕФ

 

−

 

 

 

 

 

kn2r3

 

 

 

 

 

 

 

D¸˛ (i!n; r) = e−knr

‹¸˛

1 + knr + kn2 r2

 

n¸ n˛

3 + 3knr + kn2r2 ;

(7.167)

ÇÄÅ kn = |!n|=c. рПМХЮБЕН, ЮФП ŒЕМЙЮЙОБ, ŒИПДСЭБС Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.164) ДМС U12 ÅÓÔØ

K(!n; r) = kn4 [D¸˛ (i!n; r)]2 =

r6

3 + 6knr + 5kn2 r2 + 2kn3 r3 + kn4 r4 : (7.168)

 

2e−2knr

 

рЕТЕД ФЕН, ЛБЛ ОЕРПУТЕДУФŒЕООП РТЙУФХРЙФШ Л ŒЩЮЙУМЕОЙА U12, УŒСЦЕН НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ¸(1;2)(i!n) У РПМСТЙЪХЕНПУФША БФПНПŒ. ьФП ŒПЪНПЦОП, РПУЛПМШЛХ ПРТЕДЕМСЕНБС РП ЖПТНХМЕ лХВП РПМСТЙЪХЕНПУФШ ЕУФШ

¸¸˛ (!) = i ∞ei!t [d¸(t); d˛ (0)] Ô dt :

(7.169)

0

 

œЩТБЦЕОЙЕ (7.169) РТЙ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ ОБ ŒЕТИОАА НОЙНХА РПМХПУШ ДБЕФ ЛБЛ ТБЪ НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ¸(i!n). œПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ЬФЙН, ŒЩТБЪЙН ¸(i!n) ЮЕТЕЪ ¸(!). рТЙ !n > 0 РП ЖПТНХМЕ лТБНЕТУБ{лТПОЙЗБ ЙНЕЕН

 

1

∞

¸ (!)

2

∞

!¸ (!)

 

 

¸(i!n) =

ı

 

!

−

i!n d! =

ı

 

!n2 + !2

d! ;

(7.170)

 

 

−∞

 

 

 

0

 

 

 

ЗДЕ ¸ (!) | НОЙНБС ЮБУФШ РПМСТЙЪХЕНПУФЙ (НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ЪДЕУШ ЕЕ ОЕЮЕФОПУФША). фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОЩК ТЕЪХМШФБФ:

 

2T

 

∞ ∞

!1 !2 ¸1(!1) ¸2(!2)

 

−

ı !n

 

(!n + !1) (!n + !2)

 

U12 =

2

 

0 0

2 2 2 2 d!1 d!2 :

(7.171)

 

K(!n; r)

пВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.171) УРТБŒЕДМЙŒП РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН ТБУУФПСОЙЙ НЕЦДХ БФПНБНЙ. ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ХРТПЭБЕФУС Œ ОЕУЛПМШЛЙИ ЙОФЕТЕУОЩИ РТЕДЕМШОЩИ УМХЮБСИ. пРТЕДЕМЙН ИБТБЛФЕТОЩЕ ДМЙОЩ

–0 = c=!0 ; –T = c=T ;

(7.172)

ÇÄÅ !0 | ЮБУФПФБ, ПРТЕДЕМСЕНБС ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЕК РПМСТЙЪХЕНПУФЙ (ЖБЛФЙЮЕУЛЙ, Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ ŒУЕЗДБ !0 1). рПУЛПМШЛХ –0 НОПЗП ВПМШЫЕ ТБДЙХУБ БФПНПŒ, Б

–T , Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, НОПЗП ВПМШЫЕ –0, ЙНЕЕФУС ФТЙ ТБЪМЙЮОЩЕ ПВМБУФЙ,

á: r –0; â: –0 r –T ; œ: –T r. тБУУНПФТЙН РП ПФДЕМШОПУФЙ ЛБЦДЩК ЙЪ ЬФЙИ УМХЮБЕŒ.

Смотрите также файлы